2021届辽宁省丹东市五校高三上学期联考数学试题含解析

这是一份2021届辽宁省丹东市五校高三上学期联考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021届辽宁省丹东市五校高三上学期联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据不等式的解法求得集合，集合集合并集的运算，即可求解.【详解】由不等式，解得，所以，又因为，所以.故选：D.2．“”是“”的（       ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用对数函数单调性，举反例判断【详解】故 则成立，反之，当，对数无意义故“”是“” 充分而不必要条件故选：A3．已知复数满足，为复数的共轭复数，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用复数的四则运算化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可求得结果.【详解】由已知可得，则，因此，.故选：A.4．已知，，且，则的最小值是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】已知，，且，则.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查的妙用，考查计算能力，属于基础题.5．已知向量，．若向量满足，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：设,则,,由已知可知,解得,故.选D.【解析】共线向量与垂直向量的性质.6．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（       ）A．12种 B．24种 C．36种 D．72种【答案】C【解析】先将4名医生分成3组，其中1组有2人，共有种选法，然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去，有种方法，由分步原理可知共有种.【详解】不同分配方法总数为种.故选：C【点睛】此题考查的是排列组合知识，解此类题时一般先组合再排列，属于基础题.7．某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈（单位：千元，，，）的模型波动，（为月份，且）.已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定的解析式为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据最值，求出，求出最小正周期，进而求出，代入特殊点坐标求出，求出正确答案.【详解】由题意得：，解得：，又最小正周期为，所以，所以，将代入，解得：，则，，因为，所以当时，符合题意，综上：.故选：D8．已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数，都有，若数列的前项和为，且满足，则（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据，对进行变形得到，根据知求，经过计算得到的通项公式.【详解】因为对于对任意的正数，都成立，所以，即，所以，又，故两式相减得，即又当时，，即，故数列是首项为1，公比为的等比数列，即．故选：D.9．设，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据得0＞a＞b，取特殊值可判断ABC，根据基本不等式即可判断D.【详解】∵，∴0＞a＞b，取a＝－1，b＝－2，则，故A错误；，故B错误；，故C错误；∵，∴，∵a≠b，所以等号取不到，故，故D正确.故选：D.二、多选题10．中，，，，为线段上的点，，则（       ）A． B．时，C．若，则 D．【答案】AC【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A选项；利用平面向量数量积计算向量的模，可判断BD选项的正误；由平面向量垂直的数量积表示可判断C选项.【详解】对于A选项，由平面向量数量积的定义可得，A对；对于B选项，当时，，此时，B错；对于C选项，若，则，解得，C对；对于D选项，，D错.故选：AC.A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，对四个选项逐一分析判断即可．【详解】事件，，是相互独立事件，由相互独立事件的概率公式可知，选项A错误，选项B正确；∴，则，故选项C错误；由题意可知，，，∵，，∴，即，故选项D正确．故选：BD．12．已知函数，则下列结论正确的是（       ）A．是周期为的奇函数 B．在上为增函数C．在内有21个极值点 D．在上恒成立的充要条件是【答案】BD【解析】根据周期函数的定义判定选项A错误；根据导航的符号判断选项B正确；根据导函数零点判定选项C错误；根据恒成立以及对应函数最值确定选项D正确.【详解】的定义域为R，，是奇函数，但是，不是周期为的函数，故选项A错误；当时，，，单调递增，当时，，，单调递增，且在连续，故在单调递增，故选项B正确；当时，，，令得，，当时，，，令得，,因此，在内有20个极值点，故选项C错误；当时，，则，当时，，设，，令， ，单调递增，，，在单调递增，又由洛必达法则知：当时，，故答案D正确.故选：BD.【点睛】本题考查了奇函数、周期函数定义，三角函数的几何性质，函数的极值，利用导数研究单调性以及利用导数研究恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属较难题.三、填空题13．已知，，则___________.【答案】【分析】根据三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，求得，进而求得的值，得到答案.【详解】由题意，可得，所以，解得，又因为，可得，所以.故答案为：14．的展开式中含的项的系数为________．【答案】-16【分析】转化，根据二项展开式的通项公式可求得结果.【详解】因为,所以的展开式中的系数为.