南京市鼓楼区2018-2019学年八年级第二学期期中数学试题（含答案）

这是一份南京市鼓楼区2018-2019学年八年级第二学期期中数学试题（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
南京市鼓楼区宁海中学2018-2019学年八年级下学期期中数学试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
投篮次数
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
A
投中次数
7
15
23
30
38
45
53
60
68
75
投中频率
0.700
0.750
0.767
0.750
0.760
0.750
0.757
0.750
0.756
0.750
B
投中次数

14
23
32
35
43
52
61
70
80
投中频率
0.800
0.700
0.767
0.800
0.700
0.717
0.743
0.763
0.778
0.800

下面有三个推断：
①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．
②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．
③投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次．
其中合理的是（　　）
A. ① B. ② C. ①③ D. ②③
3.对于反比例函数，下列说法中不正确的是(　　)
A. 图象经过点
B. 当时，的值随的值的增大而增大
C. 图像分布在第二、四象限
D. 若点，都在图像上，且，则．
4.在平面中，下列命题为真命题的是（ ）
A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是菱形
C. 四个角相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
5.下列变形不正确是(　　)
A. B.
C D.
6.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，，则的值为(　　)

A. 8 B. 9 C. 12 D. 11
二、填空题
7.一只不透明袋中装有除颜色外完全相同的6个球，其中3个红球、3个黄球，将球摇匀．从袋中任意摸出3个球，则其中至少有2个球同色的事件是_____________事件．（填“必然”、“不可能”、“随机”）
8.使式子有意义x的取值范围是_______．
9.当x＝_________时，分式的值为0．
10.如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落在AC边上的点D处，设旋转角为a（0°＜a＜90°）．若DB＝125°，DE＝30°，则α＝_____°．

11.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为_______________cm2．

12.若A（－1，y1）、B（－2，y2）是反比例函数y＝（m为常数，m≠）图象上两点，且y1＞y2，则m的取值范围是_____________．
13.如图，在平行四边形中，为上一点，，，若，则____．

14.课本上，在画图象之前，通过讨论函数表达式中的符号特征以及取值范围，猜想出的图象在第一、三象限．据此经验，猜想函数的图象在第____象限．
15.如图，是的角平分线，，交于点，，交于点，当满足条件________时，四边形是正方形．

16.如图，四边形、是面积分别为、的正方形，点在轴上，点在上，点在反比例函数()的图象上，若，则值为____．

三、解答题
17.计算：
（1）
（2）
18.（1）计算：
（2）解方程：
19.先化简，再从-2、-1、0、1、2中选一个你认为合适的数作为的值代入求值．
20.如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段．
（1）请用直尺和圆规作出旋转中心(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论．

21.如图，①四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，②EF⊥AC，③AO＝CO．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）在本题①②③三个已知条件中，去掉一个条件，（1）的结论依然成立，这个条件是 （直接写出这个条件的序号）．
22.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝3x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴，垂足为C，连接BC．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，△OPC与△ABC面积相等，请直接写出点P的坐标．
23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE
（1）求证：CE=AD
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明理由
（3）若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明理由．

24.书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购买若干本，按 每本 10 元出售，很快售完．第二次购买时，每本书的进价比第一次提高了 20%，他用1500 元所购买的数量比第一次多 10 本．
（1）求第一次购买的图书，每本进价多少元？
（2）第二次购买的图书，按每本 10 元售出 200 本时，出现滞销，剩下的图书降价后全部 售出，要使这两次销售的总利润不低于 2100 元，每本至多降价多少元？（利润=销售收入一进价）
25.已知：如图，，，分别是的中点，请判断四边形的形状，并证明你的结论．

26.小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，的两边分别与正方形的边BC、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF．
【探究发现】
在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系：______．
【拓展思考】
在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：______，并证明你的结论；
【创新应用】
若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．




一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念戳图案中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
【详解】解：观察四个选项中的图形，只有C符合中心对称的定义.
【点睛】本题考察了中心对称的含义.
2.将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
投篮次数
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
A
投中次数
7
15
23
30
38
45
53
60
68
75
投中频率
0.700
0.750
0.767
0.750
0.760
0.750
0.757
0.750
0.756
0.750
B
投中次数

14
23
32
35
43
52
61
70
80
投中频率
0.800
0.700
0.767
0.800
0.700
0.717
0.743
0.763
0.778
0.800

