南京市秦淮区四校2018-2019学年八年级第二学期期中联考数学试题（含答案）

这是一份南京市秦淮区四校2018-2019学年八年级第二学期期中联考数学试题（含答案），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2018～2019学年第二学期期中考试八年级数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A. B. C. D.
2.下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A. 对全国中学生使用手机情况的调查
B. 对元宵节期间来夫子庙观赏花灯的游客的满意度调查
C. 对本校某班学生阅读课外书籍情况的调查
D. 环保部门对秦淮河水质情况调查
3.抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，小明掷一次骰子，观察向上的一面的点数，下列属必然事件的是（ ）
A. 出现的点数小于7 B. 出现的点数是3
C. 出现的点数大于8 D. 出现的点数是偶数
4.把分式中的a、b、c的值都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A. 变为原来的5倍 B. 不变
C. 变为原来的 D. 变为原来的
5.明天降水的概率为0.85，则说明（ ）
A. 明天一定会下雨 B. 明天下雨的可能性很大
C. 明天有85%的时间在下雨 D. 明天下雨和不下雨的可能性差不多大
6.为了了解南京市八年级学生身高情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序．①用样本估计总体；②整理数据；③设计调查问卷④分析数据；⑤收集数据．则正确的排序为（ ）
A. ⑤③②④① B. ③⑤②①④ C. ③⑤②④① D. ③⑤④②①
7.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝15°，∠ACB＝87°，则∠FEG等于（ ）

A. 39° B. 18° C. 72° D. 36°
8.如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（ ）

A. 8 B. 10 C. 10.4 D. 12
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
9.若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10.为了解我市2018年中考数学的情况，从全市4.78万考生中抽取了1000名考生的数学成绩进行分析，在这个问题中样本是_______．
11.方程的解是 ．
12.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝115°，则∠α＝____°．

13.下表是某地生活垃圾处理情况分析，选择________统计图进行分析比较较为合理．
处里方式
回收利用
填埋
焚烧
占的百分比
4%
23%
73%
14.菱形ABCD的周长为52cm，一条对角线的长为24cm，则该菱形的面积为____cm2．
15.某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意可列得方程_____．
16.如图，转盘中5个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，把下列事件:①指针落在标有3的区域内；②指针落在标有奇数的区域；③指针落在标有6的区域内；④指针落在标有偶数或奇数的区域,的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为_____．

17.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ABD＝m°，则∠E＝_____度（用含m的代数式表示）．

18.如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，∠C＝90°且A(－1，3)、B(－3，－1)、C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．若点Q在x轴上，点P在直线AB上，要使以Q、P、A1、C1为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点Q的坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64分．）
19.（1）计算：(a＋2－)÷．
（2）先化简，再求值： － ，其中a＝1．
（3）解方程：．
20.某商场有一种游戏，规则是：在一只装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外都相同）的不透明的箱子中，随机摸出1个球，摸到红球就可获得一瓶饮料．工作人员统计了参加游戏的人数和获得饮料的人数（见下表）．
（1）计算并完成表格；
参加游戏的人数
200
300
400
500
获得饮料的人数
39
63
82
99
获得饮料的频率




（2）估计获得饮料的概率；
（3）请你估计袋中白球的数量．
21.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形；为什么．

22.为了增强学生环保意识，某校组织了一次全校2000名学生都参加的“环保知识”考试，考题共10题．考试结束后，学校团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：


（1）本次抽查的样本容量是　 　；在扇形统计图中，m=　 　，n=　 　，“答对8题”所对应扇形的圆心角为　 　度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对不少于8题的学生人数．
23.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)、B(0，2)，点P(a，a)．
（1）当a＝2时，将△AOB绕点P(a，a)逆时针旋转90°得△DEF，点A的对应点为D，点O的对应点为E，点B的对应点为点F，在平面直角坐标系中画出△DEF，并写出点D的坐标 ；
（2）作线段AB关于P点的中心对称图形（点A、B的对应点分别是G、H），若四边形ABGH是正方形，则a＝ ．

