徐州市2018-2019学年八年级第二学期期中考试数学试题（含答案）

这是一份徐州市2018-2019学年八年级第二学期期中考试数学试题（含答案），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018-2019学年度第二学期期中检测八年级数学试题
一、选择题（本大题共8道小题，每小题4分，共32分）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A. B. C. D.
2.徐州市今年约20000名初三学生参加数学中考，从中抽取300名考生的数学成绩进行分析，则在该调查中，样本指的是（ ）
A. 300 B. 300名
C. 20000名考生的数学成绩 D. 300名考生的数学成绩
3.下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）
A. 了解报考军事院校考生的视力 B. 旅客上飞机前的安检
C. 对招聘教师中的应聘人员进行面试 D. 了解全市中小学生每天的零花钱
4.抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次都是正面朝上，则第4次正面朝上的概率（ ）
A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法确定
5.已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
6.如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（ ）

A 18m B. 24m C. 28m D. 30m
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交O，E是BC中点， AD=6，则OE的长为（ ）

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
8.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF最小值为（ ）

A. 2 B. 2.2 C. 2.4 D. 2.5
二、填空题（本大题共10道小题，每小题4分，共40分）
9.一个不透明的袋子中有2个红球，2个黄球，4个紫球（除颜色外其余都相同），从中任取—个球是白球，这个事件是_________事件．
10.一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1～6的点数，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数大于4的概率是_________．
11.以下性质中：①对角线互相垂直②对角线相等③对角线互相平分④四个角都是直角，矩形具有而菱形不一定具有的性质是_________（填写序号）.
12.已知四边形ABCD中，A=B=C=90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．
13.若菱形两条对角线的长分别是6cm和8cm，则其面积为__cm2．
14.在ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为________
15.如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C’，D’处，C’E交AF于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’= °.

16.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是__________．

17.在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC=6、BD=8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF=_________．

18.如图，△ABC是面积为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2 ，照此规律作下去，则S2019=_________．

三、解答题（共68分）
19.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．根据下列要求，利用直尺画图（不写作法）：
（1）画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的△A1B1C；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2.

20.在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：
类别
家庭藏书m本
学生人数
A
0≤m≤25
20
B
26≤m≤100
a
C
101≤m≤200
50
D
m≥201
66

根据以上信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为　 　，a＝　 　；
（2）在扇形统计图中，“A”对应扇形的圆心角为　 　°；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书200本以上的人数．

21.如图，在▱ABCD中，点M，N分别是边AB，CD的中点．
求证：AN=CM．

22.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
(1)求证：四边形BPEQ是菱形．
(2)若AB=5，F为AB的中点，OF=6，求BE的长．

23.如图，四边形中，对角线相交于点，，，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2），若：，则度数是多少？

24.如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．
（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；
（2）①当AD与BC满足条件 时，四边形EFHI是矩形；
②当AG与BC满足条件 时，四边形EFHI是菱形．

25.在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．

感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
（1）求证：BE=FG．
（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为　 　．
【应用】如图③，取BE中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为　 　．



