下面有三个推断：
①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．
②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．
③投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次．
其中合理的是（　　）
A. ① B. ② C. ①③ D. ②③
【答案】B
【解析】
【分析】
根据随机事件与必然事件对①进行判断；根据大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率对②进行判断；根据随机事件与必然事件对③进行判断即可.
【详解】投篮30次时，两位运动员都投中23次是偶然事件，只是巧合碰上，概率要大量重复实验的稳定频率才能得出，故①不合理，
随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．根据表中信息可知②合理，
投篮达到200次时， B运动员投中次数不能保证一定为160次，不是必然事件，可能多，也可能少，故③不合理，
故选B
【点睛】本题考查了利用概率估计频率及随机事件与必然事件，了解大量重复实验中事件发生的频率等于事件发生的概率是解题关键．
3.对于反比例函数，下列说法中不正确是(　　)
A. 图象经过点
B. 当时，的值随的值的增大而增大
C. 图像分布在第二、四象限
D. 若点，都在图像上，且，则．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质判断即可．
【详解】解：A. 把代入反比例函数得，，本选项正确；
B. ，图象分别位于第二、四象限，函数在x0上同为增函数，本选项正确；
C. ，因此图像分布在第二、四象限，本选项正确；
D. 函数在x0上同为增函数，若点，都在图像上，当或时，，本选项错误．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质，牢记反比例函数图象的性质是解此题的关键．
4.在平面中，下列命题为真命题的是（ ）
A. 四边相等的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是菱形
C. 四个角相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【分析】
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案，不是真命题的可以举出反例排除．
【详解】A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；
B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；
C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，如铮形（如图），故此选项错误．

故选C．
【点睛】本题考查命题与定理，正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定．
5.下列变形不正确的是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A. ，此选项正确；
B. ，此选项正确；

C. ，故此选项错误；
D. ，此选项正确．

故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变．
6.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，，则的值为(　　)

A. 8 B. 9 C. 12 D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】
利用中点坐标公式，构建方程求出a，b的值即可．
【详解】解：如图，连接AC、BD交于点F，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF=CF，BF=DF，
∵，，，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查的知识点是坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．
二、填空题
7.一只不透明的袋中装有除颜色外完全相同的6个球，其中3个红球、3个黄球，将球摇匀．从袋中任意摸出3个球，则其中至少有2个球同色的事件是_____________事件．（填“必然”、“不可能”、“随机”）
【答案】必然.
【解析】
【详解】解：从袋中任意摸出3个球，则其中至少有2个球同色的事件是必然事件
故答案为：必然．
【点睛】本题考查随机事件．
8.使式子有意义的x的取值范围是_______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，
必须
解得：
故答案为：．
9.当x＝_________时，分式的值为0．
【答案】2
【解析】
【分析】
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案．
【详解】∵分式的值为0，
∴x2-4=0，x+2≠0，
解得：x=2．
故答案为2．
【点睛】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关性质是解题关键．
10.如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落在AC边上的点D处，设旋转角为a（0°＜a＜90°）．若DB＝125°，DE＝30°，则α＝_____°．

【答案】25．
【解析】
【分析】
根据旋转的性质得∠C=∠E=30°，∠DAB=α，然后根据三角形内角和定理计算出∠CAB=25°从而得到∠α=25°．
【详解】解：∵△ABC绕点A逆时针方向旋转到△ADE的位置，点B落在AC边上的点D处，
∴∠C=∠E=30°，∠DAB=α，
∵∠CAB+∠C+∠B=180°，
∴∠CAB=180°-30°-125°=25°，
∴∠α=25°．
【点睛】本题考查旋转的性质．
11.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为_______________cm2．

【答案】2．
【解析】
【详解】解：∵E是AB的中点，
∴AE=1，
∵DE丄AB，
∴DE=．
∴菱形的面积为：2×=2．
故答案为2．
12.若A（－1，y1）、B（－2，y2）是反比例函数y＝（m为常数，m≠）图象上的两点，且y1＞y2，则m的取值范围是_____________．
【答案】m＞0.5．
【解析】
【详解】解：因为-1＞-2，y1＞y2，所以y随x的增大而增大，
所以反比例函数y＝中，1-2m＜0，
解得m＞0.5．
故答案为：m＞0.5．
【点睛】本题考查反比例函数的性质．
13.如图，在平行四边形中，为上一点，，，若，则____．

【答案】
【解析】
【分析】
根据，，可得出，再利用平行四边形的性质可得出，，因此得出，，即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案：．
【点睛】本题考查的知识点是平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和，掌握以上知识点是解此题的关键．
14.课本上，在画图象之前，通过讨论函数表达式中的符号特征以及取值范围，猜想出的图象在第一、三象限．据此经验，猜想函数的图象在第____象限．
【答案】一、二
【解析】
【分析】
分两种情况：，进行讨论，由各象限点的坐标特征可求出该函数的图象所在象限．
【详解】解：当时，，此时函数在第一象限；
当时，，此时函数在第二象限；
故函数的图象在第一、二象限．
故答案为：一、二．
【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象，比较基础，易于掌握．
15.如图，是的角平分线，，交于点，，交于点，当满足条件________时，四边形是正方形．