24.甲队计划用若干天完成某项工作，从第4天起，乙队加入此项工作，且甲、乙两队的工作效率相同，结果提前两天完成任务．求甲队原计划完成工作的天数．
25.在第九章中我们研究了几种特殊四边形，请根据你的研究经验来自己研究一种特殊四边形——筝形．
初识定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．
（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是 ．
性质研究：
（2）类比你学过的特殊四边形的性质，通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图的筝形ABCD（AB＝AD，BC＝CD）的性质进行探究，以下判断正确的有 （填序号）．
①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；
③AC平分∠BAD和∠BCD；
④∠ABC＝∠ADC；⑤∠BAD＋∠BCD＝180°；
⑥筝形ABCD的面积为AC×BD．
（3）在上面筝形性质中选择一个进行证明．
性质应用：
（4）直接利用你发现的筝形的性质解决下面的问题：
如图，在筝形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，点P是对角线BD上一点，过P分别做AD、CD垂线，垂足分别为点M、N．当筝形ABCD满足条件 时，四边形PNDM是正方形？请说明理由．

判定方法：
（5）回忆我们学习过的特殊四边形的判定方法（如四边相等的四边形是菱形），用文字语言写出筝形的一个判定方法（除定义外）： ．
26.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：如图3，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．中一定成立是 （填序号）.

图1 图2 图3



一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．）
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.
2.下列调查中，适宜采用普查方式的是（ ）
A. 对全国中学生使用手机情况的调查
B. 对元宵节期间来夫子庙观赏花灯的游客的满意度调查
C. 对本校某班学生阅读课外书籍情况的调查
D. 环保部门对秦淮河水质情况的调查
【答案】C
【解析】
【分析】
调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．
【详解】A、对全国中学生使用手机情况的调查，由于人数多，应当使用抽样调查，故本选项错误；
B、对元宵节期间来夫子庙观赏花灯的游客的满意度调查，应当采用抽样调查，故本选项错误；
C、对本校某班学生阅读课外书籍情况的调查，应当采用全面调查，故本选项正确；
D、环保部门对秦淮河水质情况的调查，应当采用抽样调查的方式，故本选项错误，
故选C．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
3.抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，小明掷一次骰子，观察向上的一面的点数，下列属必然事件的是（ ）
A. 出现的点数小于7 B. 出现的点数是3
C. 出现的点数大于8 D. 出现的点数是偶数
【答案】A
【解析】
【分析】
必然事件是一定发生的事件，根据概念逐一进行分析即可.
【详解】A. 出现的点数小于7，必然事件，故符合题意；
B. 出现的点数是3，随机事件，故不符合题意；
C. 出现的点数大于8，不可能事件，故不符合题意；
D. 出现的点数是偶数，随机事件，故不符合题意，
故选A.
【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.把分式中的a、b、c的值都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）
A. 变为原来的5倍 B. 不变
C. 变为原来的 D. 变为原来的
【答案】B
【解析】
【分析】
把分式中的分子，分母中的a，b都同时变成原来的5倍，就是用5a，5b分别代替式子中的a，b，看得到的式子与原式子的关系即可．
【详解】，
故选B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解决这类题目的关键是正确的代入，并根据分式的性质进行分式的化简．
5.明天降水的概率为0.85，则说明（ ）
A. 明天一定会下雨 B. 明天下雨的可能性很大
C. 明天有85%的时间在下雨 D. 明天下雨和不下雨的可能性差不多大
【答案】B
【解析】
【分析】
明天的下雨概率是0.85，说明下雨的可能性很大，它属于可能性中的不确定事件，在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件；进而得出答案．
【详解】由分析知：明天的下雨的概率是85%，说明明天下雨的可能性很大，
故选B.
【点睛】本题考查了事件的确定性与不确定性，解答此类问题应根据可能性的大小，进行分析，进而得出结论．
6.为了了解南京市八年级学生的身高情况，请你运用所学的统计知识，将解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序．①用样本估计总体；②整理数据；③设计调查问卷④分析数据；⑤收集数据．则正确的排序为（ ）
A. ⑤③②④① B. ③⑤②①④ C. ③⑤②④① D. ③⑤④②①
【答案】C
【解析】
【分析】
根据已知统计调查的一般过程：问卷调查法-----收集数据；列统计表-----整理数据；画统计图-----描述数据进而得出答案．
【详解】解决上述问题要经历的几个重要步骤进行排序为：
③设计调查问卷，⑤收集数据，②整理数据，④分析数据，①用样本估计总体，
故选C．
【点睛】本题考查了调查收集数据的过程与方法，熟练掌握进行数据调查的步骤是解题关键．
7.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝15°，∠ACB＝87°，则∠FEG等于（ ）