一、选择题（本大题共8道小题，每小题4分，共32分）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.
2.徐州市今年约20000名初三学生参加数学中考，从中抽取300名考生的数学成绩进行分析，则在该调查中，样本指的是（ ）
A. 300 B. 300名 C. 20000名考生的数学成绩 D. 300名考生的数学成绩
【答案】D
【解析】
【分析】
根据总体、样本的定义直接可得答案，①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体.
【详解】解：徐州市约20000名初三学生参加数学中考是总体，300名考生的数学成绩是总体的一个样本，
故选D．
【点睛】此题主要考查了总体、样本，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．
3.下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）
A. 了解报考军事院校考生的视力 B. 旅客上飞机前的安检
C. 对招聘教师中的应聘人员进行面试 D. 了解全市中小学生每天的零花钱
【答案】D
【解析】
试题分析：根据题意知了解报考军事院校考生的视力需要全面调查，故A错误；旅客上飞机前的安检需进行全面调查，故B错误；对招聘教师中的应聘人员进行面试需要全面调查，故C错误；了解全市中小学生每天的零花钱则适合抽样调查，故D正确.
故选D
考点：全面调查与抽样调查
4.抛掷一枚质地均匀的硬币，若前3次都是正面朝上，则第4次正面朝上的概率（ ）
A. 小于 B. 等于 C. 大于 D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】
利用概率的意义直接得出答案．
【详解】解：连续抛掷一枚质地均匀的硬币4次，前3次的结果都是正面朝上，
他第4次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：，
故选B．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
5.已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】
根据特殊平行四边形的判定方法判断即可.
【详解】解：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，A选项正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，B选项正确；有一个角是直角的平行四边形是矩形，C选项正确；对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，D选项错误.
故答案为D
【点睛】本题考查了特殊平行四边形的判定方法，熟练掌握特殊平行四边形与平行四边形之间的关系是判定的关键.
6.如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（ ）

A. 18m B. 24m C. 28m D. 30m
【答案】C
【解析】
试题分析：连接AB，根据中点可得DE为△OAB的中位线，则AB=2DE=28米．
考点：三角形中位线．
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交O，E是BC中点， AD=6，则OE的长为（ ）

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据菱形的性质得BC=AD=6，AC⊥BD，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求解．
【详解】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴BC=AD=6，AC⊥BD，
∵E是BC中点，
∴OE为Rt△BOC斜边BC上的中线，
，
故选C．
【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
8.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）

A. 2 B. 2.2 C. 2.4 D. 2.5
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．
【详解】解：连接AP，

∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得：，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故选C．
【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短的应用，解此题的关键是确定出何时，EF最短，题目比较好，难度适中．
二、填空题（本大题共10道小题，每小题4分，共40分）
9.一个不透明的袋子中有2个红球，2个黄球，4个紫球（除颜色外其余都相同），从中任取—个球是白球，这个事件是_________事件．
【答案】不可能
【解析】
【分析】
根据不可能事件的定义：就是一定不会发生的事件，即可作出判断．
【详解】解：∵袋子中不存在白球，
∴不可能从中摸出白球，
则这个事件是不可能事件.
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
10.一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1～6的点数，抛掷这枚骰子1次，向上一面的点数大于4的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵点数大于4的数为：5，6，
∴向上一面的点数大于4的概率.
【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
11.以下性质中：①对角线互相垂直②对角线相等③对角线互相平分④四个角都是直角，矩形具有而菱形不一定具有的性质是_________（填写序号）.
【答案】②④
【解析】
【分析】
由矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；即可求得答案．
【详解】解：∵矩形具有的性质：对角线相等，对角线互相平分；菱形具有的性质：邻边相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是：②对角线相等；④四个角都是直角．
【点睛】此题考查了矩形与菱形的性质等知识，解题的关键是记住矩形和菱形的性质，属于中考基础题．
12.已知四边形ABCD中，A=B=C=90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是_________．
【答案】AB=BC(答案不唯一)．
【解析】
试题分析：由∠A=∠B=∠C=90°可知四边形ABCD是矩形，根据根据有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形，得到应该添加的条件为：AB=AD或AC⊥BD等．
考点：正方形的判定；矩形的判定与性质
13.若菱形两条对角线的长分别是6cm和8cm，则其面积为__cm2．
【答案】24
【解析】
试题分析：根据菱形的面积公式：两对角线乘积的一半，即可得得菱形的面积为cm2．
考点：菱形面积公式．
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14.在ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AB的长为________
【答案】3或5
【解析】
【分析】
根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论．
【详解】解：①如图，

在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=8，
∴AB=5；
②在▱ABCD中，∵BC=AD=8，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∵EF=2，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=8，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为3或5．
故答案为3或5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD．
15.如图，将一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落点C’，D’处，C’E交AF于点G.若∠CEF=70°，则∠GFD’= ▲ °.