【答案】
【解析】
【分析】
由题意知，四边形DEBF是平行四边形，再通过证明一组邻边相等，可知四边形DEBF是菱形，进而得出∠ABC=90°时，四边形BEDF是正方形．
【详解】当△ABC满足条件∠ABC=90∘，四边形DEBF是正方形．
理由：∵DE∥BC,DF∥AB，
∴四边形DEBF是平行四边形
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBD=∠FBD，
又∵DE∥BC，
∴∠FBD=∠EDB，
则∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE.
故平行四边形DEBF是菱形，
当时，
菱形DEBF是正方形.
故答案为
【点睛】考查了菱形以及正方形的判定，掌握菱形以及正方形的判定方法是解题的关键.
16.如图，四边形、是面积分别为、的正方形，点在轴上，点在上，点在反比例函数()的图象上，若，则值为____．

【答案】2
【解析】
【分析】
设正方形、的边长分别为a，b，则可表示出，，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出，利用点E与点D的纵坐标相同，求解即可．
【详解】解：设正方形、的边长分别为a，b，
则，，，
∵点E与点D的纵坐标相同，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2．
【点睛】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得出点D、E、F的坐标是解此题的关键．
三、解答题
17.计算：
（1）
（2）
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】
（1）先通分，分子再合并同类项，最后约分化简即可；
（2）通分计算即可．
【详解】解：（1）；
（2）．
【点睛】本题考查的知识点是分式的减法，掌握通分、约分的概念是解此题的关键．
18.（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）原式通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得出答案；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得出原分式方程的解；
【详解】解：（1）；
（2）原方程去分母得：
解得：，
经检验是分式方程的解．
【点睛】本题考查的知识点是分式的加减法以及解分式方程，掌握分式的加减法法则以及解分式方程的一般步骤是解此题的关键．
19.先化简，再从-2、-1、0、1、2中选一个你认为合适的数作为的值代入求值．
【答案】，可选-2或2，时解为-2；时解为
【解析】
【分析】
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】解：；
∵分式分母不为0，
∴可选-2或2，
∴当时，原式；当时，原式．
【点睛】本题考查分式的运算，其中主要涉及分式的加减法以及分式的乘除法，分式的加减法关键是化异分母为同分母，分式的除法关键是将被除分子变成乘以该分子的倒数．
20.如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段．
（1）请用直尺和圆规作出旋转中心(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论．

【答案】（1）答案见解析；（2）如：，等．
【解析】
【分析】
（1）连接，再分别作的中垂线，两中垂线的交点即为所求；
（2）根据旋转的性质可知，对应角都等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，可得出结论．
【详解】解：（1）如下图所示，点即为所求．

（2）如：，等．
【点睛】本题考查的知识点是作图中的旋转变换，掌握作旋转变换图形的一般步骤是解此题的关键．
21.如图，①四边形ABCD是平行四边形，线段EF分别交AD、AC、BC于点E、O、F，②EF⊥AC，③AO＝CO．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；

（2）在本题①②③三个已知条件中，去掉一个条件，（1）的结论依然成立，这个条件是 （直接写出这个条件的序号）．
【答案】（1）证明见解析（2）②
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得AE∥CF，根据平行线的性质可得∠DAC＝∠BCA，然后再加上条件AO=CO，对顶角∠AOE=∠FOC，可利用ASA证明△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质可得AE＝CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得四边形AFCE是平行四边形；

