高中物理人教版 (2019)必修 第二册4 宇宙航行导学案

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1、两种变轨情况
人造卫星沿圆轨道和椭圆轨道运行的条件：
如图所示，设卫星的速度为v，卫星到地心的距离为r，卫星以速度v绕地球做圆周运动所需要的向心力F向由万有引力F提供。
若F＝F向时，卫星将做圆周运动。
若FF向时，卫星在万有引力作用下，向地心做椭圆运动。
（1）人造卫星的变轨
卫星由低轨道变到高轨道必须加速，由高轨道变到低轨道必须减速。
如图所示，卫星在圆轨道Ⅰ上稳定运行时，G eq \f(Mm,r eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(A)))＝m eq \f(v eq \\al(\s\up3(2),\s\d1(A)),rA)(rA为A点到地心的距离)。若要使卫星变轨到椭圆轨道Ⅱ上运行，则使卫星运动到圆轨道Ⅰ上的A点时加速，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动，变轨到椭圆轨道Ⅱ上运动。若要使卫星在圆轨道Ⅲ上运行，则当卫星在椭圆轨道Ⅱ上运动到B点时，必须在B点再次加速。反之，则需要减速。
（2）飞船与空间站对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间实验室对接时，如图甲所示，让低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道追上高轨道空间实验室与其完成对接。
(2)同一轨道飞船与空间实验室对接时，如图乙所示，通常使后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间实验室时恰好具有相同的速度。
2、三个关系
（1）速度：如图所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。
在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同．
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1ωC，TBaC。故可知ωA＝ωCTB，vAvc
D．周期关系为Ta>Tc>Tb
解析 地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据a＝rω2知，c的向心加速度大于a的向心加速度，根据a＝ eq \f(GM,r2) 得b的向心加速度大于c的向心加速度，由ω＝ eq \r(\f(GM,r3)) 可知ωb>ωc，故A正确，B错误．地球赤道上的物体与同步卫星具有相同的角速度，所以ωa＝ωc，根据v＝rω可知，c的线速度大于a的线速度，根据v＝ eq \r(\f(GM,r)) 得b的线速度大于c的线速度，故C错误．c为同步卫星，所以Ta＝Tc，根据T＝2π eq \r(\f(r3,GM)) 得c的周期大于b的周期，故D错误，答案A。
2-2、(2021·重庆市高一期末)由于月球与地球间潮汐力的影响，地球自转在逐渐变慢，3.7亿年前一天大约22小时，而现在一天约23时56分，对于地球自转变慢带来的影响，下列说法正确的是( )
A．近地卫星的周期变大
B．近地卫星的线速度变大
C．同步卫星的高度变低
D．赤道处的重力加速度变大
解析 由万有引力提供向心力，有G eq \f(Mm,r2)＝m eq \f(v2,r)＝m eq \f(4π2,T2)r，解得v＝ eq \r(\f(Gm,r))，T＝ eq \r(\f(4π2r3,GM))，因地球质量不变，近地卫星与地球间的距离不变，则近地卫星线速度、周期均不变，A、B错误；地球自转变慢，周期变大，则同步卫星周期也应变大，由G eq \f(Mm,r2)＝m eq \f(4π2,T2)r，解得r＝ eq \r(3,\f(GMT2,4π2))，可知同步卫星的高度变高，C错误；在赤道处有 eq \f(GMm,R2)＝mg赤＋mω2R，由于地球自转角速度ω变小，所以g赤变大，答案 D。
2-3、量子卫星成功运行后，我国在世界上首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地一体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，图中P点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P点的线速度之比。
解析：设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力，则有：Geq \f(Mm,r12)＝meq \f(v12,r1)，又r1＝mR
解得：v1＝ eq \r(\f(GM,mR))
对同步卫星，根据万有引力提供向心力，则
有：Geq \f(Mm′,r22)＝m′eq \f(v22,r2)，又r2＝nR
解得：v2＝ eq \r(\f(GM,nR))
同步卫星与P点有相同的角速度，则有：ω＝eq \f(v2,nR)＝eq \f(v3,R)
解得：v3＝eq \f(v2,n)＝eq \f(1,n) eq \r(\f(GM,nR))
则量子卫星的线速度与P点的线速度之比为
eq \f(v1,v3)＝eq \f(\r(\f(GM,mR)),\f(1,n) \r(\f(GM,nR)))＝eq \r(\f(n3,m))。
命题点三 双星或多星模型
1．双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．
(2)特点：
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即eq \f(Gm1m2,L2)＝m1ω12r1，eq \f(Gm1m2,L2)＝m2ω22r2
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：
r1＋r2＝L
(3)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，
即eq \f(m1,m2)＝eq \f(r2,r1).
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型：
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．
(3)四星模型：
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
例3、如右图所示，某双星系统的两星A和B各自绕其连线上的O点做匀速圆周运动，已知A星和B星的质量分别为m1和m2，相距为d.下列说法正确的是( )
A．A星的轨道半径为 eq \f(m1,m1＋m2) d
B．A星和B星的线速度之比为m1∶m2
C．若在O点放一个质点，它受到的合力一定为零
D．若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则m′＝ eq \f(m eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ,（m1＋m2）2)
解析 双星的角速度相等，靠它们之间的万有引力提供向心力，G eq \f(m1m2,d2) ＝m1ω2r1，G eq \f(m1m2,d2) ＝m2ω2r2，且r1＋r2＝d，联立解得r1＝ eq \f(m2d,m1＋m2) ，r2＝ eq \f(m1d,m1＋m2) ，故A错误；根据v＝ωr，可得 eq \f(v1,v2) ＝ eq \f(r1,r2) ＝ eq \f(m2,m1) ，故B错误；若在O点放一个质点，此质点受到的两颗星对它的作用力大小不等，则受到的合力不为零，故C错误；若A星所受B星的引力可等效为位于O点处质量为m′的星体对它的引力，则G eq \f(m1m2,d2) ＝G eq \f(m′m1,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ，得m′＝ eq \f(m eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ,（m1＋m2）2) ，故D正确．
规律总结：
解决双星、多星问题，要抓住四点
(1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径．
(2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供．
(3)星体的角速度相等．
(4)星体的轨道半径不是天体间的距离．
要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力.
3-1、天文学家经过长期观测，在宇宙中发现了许多“双星”系统，这些“双星”系统一般与其他星体距离很远，受到其他天体引力的影响可以忽略不计。根据对一“双星”系统的光学测量确定，此双星系统中两个星体的质量均为m，而绕系统中心转动的实际周期是理论计算的周期的k倍(kω2
同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，
故ω2＝ω3
ω1>ω2＝ω3
线速度
由eq \f(GMm,r2)＝eq \f(mv2,r)得
v＝eq \r(\f(GM,r))，故v1>v2
由v＝rω得v2>v3
v1>v2>v3
向心
加速度
由eq \f(GMm,r2)＝ma得
a＝eq \f(GM,r2)，故a1>a2
由a＝rω2得a2>a3
a1>a2>a3
题型概述
天体运动中的追及相遇问题，指某天体有两颗轨道共面的卫星，从某次它们在天体中心同侧与天体中心共线(两卫星相距最近)到下次出现这一情形称为相遇
方法技巧
（1）卫星的运转方向相同，且位于和中心连线的半径上同侧时，两卫星相距最近，从运动关系上，两卫星运动的角速度满足
(ωA－ωB)t＝2nπ(n＝1,2,3，…)
（2）两卫星位于和中心连线的半径上两侧时，两卫星相距最远，从运动关系上，两卫星运动的角速度满足
ωA－ωB)t′＝(2n－1)π(n＝1,2,3…)