【答案】40．
【解析】
折叠问题矩形的性质，平行的性质．
【分析】根据折叠的性质，得∠DFE=∠D’FE．
∵ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠GFE=∠CEF=70°，∠DFE=1800－∠CEF=110°．
∴∠GFD’=∠D’FE－∠GFE=110°－70°=40°．
16.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC．若AC=4，则四边形CODE的周长是__________．

【答案】8
【解析】
试题分析：首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．
试题解析：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形CODE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC=AC=2，
∴四边形CODE是菱形，
∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．
考点: 1.菱形的判定与性质；2.矩形的性质.
17.在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD且AC=6、BD=8，E、F分别是边AB、CD的中点，则EF=_________．

【答案】5
【解析】
试题解析：如图，取BC的中点G，连接EG、FG，

∵E、F分别是边AB、CD的中点，
∴EG∥AC且EG=AC=×6=3，
FG∥BD且FG=BD=×8=4，
∵AC⊥BD，
∴EG⊥FG，
∴EF=．
考点：1.三角形中位线定理；2.勾股定理．
【此处有视频，请去附件查看】

18.如图，△ABC是面积为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1；取BE中点E1，作E1D1∥FB，E1F1∥EF，得到四边形E1D1FF1，它的面积记作S2 ，照此规律作下去，则S2019=_________．

【答案】
【解析】
【分析】
先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出S1的值，进而可得出S2的值，找出规律即可得出S2019的值．
【详解】解：∵△ABC是边长为1的等边三角形，
∴△ABC的高=，
∵DE、EF是△ABC的中位线，
，
，
同理可得，，
……

.
【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，涉及到等边三角形的性质、锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及三角形中位线定理，熟知以上知识是解答此题的关键．
三、解答题（共68分）
19.如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上．根据下列要求，利用直尺画图（不写作法）：
（1）画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的△A1B1C；
（2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2.

【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据网格结构找出点A、B绕点C顺时针旋转90°后的对应点A1、B1的位置，再与点C顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于点O的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．
【详解】解:(1)如图所示，△A1B1C即为所求;
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求.

【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
20.在“书香校园”活动中，某校为了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成部分统计图表如下：
类别
家庭藏书m本
学生人数
A
0≤m≤25
20
B
26≤m≤100
a
C
101≤m≤200
50
D
m≥201
66

根据以上信息，解答下列问题：
（1）该调查的样本容量为　 　，a＝　 　；
（2）在扇形统计图中，“A”对应扇形的圆心角为　 　°；
（3）若该校有2000名学生，请估计全校学生中家庭藏书200本以上的人数．

【答案】（1）200，64；（2）36°；(3)660.
【解析】
【分析】
（1）根据“C”的人数和在扇形图中所占的百分比，先求出样本容量，再根据“B”的百分比计算出a的值；
（2）利用圆心角计算公式，即可得到“A”对应的扇形的圆心角；
（3）依据家庭藏书200本以上的人数所占的比例，即可估计该校家庭藏书200本以上的人数．
【详解】（1）因为“C”有50人，占样本的25%，
所以样本容量=50÷25%=200（人）
因为“B”占样本的32%，
所以a=200×32%=64（人）
故答案为200，64；
（2）“A”对应的扇形的圆心角=×360°=36°，
故答案为36°；
（3）全校学生中家庭藏书200本以上的人数为：
2000×=660（人）
答：全校学生中家庭藏书200本以上的人数为660人．
【点睛】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计表和统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21.如图，在▱ABCD中，点M，N分别是边AB，CD的中点．
求证：AN=CM．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质：平行四边的对边相等，可得，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵M，N分别是AB、CD的中点，
∴CN=CD，AM=AB，
∵CN∥AM，
∴四边形ANCM为平行四边形，
∴AN=CM．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，根据条件选择适当的判定方法是解题关键.
22.如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ．
(1)求证：四边形BPEQ是菱形．
(2)若AB=5，F为AB的中点，OF=6，求BE的长．