A. 39° B. 18° C. 72° D. 36°
【答案】D
【解析】
【分析】
根据中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解．
【详解】∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，
∴GF//AD，FG=AD，GE//BC，GE=BC，
又∵AD=BC，
∴GF=GE，∠FGC=∠DAC=15°，∠AGE=∠ACB=87°，
∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=15°+(180°-87°)=108°，
∴∠FEG=×(180°-∠FGE)=36°，
故选D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
8.如图，将两张长为5，宽为1的矩形纸条交叉，若两张纸条重叠部分为一个四边形（两纸条不互相重合），则这个四边形的周长的最大值是（ ）

A. 8 B. 10 C. 10.4 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得重叠部分的四边形是菱形，画出图形，设菱形的边长为x，根据勾股定理求出周长即可．
【详解】由题意可得重叠部分的四边形是菱形，当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为x，
在Rt△ABC中，
由勾股定理：x2=(5-x) 2+12，
解得： x=2.6，
∴4x=10.4，
即菱形的最大周长为10.4，
故选C.

【点睛】本题考查了菱形的判定，本题的解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的周长最大，然后根据图形列方程．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
9.若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】x≠－2
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件进行求解即可.
【详解】由题意得：x+2≠0，
解得：x≠-2，
故答案为x≠-2.
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟知“分式的分母不为0”时分式有意义是解题的关键.
10.为了解我市2018年中考数学的情况，从全市4.78万考生中抽取了1000名考生的数学成绩进行分析，在这个问题中样本是_______．
【答案】抽取的1000名考生的数学成绩
【解析】
【分析】
样本是总体中所抽取的一部分个体，据此进行解答即可.
【详解】为了解我市2018年中考数学的情况，从全市4.78万考生中抽取了1000名考生的数学成绩进行分析，在这个问题中样本是抽取的1000名考生的数学成绩，
故答案为抽取的1000名考生的数学成绩.
【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
11.方程的解是 ．
【答案】x=6．
【解析】
﹣=0
去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，
去括号得：3x﹣6﹣2x=0，
整理得：x=6，
经检验得x=6是方程的根．
故答案为x=6．
12.如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝115°，则∠α＝____°．

【答案】25
【解析】
【分析】
根据矩形性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．
【详解】如图，

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠D=∠BAD=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，
∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，
∵∠1=∠2=115°，
∴∠3=360°-90°-90°-115°=65°，
∴∠4=90°-65°=25°，
∴∠α=25°，
故答案为25．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．
13.下表是某地生活垃圾处理情况的分析，选择________统计图进行分析比较较为合理．
处里方式
回收利用
填埋
焚烧
占的百分比
4%
23%
73%
【答案】扇形
【解析】
【分析】
条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．
【详解】解：由统计图的特点可知：想用统计图记录垃圾的处理比例，就用扇形统计图.
故答案为扇形.
【点睛】此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．

14.菱形ABCD的周长为52cm，一条对角线的长为24cm，则该菱形的面积为____cm2．
【答案】120
【解析】
【分析】
画出草图分析,因为菱形ABCD周长是52cm,所以边长是13cm, 根据对角线互相垂直平分得直角三角形,运用勾股定理求另一条对角线的长,最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解
【详解】解: 因为菱形ABCD周长是52cm, 所以边长是13cm, 如图所示:

