清单32 双曲线(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单32 双曲线(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共31页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单32双曲线
一、知识与方法清单
1．双曲线定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当2a|F1F2|时,P点不存在．
【解读】双曲线定义中距离的差要加绝对值,否则只为双曲线的一支.设F1,F2表示双曲线的左、右焦点,
若|MF1|-|MF2|=2a,则点M在右支上;若|MF2|-|MF1|=2a,则点M在左支上.
【对点训练1】(2022届广西高三上学期开学联考)已知,是双曲线C的两个焦点,P为双曲线上的一点,且；则C的离心率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】.故选B
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0,b>0)
－＝1(a>0,b>0)
图形


性质
范围
x≥a或x≤－a,y∈R
x∈R,y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0),A2(a,0)
A1(0,－a),A2(0,a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝,e∈(1,＋∞),其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0,c>b>0)
【对点训练2】(2022届云南民族中学高三适应性月考)已知双曲线：的渐近线方程为,则的焦距等于（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】由双曲线：可得其渐近线方程为,故,故半焦距,故焦距为,故选C.
3. 求双曲线的标准方程一般用待定系数法,用待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,注意焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,那么焦点在y轴上.确定方程的形式后,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值, 当双曲线焦点的位置不确定时,为了避免讨论焦点的位置,常设双曲线方程为Ax2＋By2＝1(A·B＜0),这样可以简化运算.
【对点训练3】双曲线过点,且离心率为,则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】,则,,则双曲线的方程为,
将点的坐标代入双曲线的方程可得,解得,故,
因此,双曲线的方程为.故选B
4.在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|－|PF2||＝2a,运用平方的方法,建立与|PF1|·|PF2|的联系．
【对点训练4】（2022届重庆实验外国语学校高三上学期入学考试）如图,O是坐标原点,P是双曲线右支上的一点,F是E的右焦点,延长PO,PF分别交E于Q,R两点,已知QF⊥FR,且,则E的离心率为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图,令双曲线E的左焦点为,连接,

由对称性可知,点是线段中点,则四边形是平行四边形,而QF⊥FR,于是有是矩形,
设,则,,,
在中,,解得或m＝0（舍去）,
从而有,中,,整理得,,
所以双曲线E的离心率为．故选B
5.双曲线渐近线的说明
(1)随着x和y趋向于无穷大,双曲线将无限地与渐近线接近,但永远没有交点.
(2)由渐近线方程可确定a与b或b与a的比值,但无法确定焦点位置.
(3)求渐近线的方程,常把双曲线的方程右边的常数写成0,分解因式即得渐近线方程,
(4)如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可．
(5)与双曲线－＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示－＝λ(λ≠0)．
【对点训练5】（2022届广东省深圳市高三上学期质量检测）已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直,则___________.
【答案】1
【解析】∵双曲线的焦点在x轴上,∴,即.
∵双曲线的两条渐近线互相垂直∴,即,解得
6.求双曲线离心率的常见方法
(1)依据条件求出a,c,再计算e= .
(2)依据条件建立参数a,b,c的关系式,一种方法是消去b转化成关于的齐次方程,再转化为离心率e的方程求解,另一种方法是利用离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
【对点训练6】(2021届陕西省榆林市高三下学期模拟)已知F是双曲线的左焦点,A,B分别是C的左,右顶点,若,则双曲线C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【jiex 】因为A,B分别是C的左,右顶点,故,,,
所以,得．故选D
7.求离心率的范围,一般根据条件建立a,b,c的不等式,再转化为关于e的不等式,通过解不等式求得离心率的范围,求解时应找好题中的等量关系或不等关系,构造出关于a,c的齐次式,进而求解.要注意对题目中隐含条件的挖掘,如对双曲线上点的几何特征＋≥2c的运用.
【对点训练7】（2022届广西玉林市高三9月月考）已知双曲线的左、右焦点为,,在双曲线上存在点满足,则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由OP为△F1PF2的中线,可得.
由可得,由, ,可得4a≤2c,可得：.
故选B.
8.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c值,从而写出双曲线的几何性质.特别提醒:求性质时一定要注意焦点的位置.
【对点训练8】（2021届辽宁省铁岭市二模）（多选）设,分别是双曲线的左右焦点,过作轴的垂线与C交于A,B两点,若为正三角形,则（ ）
A． B．C的焦距为
C．C的离心率为 D．的面积为
【答案】ACD
【解析】设,则,,离心率,选项C正确.
因此,,选项A正确.
,选项B错误.
的面积为,选项D正确.故选ACD.
9.直线与双曲线位置关系的处理方法
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为一元二次方程,在二次项系数不为零的情况下考察方程的判别式.
(1)Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
(2)Δ=0时,直线与双曲线只有一个公共点.
(3)Δ0,∴ (k－1)(k＋1)