考向04 数与式综合复习（基础巩固）-2021年中考数学一轮基础知识复习和专题巩固提升训练课件PPT

考向04数与式综合复习—基础巩固

【知识梳理】

考点一、实数的有关概念、性质

1．实数及其分类

实数可以按照下面的方法分类：

实数还可以按照下面的方法分类：

方法指导：

整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数． 有理数和无理数统称实数．

2．数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系．

方法指导：

实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础．

3．相反数

实数a和-a叫做互为相反数．零的相反数是零．

一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等．

方法指导：

两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a和b互为相反数，那么a+b＝0；反过来，如果a+b＝0，那么a和b互为相反数．

4．绝对值

一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离．

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即：    如果a＞0，那么|a|＝a；

    如果a＜0，那么|a|＝-a；

    如果a＝0，那么|a|＝0．

方法指导：

从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数．

5．实数大小的比较

在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大．

6．有理数的运算

(1)运算法则(略)．

(2)运算律：

加法交换律  a+b＝b+a；

加法结合律  (a+b)+c＝a+(b+c)；

乘法交换律  ab＝ba；

乘法结合律  (ab)c＝a(bc)；

分  配  律  a(b+c)＝ab+ac．

(3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减．

算式里如果有括号，先进行括号内的运算．

如果只有同一级运算，从左到右依次运算．

7．平方根

如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)．

方法指导：

正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．

8．算术平方根

正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．零的算术平方根是零．

方法指导：

从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数．

9．近似数及有效数字

近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字．

10．科学记数法

把一个数记成±a×的形式(其中n是整数，a是大于或等于1而小于10的数)，称为用科学记数法表示这个数．

考点二、二次根式、分式的相关概念及性质

1．二次根式的概念

形如(a≥0) 的式子叫做二次根式．

2．最简二次根式和同类二次根式的概念

最简二次根式是指满足下列条件的二次根式：

(1)被开方数不含分母；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．

几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．

方法指导：

把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.

常用的二次根式的有理化因式：

（1）互为有理化因式；

（2）互为有理化因式；一般地互为有理化因式；

（3）互为有理化因式；一般地互为有理化因式.

3．二次根式的主要性质

（1）；

（2）；

（3）；

（4）积的算术平方根的性质：；

（5）商的算术平方根的性质：.

4．  二次根式的运算

(1)二次根式的加减

 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并．

(2)二次根式的乘除

二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变．

方法指导：

二次根式的混合运算：

1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；

2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；

3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.

5．代数式的有关概念

(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式．

用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值．

代数式的分类：

(2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式．

(3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式．

 整式包括单项式和多项式．

(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果为零，分式没有意义．

 6．整式的运算

(1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项．

(2)整式的乘法：

 ①正整数幂的运算性质：

；

；

；

(a≠0，m＞n)．

其中m、n都是正整数．

②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．

单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

③乘法公式：

；

．

④零和负整数指数：在(a≠0，m，n都是正整数)中，当m＝n时，规定；

当m＜n时，如m-n＝-p(p是正整数)，规定．

7．因式分解

（1）因式分解的概念

 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．

 在因式分解时，应注意：

 ①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解．

 ②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简．

（2）因式分解的方法

 ①提公因式法：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

②运用公式法：；；

③十字相乘法：．

（3）因式分解的步骤

 ①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；

 ②考虑所给多项式是否能用公式法分解．

方法指导：

因式分解时应注意:①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形.

8．分式

（1）分式的概念

 形如的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零．

（2）分式的基本性质

分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．

，．(其中M是不等于零的整式)

（3）分式的运算

 ①加减法：，．

②乘法：．

③除法：．

④乘方：（n为正整数）．

方法指导：
    解分式方程的注意事项：

（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；

（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解．

列分式方程解应用题的基本步骤：
　　(1)审——仔细审题，找出等量关系；
　　(2)设——合理设未知数；
　　(3)列——根据等量关系列出方程；
　　(4)解——解出方程；
　　(5)验——检验增根；
　　(6)答——答题．

【基础巩固训练】

一、选择题

1．下列运算中，计算结果正确的是（    ）

A.      B.   

C.      D.

2． ＝（    ）

A．1       B．－1      C．2       D．－2

3．已知，化简的结果是（    ）

A．6      B．2m－8     C．2m      D．－2m

4．当x＜1时,化简的结果为  (    )

A. x－1         B. －x－1        C. 1－x          D. x＋1

5．计算的正确结果是 （    ）

A．       B．       C．      D．

6.用同样大小的黑色的小三角形按如图所示的规律摆放，则第100个图形有（　　）个黑色的小三角形．

A．300    B．303    C．306  D．309

二、填空题

7．若单项式与是同类项，则x=      ．

8．化简的结果是　   ．已知x+|x﹣1|=1，则化简的结果是　     　．

9．已知两个分式：A＝，B＝，其中x≠±2．下面有三个结论：

①A＝B；    ②A、B互为倒数；  ③A、B互为相反数．

正确的是           .（填序号）

10．已知a为实数，则代数式的值为         ．

11．在实数范围内因式分解= _____      _____．

12．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为(a＋2b)、宽为(a＋b)的大长方形，则需要C类卡片      张．

三、解答题

13．计算

（1）；

（2）．

14．观察下列各式及其验证过程:

验证: =.