AB=13cm,BD=24cm.
根据菱形的性质, AC⊥BD, BO=DO=12cm,
在Rt△AOB中,AO===5cm,
AC=2AO=10cm,
面积S===120cm.
故答案为120.
【点睛】本题考查了菱形的四条边相等的性质,以及对角线互相垂直平分的性质, 还考查了菱形面积的计算, 对角线乘积的一半.
15.某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意可列得方程_____．
【答案】－＝6
【解析】
【分析】
由单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；可列等量关系为：A型包装箱的数量-B型包装箱的数量= 6，由此可得到所求的方程．
【详解】每个A型包装箱可以装书x本，则有
－＝6，
故答案为－＝6.
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
16.如图，转盘中5个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，把下列事件:①指针落在标有3的区域内；②指针落在标有奇数的区域；③指针落在标有6的区域内；④指针落在标有偶数或奇数的区域,的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列为_____．

【答案】③＜①＜②＜④
【解析】
【分析】
转动转盘一次，转盘停止时，指针所落的区域有5种等可能的情况，据此分别求出各小题的概率即可求得答案.
【详解】转动转盘一次，转盘停止时，指针所落的区域有标有1、2、3、4、5的区域共5种等可能的情况，
①指针落在标有3的区域内的概率为；
②指针落在标有奇数区域的概率为；
③指针落在标有6的区域内的概率为0；
④指针落在标有偶数或奇数的区域的概率为1，
所以按发生的可能性从小到大的顺序排列为③＜①＜②＜④，
故答案为③＜①＜②＜④.
【点睛】本题考查了简单的概率计算，熟练掌握相关知识是解题的关键.
17.如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ABD＝m°，则∠E＝_____度（用含m的代数式表示）．

【答案】45－m
【解析】
【分析】
连接AC，由矩形性质可得∠ABC=90°，AC=BD，OB=OC，继而可得∠OCB=∠OBC，∠E=∠CAE，由∠ABD=m°，可得∠OBC=90°-m°，再由三角形外角的性质即可求得答案.
【详解】连接AC，交BD于点O，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AC=BD，OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
又∵BD=CE，
∴CE=CA，
∴∠E=∠CAE，
∵∠ABD=m°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABD=90°-m°，
∵∠OCB=∠CAE+∠E，
∴∠E+∠E=90°-m°，
∴∠E=(45－m)°，
故答案为45－m．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练掌握各有关的性质定理是解题的关键.
18.如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，∠C＝90°且A(－1，3)、B(－3，－1)、C(－3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．若点Q在x轴上，点P在直线AB上，要使以Q、P、A1、C1为顶点的四边形是平行四边形，满足条件的点Q的坐标为______．

【答案】(－1.5，0)或(－3.5，0)或(6.5，0)
【解析】
【分析】
用待定系数法先求出直线AB的解析式，然后再根据A1 C1为平行四边形的边和平行四边形的对角线两种情况分别进行求解即可.
【详解】∵由图可知A(-1，3)，B(-3，-1)，
∴设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，则
，解得，
∴直线AB的解析式为：y=2x+5；
∵点Q在x轴上，点P在直线AB上，以Q、P、A1、C1为顶点的四边形是平行四边形，
当A1C1为平行四边形的边时，
则PQ// A1 C1//y轴，PQ=A1 C1=2，
∵P点在直线y=2x+5上，
∴令y=2时，2x+5=2，解得x=-1.5，
令y=-2时，2x+5=-2，解得x=-3.5，
∴P(-1.5，2)或(-3.5，-2)，
∴Q(-1.5，0)或(-3.5，0)；
当A1C1为平行四边形的对角线时，
∵A1C1的中点坐标为(3，2)，
∴P的纵坐标为4，
代入y=2x+5得，4=2x+5，
解得x=﹣0.5，
∴P(﹣0.5，4)，
3-(-0.5)=3.5，3+3.5=6.5，
∴Q(6.5，0)，
综上，Q点坐标为：(－1.5，0)或(－3.5，0)或(6.5，0)，
故答案为(－1.5，0)或(－3.5，0)或(6.5，0).
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，分类讨论思想等，熟练相关内容是解题的关键.
三、解答题（本大题共8小题，共64分．）
19.（1）计算：(a＋2－)÷．
（2）先化简，再求值： － ，其中a＝1．
（3）解方程：．
【答案】（1）2a＋6; （2）;（3）原方程无解．
【解析】
【分析】
(1)括号内先通分进行分式加减运算，然后再进行分式乘除法运算即可；
(2)先通分进行分式减法运算，然后再代入数值进行计算即可；
(3)方程两边同时乘以x-3化为整式方程，解这个整式方程后进行检验即可.
【详解】(1) (a＋2－)÷
＝
＝
＝
＝2a＋6；
(2) －
＝
＝
＝
＝
＝－，
当a＝1时，原式＝－＝－．
(3)方程两边同乘x－3，得
2x＝x－3＋6，
解得：x＝3，
检验：当x＝3时x－3＝0，
所以x＝3是增根，原方程无解．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，熟练掌握分式混合运算的顺序以及解分式方程的步骤是解题的关键.
20.某商场有一种游戏，规则是：在一只装有8个红球和若干个白球（每个球除颜色外都相同）的不透明的箱子中，随机摸出1个球，摸到红球就可获得一瓶饮料．工作人员统计了参加游戏的人数和获得饮料的人数（见下表）．
（1）计算并完成表格；
参加游戏的人数
200
300
400
500
获得饮料的人数
39
63
82
99
获得饮料的频率




