2022届高考核心猜题卷全国卷（WORD解析版）——理数

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2022届高考数学核心猜题卷全国卷（理）【满分：150分】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则(   )A. B. C. D.2.已知复数，为z的共轭复数，则(   )A. B. C. D.3.若非零向量a，b满足，且，则a与b的夹角大小为(   )A.30° B.45° C.60° D.90°4.已知，，，则(   )A. B. C. D.5.若实数x，y满足约束条件，则的最小值是(   )A. B.0 C. D.126.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：

①样本数据落在区间的频率为0.45；
②如果规定年收入在500万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有的当地中小型企业能享受到减免税政策；
③估计样本的中位数为480万元.
其中正确结论的个数为(   )A.0 B.1 C.2 D.37.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(   )A. B. C. D.8.已知函数，且，当取最小值时，函数的单调递减区间为(   )A.， B.，C.， D.，9.已知三棱柱的所有棱长均为2，平面ABC，则异面直线，所成角的余弦值为(   )A. B. C. D.10.已知数列满足，，，数列满足，则数列的前2021项的和为(   )A. B. C. D.11.以椭圆的右焦点F为圆心、c为半径作圆，O为坐标原点，若圆F与椭圆C交于A，B两点，点D是OF的中点，且，则椭圆C的离心率为(   )A. B. C. D.12.已知函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为(   )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知函数，若，则___________. 14.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则面积的最大值为____________.15.4位游客到某地旅游，若每人只能从A，B，C三个景点中选择一处游览，则每个景点都有人去的概率为___________.16.已知，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左支交于P，Q两点，，，则与的面积之比为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）已知数列是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）记，且为数列的前n项和，求证：.18.（12分）已知直四棱柱中，，，.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的余弦值.
 19.（12分）“双减”政策明确指出要通过阅读等活动，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间.某家庭有小明和小红两个孩子，父母每天为他们安排了自由阅读的时间，约定周一到周日每天的阅读时间不能比前一天少.为了调查两人自由阅读时间的情况，父亲记录了两人某周每天的阅读时间（单位：min），如下表所示，其中小明周日的阅读时间a忘了记录，但知道，. 周一周二周三周四周五周六周日序号x1234567小明的阅读时间y/min162020253036a小红的阅读时间z/min16222526323535（1）求小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率；（2）根据小明这一周前6天的阅读时间，求其阅读时间y关于序号x的线性回归方程，并估计小明周日阅读时间a的值.参考公式：回归方程中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为，.20.（12分）已知抛物线上的点到其焦点F的距离为.（1）求抛物线C的方程；（2）点在抛物线C上，过点的直线l与抛物线C交于，，两点，点H与点A关于x轴对称，直线AH分别与直线OE，OB交于点M，N(O为坐标原点)，求证：.21.（12分）已知函数，其中常数.（1）若在上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：导函数与函数的图象有两个交点.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.（10分）[选修4 – 4：坐标系与参数方程]已知曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，求A，B两点间的距离.23.（10分）[选修4 – 5：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数，对，，有，求实数k的取值范围.2022届高考数学核心猜题卷全国卷（理） 参考答案一、选择题1.答案：D解析：由，解得，，又，，故选D.2.答案：D解析：因为，所以，则，故选D.3.答案：C解析：由得，又，，，与b的夹角为60°，故选C.4.答案：C解析：由可得，因为，所以，则，由可得，故.故选C.5.答案：A解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由可得，作出直线并平移，由图可知当平移后的直线经过点时，z取得最小值，所以.故选A.6.答案：D解析：由，得，
所以数据在区间的频率为，①正确；
数据在区间的频率为，②正确；