【答案】（1）见解析；（2）BE=13.
【解析】
【分析】
（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
（2）先求出O是BE的中点，再根据F是AB的中点，OF=6，即可求出BE.
【详解】解：（1）∵PQ垂直平分BE，
∴PB=PE，OB=OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO=∠QBO，
在△BOQ与△EOP中

∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE=QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB=QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
(2)∵PQ垂直平分BE，
∴O是BE的中点
∵F是AB的中点,OF=6，
∴AE=12，
∵AB=5,∠A=90°，
∴BE=13.
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质，平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
23.如图，四边形中，对角线相交于点，，，且．
（1）求证：四边形是矩形．
（2），若：，则的度数是多少？

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．
【详解】解：（1）四边形是矩形，其证明过程是：
∵，，
∴四边形是平行四边形.
∴
∵，
∴
∴四边形是矩形.
（2）在矩形中，，，
∵
∴，，
∵，
∴
∴
∴.
【点睛】本题考查矩形的判定与性质，（1）中能根据题中所给条件选择适当的判定定理是解题关键；（2）中能根据矩形的对角线相等且平分，得出是解题关键.
24.如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．
（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；
（2）①当AD与BC满足条件 时，四边形EFHI是矩形；
②当AG与BC满足条件 时，四边形EFHI是菱形．

【答案】（1）证明见解析；（2）①AD⊥BC；②2AD=3BC
【解析】
【分析】
（1）证出EF、HI分别是△ABC、△BCG的中位线，根据三角形中位线定理可得EF∥BC且EF=BC，HI∥BC且PQ=BC，进而可得EF∥HI且EF=HI．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①由三角形中位线定理得出FH∥AD，再证出EF⊥FH即可；
②与三角形重心定理得出AG=AD，证出AG=BC，由三角形中位线定理和添加条件得出FH=EF，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF=BC．
∵H、I分别是BG、CG的中点，
∴HI是△BCG的中位线，
∴HI∥BC且HI=BC，
∴EF∥HI且EF=HI，
∴四边形EFHI是平行四边形．
（2）解：①当AD与BC满足条件 AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：
同（1）得：FH是△ABG的中位线，
∴FH∥AG，FH=AG，
∴FH∥AD，
∵EF∥BC，AD⊥BC，
∴EF⊥FH，
∴∠EFH=90°，
∵四边形EFHI是平行四边形，
∴四边形EFHI是矩形；
故答案为AD⊥BC；
②当AD与BC满足条件BC=AD时，四边形EFHI是菱形；理由如下：
∵△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，
∴AG=AD，
∵BC=AD，
∴AG=BC，
∵FH=AG，EF=BC，
∴FH=EF，
又∵四边形EFHI是平行四边形，
∴四边形EFHI是菱形；
故答案为2AD=3BC．
点睛：此题主要考查了三角形中位线定理，以及平行四边形的判定与性质，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
25.在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．

【感知】如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）
【探究】如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．
（1）求证：BE=FG．
（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为　 　．
【应用】如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为　 　．
【答案】（1）证明见解析；（2）2，9.
【解析】
【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；
探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；
（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，
应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．
【详解】感知：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∵AF⊥BE，
∴∠ABE+∠BAF=90°，
∴∠BAF=∠CBE，
在△ABF和△BCE中，
，
∴△ABF≌△BCE（ASA）；
探究：（1）如图②，

过点G作GP⊥BC于P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，
∴四边形ABPG是矩形，
∴PG=AB，∴PG=BC，
同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，
△PGF和△CBE中，
，
∴△PGF≌△CBE（ASA），
∴BE=FG；
（2）由（1）知，FG=BE，
连接CM，
∵∠BCE=90°，点M是BE的中点，
∴BE=2CM=2，
∴FG=2，
故答案为2．
应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，
∴ME=3，
同探究（1）得，CG=BE=6，
∵BE⊥CG，
∴S四边形CEGM=CG×ME=×6×3=9，
故答案为：9．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的性质与定理、判断出CG=BE是解本题的关键．