（2）根据（1）的证明可得EF⊥AC多余．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠DAC＝∠BCA ，
在△AOE和△COF中， ，
∴△AOE≌△COF（ASA）
∴AE＝CF
∴四边形AFCE是平行四边形
（2）由（1）的证明可得EF⊥AC多余．
故答案为②．
点睛：本题主要考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是熟知平行四边形的判定方法和性质．
22.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝3x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，点A的横坐标为2，AC⊥x轴，垂足为C，连接BC．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）求△ABC的面积；
（3）若点P是反比例函数y＝图象上的一点，△OPC与△ABC面积相等，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）y＝；（2）S△ABC＝12；（3）P点坐标为（1，12）或（﹣1，﹣12）．
【解析】
【分析】
（1）把A点横坐标代入正比例函数可求得A点坐标，代入反比例函数解析式可求得k，可求得反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数的对称性得出点B的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可；
（3）由条件可求得B、C的坐标，可先求得△ABC的面积，再结合△OPC与△ABC的面积相等求得P点坐标．
详解】解：（1）把x＝2代入y＝3x中，得y＝2×3＝6，
∴点A坐标为（2，6），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×6＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵AC⊥OC，
∴OC＝2，
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣2，﹣6），
∴B到OC的距离为6，
∴S△ABC＝2S△ACO＝2××2×6＝12，
（3）∵S△ABC＝12，
∴S△OPC＝12，
设P点坐标为（x，），则P到OC的距离为||，
∴×||×2＝12，解得x＝1或﹣1，
∴P点坐标为（1，12）或（﹣1，﹣12）．
【点睛】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得A点坐标，在（3）中求得P点到OC的距离是解题的关键．
23.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，过点C直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE
（1）求证：CE=AD
（2）当点D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明理由
（3）若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）四边形BECD是菱形，理由见解析；（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；（3）四边形BECD为正方形，则∠ADE=∠BDE=45°，可得∠ABC=45°，则∠A=45°.
【详解】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴四边形BECD是菱形；
（3）若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由如下：
∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴DC=DB，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形、正方形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．

24.书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购买若干本，按 每本 10 元出售，很快售完．第二次购买时，每本书的进价比第一次提高了 20%，他用1500 元所购买的数量比第一次多 10 本．
（1）求第一次购买的图书，每本进价多少元？
（2）第二次购买的图书，按每本 10 元售出 200 本时，出现滞销，剩下的图书降价后全部 售出，要使这两次销售的总利润不低于 2100 元，每本至多降价多少元？（利润=销售收入一进价）
【答案】（1）5元（2）2元．
【解析】
【分析】
（1）设第一次购买的图书的进价为x元/本，则第二次购买图书的进价为1.2x元/本，根据数量＝总价÷单价结合第二次比第一次多购进10本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据数量＝总价÷单价可求出第一次购进图书的数量，将其＋10可求出第二次购进图书的数量，设每本降价y元，根据利润＝销售收入一进价结合两次销售的总利润不低于2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）设第一次购买图书的进价为x元/本，则第二次购买图书的进价为1.2x元/本，
根据题意得：
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意．
答：第一次购买的图书，每本进价为5元．
（2）第一次购进数量为1200÷5＝240（本），
第二次购进数量为240＋10＝250（本）．
设每本降价y元，
根据题意得：240×10＋200×10＋（250−200）（10−y）−1200−1500≥2100，
解得：y≤2．
答：每本至多降价2元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.已知：如图，，，分别是的中点，请判断四边形的形状，并证明你的结论．

【答案】四边形是矩形，证明见解析．
【解析】
【分析】
连接，交于点，根据已知条件可得出，，从而证明结论．
【详解】解：四边形是矩形，
证明：连接，交于点，

∵分别是边的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∵，，
∴在的垂直平分线上，
∴，
∵，
∴
∴平行四边形是矩形；
【点睛】本题考查的知识点是中点四边形，掌握平行四边形的判定定理以及矩形的判定定理是解此题的关键．
26.小明与同学们在数学动手实践操作活动中，将锐角为的直角三角板MPN的一个锐角顶点P与正方形ABCD的顶点A重合，正方形ABCD固定不动，然后将三角板绕着点A旋转，的两边分别与正方形的边BC、DC或其延长线相交于点E、F，连结EF．
【探究发现】
在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC相交时，如图所示，请直接写出线段BE、DF、EF满足的数量关系：______．
【拓展思考】
在三角板旋转过程中，当的两边分别与正方形的边CB、DC的延长线相交时，如图所示，则线段BE、DF、EF又将满足怎样的数量关系：______，并证明你的结论；
【创新应用】
若正方形的边长为4，在三角板旋转过程中，当的一边恰好经过BC边的中点时，试求线段EF的长．

【答案】（1）；（2），见解析；（3）或.
【解析】
【分析】
延长FD至G，使，连接AG，先证≌，再证≌即可；
在DC上截取，连接AH，先证≌，再证≌△EAF即可；
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】解：结论：．
理由：延长FD至G，使，连接AG，如图，

是正方形，
，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
即：．
故答案为．
结论：．
理由：在DC上截取，连接AH，如图，

，，
≌，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
．
故答案为．
当MA经过BC的中点E时，由（1）（2）可知：设，则，．
在中，，
，
．
当NA经过BC的中点G时，由（1）（2）可知：设，则，，
，，
由勾股定理得到：，
，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．