数据在区间的频率为0.3，数据在区间的频率为0.55，故估计中位数为，③正确.故选D.7.答案：C解析：由题意得的定义域是R，因为是奇函数，所以，即，所以，则，所以，则，所以，又，所以切线方程是，即.故选C.8.答案：A解析：因为，所以为函数的一个对称中心，为其一条对称轴，要使最小，则周期最大，此时与为相邻对称轴与对称中心，所以，所以，，因为，所以，.令，，则，，所以的单调递减区间为，，故选A.9.答案：A解析：如图，设F是线段BC的中点，连接交于点N，连接NF，AF，由题意知，四边形为正方形，是的中点，，是异面直线，所成的角或其补角，平面ABC，三棱柱的所有棱长均为2，，，，，，异面直线，所成角的余弦值为.故选A.10.答案：D解析：因为，故数列为等比数列，设公比为q，由，，得，所以，则，所以，故选D.11.答案：C解析：由椭圆与圆的对称性不妨令点A在第一象限，由D是OF的中点，且，可知是正三角形，则，将点A坐标代入椭圆C方程可得，即，即，整理得，即，得或.因为，所以，则.故选C.12.答案：A解析：易知函数的导数，令，得，即，设，则，当时，；当时，或，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增.因为函数有且只有一个极值点，所以直线与函数的图象有一个交点，作出的图象如图所示，由图得或.当时，恒成立，所以无极值，所以.故选A.二、填空题13.答案：6解析：因为当时，，，所以，所以，所以.14.答案：解析：由题意可知，，，又，.又，当且仅当时，等号成立，则的面积，即面积的最大值为.15.答案：解析：由题意知，4位游客从A，B，C三个不同的景点中选择一处游览的方案有(种).首先从三个不同的景点中选出一个景点有2位游客去游览的方案有种，然后从4位游客中选2位到已选出的一个景点去游览的方案有种，最后余下的2位游客到余下的两个景点游览的方案有种，所以每个景点都有人去的游览方案有(种)，故所求概率.16.答案：解析：由知，又，则，设，则，，由，得，，则，解得，则，于是.
 三、解答题17.解析：（1）由题意知，即， ………………………………………………………………3分即，所以，所以.……………………………………………………………………………6分（2）由（1）得， ………………………………9分所以.…………………………………………………………………………12分18解析：（1）四棱柱是直四棱柱，平面ABCD.
平面ABCD，.…………………………………………………………2分
在四边形ABCD中，，，.
又，平面.……………………………………………………4分
（2）如图，连接，记，，连接，
则平面ABCD，且.……………………………………………………5分
以O为坐标原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则，，，.
，，.……………………………………6分
设平面的法向量为，则，即，取，则，，
是平面的一个法向量.…………………………………………………8分
设平面的法向量为，则，即，取，则，是平面的一个法向量.……………………………………………10分
.
由图知，二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.…………………………………………………………………12分
 19.解析：（1）由题意知，，所以a的取值一共有25种情况.令，解得，…………………………………………………………………………………3分又，，所以当小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间时，a的取值一共有16种情况.所以小明这一周的阅读时间超过小红这一周的阅读时间的概率为.…………………5分（2）由题可得，…………………………………………………6分，，，………………………………………………………8分所以，则，……………………………………………………………10分所以y关于x的线性回归方程为.当时，.故估计小明周日阅读时间a的值为38. ……………………………………………………12分20.解析：（1）由点在抛物线上可得，，解得.由抛物线的定义可得，…………………………………………3分整理得，解得或(舍去).故抛物线C的方程为.…………………………………………………………………5分（2）由在抛物线C上可得，解得，所以，直线OE的方程为.………………………………………………………6分易知，，均不为0.由题意知直线l的斜率存在且大于0，设直线l的方程为，联立得，消去y得.则，得，所以，.……………………………………………………………8分由直线OE的方程为，得.易知直线OB的方程为，故.数形结合可知，要证，即证，…………………………………………………………………………10分即证，即证，即，则，此等式显然成立，所以.……………………………………………………………………………12分21.解析：（1）因为在上是增函数，所以在上恒成立，即恒成立，只需使即可.……………………………………………2分设，则当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增，……………………………4分所以的最小值为，所以，解得，故实数a的取值范围是.………………………………………………………………6分（2）当时，.令，则.……………………………………………………………………………8分令得；令得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在处取极小值，.……………………………………………10分因为，，所以存在，，使得，，所以有两个零点，即导函数与函数的图象有两个交点.…………………………………………………………………………………………………12分22.解析：（1）由题意知，曲线C的普通方程为，………………2分由可知直线l的直角坐标方程为.………………………………5分（2）由（1）知曲线C的圆心坐标为，半径，令圆心到直线l的距离为d，则，……………………………8分，即，.…………………………………………………………………………………10分23.解析：（1）当时，，……………………………………1分若，则，解得，若，则，解得，若，则，解得，……………………………………4分综上可知，不等式的解集为.……………………………………5分（2）对，，有，即，，，又，，………………………………………………………………………8分，解得或，实数k的取值范围是.…………………………………………………10分