（2）估计获得饮料的概率；
（3）请你估计袋中白球的数量．
【答案】（1）0.195，0.21，0.205，0.198;（2）0.2;（3）估计袋中有32个白球．
【解析】
【分析】
(1)用获得饮料的人数除以参加游戏的人数即可得；
(2)根据(1)中的频率进行估计即可；
(3)利用估计的概率和概率公式进行求解即可.
【详解】(1)39÷200=0.195，63÷300=0.21，82÷400=0.202，99÷500=0.198，
填表如下：
参加游戏的人数
200
300
400
500
获得饮料的人数
39
63
82
99
获得饮料的频率
0.195
0.21
0.205
0.198

(2)观察表格可知随着参加人数的增加，获得饮料的频率逐渐稳定在0.2附近，
所以估计获得饮料的概率为0.2；
(3)设袋中有白球x个，
根据题意，得，
解这个方程，得x＝32，
经检验，x＝32是所列方程的解，
答：估计袋中有32个白球．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是了解大量反复试验中某个事件发生的频率能估计概率.
21.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．
（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBEF是菱形；为什么．

【答案】（1）证明见解析；（2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明.
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．
【详解】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC.
又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形.
（2）当AB=BC时，四边形DBEF是菱形．
理由如下：
∵D是AB的中点，
∴BD= AB.
∵DE是△ABC的中位线，
∴DE= BC.
∵AB=BC，
∴BD=DE.
又∵四边形DBFE是平行四边形，
∴四边形DBFE是菱形．
【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．

22.为了增强学生的环保意识，某校组织了一次全校2000名学生都参加的“环保知识”考试，考题共10题．考试结束后，学校团委随机抽查部分考生的考卷，对考生答题情况进行分析统计，发现所抽查的考卷中答对题量最少为6题，并且绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息解答以下问题：


（1）本次抽查的样本容量是　 　；在扇形统计图中，m=　 　，n=　 　，“答对8题”所对应扇形的圆心角为　 　度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）请根据以上调查结果，估算出该校答对不少于8题的学生人数．
【答案】（1）50，16，30，86.4；（2）补充图形见解析；（3）该校答对不少于8题的学生人数是1480人．
【解析】
【分析】（1）由答对6题有有5人占10%可求出样本容量，继而根据答对7题的人数可求得m以及n，用答对8题的比例乘以360度即可求得；
（2）根据样本容量以及答对9题、10题的比例求出各自的人数，即可补全条形图；
（3）根据题意列出算式，再求出即可．
【详解】（1）5÷10%=50（人），
本次抽查的样本容量是50，
=0.16=16%，1﹣10%﹣16%﹣24%﹣20%=30%，
即m=16，n=30，
360°×24%=86.4°，
故答案为50，16，30，86.4；
（2）答对9题有50×30%=15人，答对10题有50×20%=10人，
如图所示：
；
（3）2000×（24%+20%+30%）=1480（人），
答：该校答对不少于8题的学生人数是1480人．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等，读懂统计图，从中找出必要的信息是解题的关键.
23.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－4，0)、B(0，2)，点P(a，a)．
（1）当a＝2时，将△AOB绕点P(a，a)逆时针旋转90°得△DEF，点A的对应点为D，点O的对应点为E，点B的对应点为点F，在平面直角坐标系中画出△DEF，并写出点D的坐标 ；
（2）作线段AB关于P点的中心对称图形（点A、B的对应点分别是G、H），若四边形ABGH是正方形，则a＝ ．

