专题18 函数利润综合问题-中考一轮复习之热点题型练习（全国通用）

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（1）解答这类题的关键是将实际问题转化求函数最值问题，解这类题，既要看到销售价格对销售量的影响，也要看到销售价格对单件商品 利润产生的影响，两者结合起来，销售价格就会对销售总利润产生影响。
（2）利润公式：总利润=单个利润×销售量=总销售额-总成本；
单个利润=售价-进价；
（3）利用二次函数的性质解决生活中的最大值或最小值问题,一般方法是：
①列出二次函数的表达式，列表达式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；
②在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值。
【命题一】当自变量为何值时，求利润的最大值
1．小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；
②花卉的平均每盆利润始终不变．
小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2（单位：元）．
（1）用含x的代数式分别表示W1，W2；
（2）当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？
2．恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在该州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）
（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
3．某客商准备购一批特色商品，经调查，用16000元采购A型商品的件数是用7500元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多10元．
（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？
（2）若该客商购进A，B型商品共250件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，且不小于20件．已知A型商品的售价为240元/件，B型商品的售价为220元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，
①写出m的取值范围 20≤m≤125 ；
②求出商场销售这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案．
（3）若m的范围与（2）保持一致，但是A型商品的售价与A型商品销量之间的关系如下表所示：
B型商品的售价降为210元/件，且全部售出．设购进A型商品m件，求出这批商品的最大利润，并求出此时的进货方案．
4．某地政府计划为农户购买农机设备提供补贴．其中购买Ⅰ型、Ⅱ型设备农民所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．
（1）分别求y1和y2的函数解析式；
（2）有一农户共投资10万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种设备，两种设备的投资均为整数万元，要想获得最大补贴金额，应该如何购买？能获得的最大补贴金额为多少？
【命题二】当利润取得最大值时，求参数a的值
5．某网点销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网点决定提价销售，设销售单价为x元，每天销售量为y件．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当销售单价是多少元时，网店每天获利8960元？
（3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠a元（2＜a≤7）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，求a的值．
6．受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
（2）要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
（3）该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
7．某公司经过市场调查，发现某种运动服的销量与售价是一次函数关系，具体信息如表：
已知该运动服的进价为每件150元．
（1）售价为x元，月销量为y件．
①求y关于x的函数关系式：
②若销售该运动服的月利润为w元，求w关于x的函数关系式，并求月利润最大时的售价；
（2）由于运动服进价降低了a元，商家决定回馈顾客，打折销售，这时月销量与调整后的售价仍满足（1）中函数关系式．结果发现，此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低15元，则a的值是多少？
8．公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查获悉，日销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的一次函数，部分数据如表：
（1）直接写出y与之间的函数表达式；
（2）求日销售利润为150元时的销售价格；
（3）若公司每销售1千克产品需另行支出a元（0＜a＜10）的费用，当20≤x≤25时，公司的日获利润的最大值为1215元，求a的值．
【命题三】分段函数求二次函数最大利润
9．某企业电脑配件从去年1至9月原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表：
10至12月每件配件的原材料价格y2（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式以及y2与x之间满足的一次函数关系式；
（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1＝0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数），10至12月的销售量p2（万件）p2＝﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润．
10．东坡商贸公司购进某种水果成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价P（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如下表：
（1）已知y与t之间的变化符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量；
（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？
11．非洲猪瘟疫情发生以来，猪肉市场供应阶段性偏紧和猪价大幅波动时有发生．为稳定生猪生产，促进转型升级，增强猪肉供应保障能力，国务院办公厅于2019年9月印发了《关于稳定生猪生产促进转型升级的意见》．某生猪饲养场积极响应国家号召，努力提高生产经营管理水平，稳步扩大养殖规模，增加猪肉供应量．该饲养场2019年每月生猪产量y（吨）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间的函数关系如图所示．
（1）请直接写出当0＜x≤4（x为整数）和4＜x≤12（x为整数）时，y与x的函数关系式；
（2）若该饲养场生猪利润p（万元/吨）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）满足关系式：p＝﹣x+．请问：该饲养场哪个月的利润最大？最大利润是多少？
12．某工艺品厂生产一种汽车装饰品，每件生产成本为20元，销售价格在30元至80元之间（含30元和80元），销售过程中的管理、仓储、运输等各种费用（不含生产成本）总计50万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的函数关系如图所示．