故答案为：15．已知函数f(x)=，若0<a<b，且f(a)=f(b)，则a+4b的取值范围是____________.【答案】【分析】结合函数f(x)= 的图象可判断的位置，即可得到的关系，将双变量a+4b转化为单变量，结合函数单调性即可求解.【详解】如图，作出函数f(x)= 的图象，由f(a)=f(b)得，所以，由对勾函数的单调性可知，函数 在上单调递减，故，即a+4b的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查对数函数的图象翻折、对数运算及利用函数单调性求值域，属于基础题.16．已知离散型随机变量X的分布列为X012Pabc 若，则当取最小值时，方差__________．【答案】【分析】由题意可知，求出b，a与c的关系，进而求得a，b的值，得出方差．【详解】解：由题意可知，，．要使取得最小值，则，，，．故答案为：四、解答题17．已知函数其中为实常数，(1)求的单调递增区间；(2)设集合，已知当时，的最小值为2，当时，求的最大值.【答案】(1).(2)4.【分析】（1）运用三角恒等换化简函数，再由可求得函数的单调递增区间；（2）由（1）得，由已知求得，由此可求得答案.【详解】(1)解：因为，所以，所以，由，解得，所以的单调递增区间为；(2)解：由（1）得，当时，，所以，所以，解得，所以，所以当时，求的最大值为4.18．“弘扬中华优秀传统文化经验交流大会”于年月日在深圳举行，会议同期举行了“深圳市中华优秀传统文化公益讲堂”启动仪式.从年月起到月，深圳市文化和健康发展促进会将连续举办场中华优秀传统文化公益讲堂，邀请多位名家名师现场开讲.某学校文学社为响应这次活动，举办了中华古诗词背诵比赛，统计的比赛成绩（单位：分）的数据如频率分布直方图所示，已知成绩在内的有人.(1)求的值及参加比赛的总人数；(2)分别从、分数段中选取人和人组成“优胜”队，与另一学校的“必胜”队的人进行友谊赛，两队的选手每人均比赛局，共比赛局，胜局得分，输局得分，没有平局.已知“优胜”队中成绩在内的选手获胜的概率为，在内的名选手获胜的概率分别为、，记“优胜”队的得分为随机变量，求的分布列和期望.【答案】(1)，参加比赛的总人数为；(2)分布列见解析，.【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可求得的值，将成绩在内的人数除以该组的频率可得出参加比赛的总人数；（2）分析可知，随机变量的所有可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.【详解】(1)解：由频率分布直方图可得，解得，参加比赛的总人数为.(2)解：的所有可能取值有、、、，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示： 因此，.19．在锐角中，已知角,,的对边分别为,,，且.（1）求角的大小；（2）若的外接圆半径为，角与角的平分线交于点，求周长的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由化简可得，从而可求出的值，进而可求出角的值；（2）设，利用正弦定理可得，，从而可表示出三角形的周长，再结合三角形的恒等变换公式可求得结果【详解】(1)∵在中，，∴，又∵，∴， 即，得，又，∴； (2)由正弦定理得，∴，∵，∴， 又角与角的平分线交于点，∴，∴，设，则，， 在三角形中，由正弦定理得：，，∴三角形的周长为：， ∵，∴，∴当，即时，三角形的周长取得最大值，为，∴三角形周长的最大值为.【点睛】此题考查正弦定理的应用，考查三角恒等变换公式的应用，考查计算能力，属于基础题20．已知的图象在处的切线与直线平行．（1）求函数的极值；（2）若，，，求实数的取值范围．【答案】（1）极大值为，无极小值；（2），．【分析】(1)可利用导数的几何意义求出a的值,然后利用函数导数得到函数的单调性,求得函数的极值;(2)所给不等式含有两个变量,通过变形使两个变量分别在不等式两侧,然后构造新函数g(x),转化为函数的单调性即可求解m的范围.【详解】（1）的导数为，可得的图象在，（1）处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，即，，，由，可得，由，可得，则在递增，在递减，可得在处取得极大值为，无极小值；（2）可设，若，，，可得，即有，设在为增函数，即有对恒成立，可得在恒成立，由的导数为得：当，可得，在递减，在，递增，即有在处取得极小值，且为最小值，可得，解得，则实数的取值范围是，．【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求解参数的值和范围,属于中等难度题型,第一问解题中关键是导数几何意义的应用;第二问中关键是将不等式转化,然后构造新函数,再利用新函数的单调性求解参数m的范围.21．已知等差数列为递增数列，且，都在的图像上.(1)求数列的通项公式和前项和(2)设，求数列的前项和，且，求取值范围.【答案】(1)，；(2)；.【分析】（1）由已知建立方程组，求得，再利用等差数列的通项公式和求和公式可求得答案；（2）由（1）得，分n为奇数，n为偶数两种情况，分别求得，再将不等式等价于，令，由数列的单调性可求得答案.【详解】(1)解：由题意得，即是方程的两个根，即是方程的两个根，又数列为递增数列，解得，所以等差数列的公差，所以，所以，；(2)解：由（1）得，当n为奇数时，，当n为偶数时，，所以.由 ，即，得，令，当n为奇数时，，且，当n为偶数时，，且，又，，所以，故取值范围为.22．已知，，(1)若恒成立，求的最大值(2)若，是的两个零点，且求证：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）将问题转化为，再求最小值，然后解不等式即可；（2）通过构造函数，再研究其单调性，通过单调性解不等式即可.【详解】(1)时，，设，则恒成立恒成立，易知符合要求，下面考虑的情形，由，得时，；时，，因此，在区间上为减函数，在上为增函数，故的最小值为，由，得，解得，所以的最大值为.(2)由（1）知，，是的两个零点，结合的单调性可知，，若，则显然成立，若，设（），则，，所以，在区间上为增函数，因此有，因此，，，又，，且在区间上为减函数，所以，，即.综上，.