【答案】（1）如图见解析；Ｄ(4，－4)；（2）－1．
【解析】
【分析】
(1)根据a的值确定P的坐标，然后根据旋转的性质结合网格特点画出图形，根据点D在坐标系中的位置写出坐标即可；
(2)分别以点A、B为旋转中心，将AB绕点A顺时针旋转90度得到AH，绕点B逆时针针旋转90度得到BG，连接GH，得到符合条件的图形，然后观察图形即可得解决问题.
【详解】(1)如图所示，

D点坐标为(4，-4)，
故答案为(4，-4)；
(2)如图，观察图形可知P(-1，-1)时，满足条件，故a=-1.

【点睛】本题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的性质以及网格的特点是解题的关键.
24.甲队计划用若干天完成某项工作，从第4天起，乙队加入此项工作，且甲、乙两队的工作效率相同，结果提前两天完成任务．求甲队原计划完成工作的天数．
【答案】甲队原计划7天完成工作.
【解析】
【分析】
设甲队原计划x天完成工作，由题意知：整个过程中，甲做了(x-2)天，乙做了(x-2-3)天，再根据甲、乙做的工作量等于1，列方程求解即可．
【详解】设甲队原计划x天完成工作，
根据题意，得=1，
解这个方程，得x＝7，
经检验，x＝7是所列方程的解，
答：甲队原计划7天完成工作.
【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题应用的公式有：工作总量=工作时间×工效．弄清此题中每个人的工作时间是解决此题的关键．
25.在第九章中我们研究了几种特殊四边形，请根据你的研究经验来自己研究一种特殊四边形——筝形．
初识定义：两组邻边分别相等的四边形是筝形．
（1）根据筝形的定义，写出一种你学过的四边形满足筝形的定义的是 ．
性质研究：
（2）类比你学过的特殊四边形的性质，通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图的筝形ABCD（AB＝AD，BC＝CD）的性质进行探究，以下判断正确的有 （填序号）．

①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；
③AC平分∠BAD和∠BCD；
④∠ABC＝∠ADC；⑤∠BAD＋∠BCD＝180°；
⑥筝形ABCD的面积为AC×BD．
（3）在上面的筝形性质中选择一个进行证明．
性质应用：
（4）直接利用你发现的筝形的性质解决下面的问题：
如图，在筝形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，点P是对角线BD上一点，过P分别做AD、CD垂线，垂足分别为点M、N．当筝形ABCD满足条件 时，四边形PNDM是正方形？请说明理由．