验证：= = = ；

验证: =．验证：== = ．

    (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路,猜想4的变形结果并进行验证；

(2)针对上述各式反映的规律,写出用n(n为任意自然数,且n≥2)表示的等式,并­给出证明．

15．分解因式：

（1）﹣4x2yz﹣12xy2z+4xyz；               

（2）ax2﹣4ax+4a；

（3）x2﹣5x+6；        

（4）（b﹣a）2﹣2a+2b；    

（5）（a2+b2）2﹣4a2b2．

16. A、B两地路程为150千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，2小时后相遇，相遇后，各以原来的速度继续行驶，甲车到达B后，立即沿原路返回，返回时的速度是原来速度的2倍，结果甲、乙两车同时到达A地，求甲车原来的速度和乙车的速度．
　　

答案与解析

一、选择题

1.【答案】B；

【解析】同底数幂的乘法法则是底数，不变指数相加，而除法可能转化为乘法进行，幂的乘方是底数不变，指数相乘．A项结果应等于，C项结果应等于，而D项无法运算．

2.【答案】C； 

【解析】原式=．

3.【答案】选D；

【解析】原式按多项式乘法运算后为，再将代入，可得－2m．

4.【答案】C；

【解析】开方的结果必须为非负数．

5.【答案】B；

【解析】将括号内的式子分别通分．  

6.【答案】B；

【解析】（1）第一个图需三角形6个，第二个图需三角形9，第三个图需三角形12，

第四个图需三角形15，第五个图需三角形18，

…

第n个图需三角形3（n+1）枚．

∴第100个图形有3（100+1）=303个黑色的小三角形．故选：B．

二、填空题

7．【答案】1；

【解析】 ∵  与是同类项，

           ∴  ，

           解得x＝1．

8．【答案】6；﹣2x+3.

【解析】=6；

∵x+|x﹣1|=1，

∴|x﹣1|=﹣（x﹣1），

∴x﹣1≤0，

∴x≤1，

∴原式=|x﹣1|+|2﹣x|

=﹣（x﹣1）+2﹣x

=﹣x+1+2﹣x

=﹣2x+3．故答案为：6；﹣2x+3．

9．【答案】③；

  【解析】因为：Ｂ=

=

=

=-Ａ          故选③.

10．【答案】

【解析】∵，∴≤0，而≥0，∴a＝0，

∴原式＝

11．【答案】；

   【解析】观察多项式，发现其有平方差公式特点，所以可以使用平方差公式进行因式分解.

 需要注意要将因式分解在实数范围内进行到底，且不可半途而废.  

12．【答案】３张；

【解析】本题考查的相关知识有整式的乘法，乘法公式，数形结合思想.解答思路：可由面积相等入手，图形拼合前后面积不变，所以(a＋2b) (a＋b)=a2+3ab+2b2.

三、解答题

13.【答案与解析】

解：（1）原式= ÷

= •

=；

（2）原式=•（﹣）•3•

=

=．

14.【答案与解析】

    (1)4=．

验证:4====

(2)由题设及(1)的验证结果,可猜想对任意自­然数n(n≥2)都有:

n=．

证明：∵n = ==，

∴n=．

15.【答案与解析】

解：（1）﹣4x2yz﹣12xy2z+4xyz

=﹣4xyz（x+3y﹣1）；    

（2）ax2﹣4ax+4a

=a（x2﹣4x+4）

=a（x﹣2）2；

（3）x2﹣5x+6

=（x﹣2）（x﹣3）；   

（4）（b﹣a）2﹣2a+2b

=（b﹣a）2﹣2（a﹣b）

=（a﹣b）（a﹣b﹣2）；    

（5）（a2+b2）2﹣4a2b2

=（a2+b2﹣2ab）（a2+b2+2ab）

=（a﹣b）2（a+b）2．

16.【答案与解析】

设甲车原来的速度为千米/时，乙车的速度为千米/时，据题意得：
　　　
　　解得
　　经检验为方程组的解，并且符合题意．
　　答：甲车原来的速度为45千米/时，乙车的速度为30千米/时.