（1）当30≤x≤60时，求y与x的函数关系式；
（2）求出该厂生产销售这种产品的纯利润w（万元）与销售价格x（元/个）的函数关系式；
（3）销售价格应定为多少元时，获得利润最大，最大利润是多少？
【命题四】已知利润范围，求自变量的取值范围
13．当今社会人们越来越离不开网络，电脑、手机被普遍使用，与此同时人们的视力也大大受到影响，2019年初某企业以25万元购得某项护目镜生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该护目镜的生产加工，已知生产这种护目镜的成本价为每件20元，经过市场调研发现该产品的销售单价定在25～35元比较合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝（年获利＝年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）．
（1）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？
（2）2020年初我国爆发新冠肺炎，该公司决定向红十字会捐款20万元，另外每销售一件产品，就抽出1元钱作为捐款，若除去第一年的最大盈利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到2020年底，两年的总盈利不低于57.5万元，请你确定此时销售单价的范围．
14．“禹州钧瓷”名扬天下、某网店专门销售某种品牌的钧瓷花瓶，成本为40元/件、每天销量y（件）与销售单价x（元）之间存在一次数关系，如图所示，
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）如果规定每天钧瓷花瓶的销售量不低于120件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出100元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2000元、试确定该钧瓷花瓶销售单价的范围．
15．贫困户老王在精准扶贫工作队的帮扶下，在一片土地上种植了优质水果蓝莓，经核算，种植成本为18元/千克．今年正式上市销售，通过30天的试销发现：第1天卖出20千克；以后每天比前一天多卖4千克，销售价格y元/千克）与时间x（天）之间满足如表：（其中，x，y均为整数）
（1）试销中销售量P（千克）与时间x（天）之间的函数关系式为 P＝4x+16 ．
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润w最大？最大利润是多少元？
（3）求试销的30天中，当天利润w不低于870元的天数共有几天．
16．某商场用两个月时间试销某种新型商品，经市场调查，该商品的第x天的进价y（元/件）与x（天）之间的相关信息如下表：
该商品在销售过程中，销售量m（件）与x（天）之间的函数关系如图所示：在销售过程中，商场每天销售的该产品以每件80元的价格全部售出．
（1）求该商品的销售量m（件）与x（天）之间的函数关系；
（2）设第x天该商场销售该商品获得的利润为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求出第几天销售利润最大，最大利润是多少元？
（3）在销售过程中，当天的销售利润不低于2400元的共有多少天？
【命题五】通过函数的增减性，求参数的取值范围
17．某水果商店以5元/千克的价格购进一批水果进行销售，运输过程中质量耗5%，运输费用是0.7元/千克，假设不计其他费用
（1）商店要把水果售完至少定价为多少元才不会亏本？
（2）在销售过科中，商店发现每天荔枝的销售量m（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足关系m＝﹣10x+120，那么当销售单价定为多少时，每天获得的利润w最大？
（3）该商店决定每销售一千克水果就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，通过销售记录发现，销侮价格大于每千克11元时，扣除捐赠后每天的利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．
18．某种商品的成本为每件20元，经市场调查发现，这种商品在未来40天内的日销售量m（件）与x（天）的关系如表．
未来40天内，前20天每天的价格y1（元/件）与时间x（天）的函数关系式为y1＝x+25（1≤x≤20且x为整数），后20天每天的价格y2（元/件）与时间x（天）的函数关系式为y2＝﹣x+40（21≤x≤40且x为整数）．
（1）求日销售量m（件）与时间x（天）之间的关系式．
（2）请预测本地市场在未来40天中哪一天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？
（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐款a（a≤5）元利润给希望工程，公司看过销售记录发现，前20天中每天扣除捐款后的日销售利润随时间x（天）的增大而增大，求a的取值范围．
19．为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y（元）与每天的销售量为x（件）的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．
（1）求每件销售单价y（元）与每天的销售量为x（件）的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？
（3）在试销售过程中，受国家政策扶持，毎销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m（m≤40）元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是 20≤m≤40 （直接写出结果）．
20．小明同学利用寒假30天时间贩卖草莓，了解到某品种草莓成本为10元/千克，在第x天的销售量与销售单价如下（每天内单价和销售量保持一致）：
设第x天的利润w元．
（1）请计算第几天该品种草莓的销售单价为25元/千克？
（2）这30天中，该同学第几天获得的利润最大？最大利润是多少？注：利润＝（售价﹣成本）×销售量
（3）在实际销售的前15天中，草莓生产基地为刺激销售，鼓励销售商批发草莓，每多批发1千克就发给a（a≥2）元奖励．通过销售记录发现，前8天中，每天获得奖励后的利润随时间x（天）的增大而增大，试求a的取值范围．
A型商品的售价
240
230
220
210
200
……
A型商品的销量
0
5
10
15
20
……
型号
金额
Ⅰ型设备
Ⅱ型设备
投资金额x（万元）
x
5
x
2
4
补贴金额y（万元）
y1＝kx（k≠0）
2
y2＝ax2+bx（a≠0）
2.8
4
进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
A型
600
900
200
B型
800
1200
400
售价（元/件）
200
210
220
230
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
销售价格x（元/千克）
10
15
20
25
30
日销售量y（千克）
300
225
150
75
0
月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
价格y1（元/件）
560
580
600
620
640
660
680
700
720
时间t（天）
1
3
6
10
20
^…
日销售量y（kg）
118
114
108
100
80
^…
时间x（天）
（1≤x＜20）
（20≤x≤30）
销售价格y（元/千克）
﹣0.5x+38
25
时间x（天）
1≤x≤30
30≤x≤50
进价y（元/件）
﹣x+70
40
时间x（天）
1
3
6
10
36
…
日销售量m（件）
94
90
84
76
24
…
销售量m（千克）
m＝40﹣x
销售单价n（元/千克）
当1≤x≤15时，n＝20+x
当16≤x≤30时，n＝10+