判定方法：
（5）回忆我们学习过的特殊四边形的判定方法（如四边相等的四边形是菱形），用文字语言写出筝形的一个判定方法（除定义外）： ．
【答案】（1）菱形（或正方形，答案不唯一）；（2）①③④⑥．（3）选①．证明见解析；（4）∠ADC＝90°． 证明见解析；（5）一条对角线垂直且平分另一条对角线的四边形是筝形．（答案不唯一，如一组邻边相等且对角线互相垂直的四边形是筝形等．）
【解析】
【分析】
(1)根据筝形的定义，结合平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得；
(2)根据筝形的定义，结合线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质、四边形的面积进行分析即可得；
(3)根据筝形的定义，结合线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定与性质、四边形的面积等选择任何一个性质进行证明即可；
(4)结合筝形的性质结合正方形的判定方法即可得；
(5)如：一条对角线垂直且平分另一条对角线的四边形是筝形．由AC是BD的垂直平分线，可得AB=AD，CB=CD．继而证得结论．(答案不唯一)
【详解】(1)由菱形和正方形的定义可知菱形(或正方形)是筝形，
故答案为菱形(或正方形，答案不唯一)；
(2)∵四边形ABCD是筝形，AB＝AD，BC＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴AC⊥BD，故①正确，②错误；
∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，∠ABC＝∠ADC，
∴AC平分∠BAD和∠BCD，故③、④正确，
∵AC⊥BD，
∴筝形ABCD的面积为AC×BD，故⑥正确，
无法推出⑤，故⑤错误，
故答案①③④⑥；
(3)选①，
证明：∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AC垂直平分BD．
∴AC⊥BD．
答案不唯一，
选③，
证明：∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA．
∴AC平分∠BAD和∠BCD．
选④，
证明：∵AB＝AD，BC＝CD，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC．
∴∠ABC＝∠ADC．
选⑥，
证明：∵AB＝AD，BC＝CD，
∴AC垂直平分BD．
∴AC⊥BD．
∴筝形ABCD的面积为AC×BD．
(4)当筝形ABCD满足条件∠ADC＝90°时，四边形PNDM是正方形，理由如下：
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°．
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形．
∵在筝形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，
∴∠ADB＝∠CDB，
又∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN，
∴四边形MPND是正方形，
故答案为∠ADC＝90°．
(5)一条对角线垂直且平分另一条对角线四边形是筝形．(答案不唯一，如一组邻边
相等且对角线互相垂直的四边形是筝形等．)
已知：如图，在四边形ABCD中，AC是BD的垂直平分线．
求证：四边形ABCD是筝形．

证明：∵AC是BD的垂直平分线，
∴AB=AD，CB=CD，
∴四边形ABCD是筝形．
【点睛】本题属于四边形的综合题．属于新定义类题目，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的性质、正方形的性质与判定等，读懂题意，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.
26.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（1）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
①求证：BE+CF＞EF；②若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明；
（2）问题拓展：如图3，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，联结EF、CF，那么下列结论①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．中一定成立是 （填序号）.

图1 图2 图3
【答案】（1）①证明见解析；②BE2+CF2=EF2；(2)①②④.
【解析】
试题分析：（1）①可按阅读理解中的方法构造全等，把CF和BE转移到一个三角形中，利用三角形的三边关系求解即可；②由∠A=90°，可得∠EBC+∠FCB=90°，由①中的全等得到∠C=∠CBG；即可得∠ABC+∠CBG =90°，即∠EBG=90°，由此可得可得三边之间存在勾股定理关系；（2）①在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，可得AF=FD=CD，即可得∠DFC=∠DCF；再由AD∥BC，根据平行线的性质可得∠DFC=∠FCB，所以∠DCF=∠BCF，根据角平分线的定义可得∠DCF=∠BCD，①正确；②延长EF，交CD延长线于M，根据已知条件易证△AEF≌△DMF，根据全等三角形的性质可得FE=MF，∠AEF=∠M，又因CE⊥AB，可得∠AEC=90°，所以∠AEC=∠ECD=90°，因FM=EF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得FC=FM，②正确；③由EF=FM可得S△EFC=S△CFM，又因MC＞BE，即可得S△BEC＜2S△EFC，所以S△BEC=2S△CEF错误，即③错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，所以∠DCF=∠DFC=90°﹣x，根据三角形外角的性质可得∠EFC=180°﹣2x，所以∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，再由∠AEF=90°﹣x，即可得∠DFE=3∠AEF，④正确．
试题解析：
延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），

∵BD=CD,∠BDG=∠CDF，
∴△BDG≌△CDF,
∴CF=BG，
∵DE⊥DF，DF=DG，
∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
②若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，
由①知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
∴BE2+CF2=EF2；
（2）①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故此选项正确；
②延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中， ，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故正确答案：①②④.
点睛：本题是一道三角形与四边形的综合题，类比题目中所给的方法解决问题的关键，本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，体现了综合运用知识解决问题的能力.