2021学年第9章 整式乘法与因式分解9.5 多项式的因式分解备课ppt课件

这是一份2021学年第9章 整式乘法与因式分解9.5 多项式的因式分解备课ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法，例如分解因式，分解因式，待定系数法，补充多项式除法，方法二试根法等内容，欢迎下载使用。
利用提取公因式法进行因式分解的一般步骤可概括为“一找、二提”。“一找”就是第一步要找出多项式中各项的公因式；“二提”就是第二步将所找出的公因式提出来；
提公因式法需要注意四点：①公因式要提尽； ②首项是负时，要提出负号； ③提公因式后项数不变；④公因式可以是单项式也可以是多项式！
例：
解: = =
二提：将公因式提到括号外来
逆用乘法公式进行因式分解
公式法注意事项：公式法两项通常考虑平方差公式，三项通常考虑完全平方公式． ①能提公因式的先提公因式； ②找准公式里的a和b（a、b可以是单项式也可以是多项式） ； ③因式分解要彻底！
我们在学习多项式乘法时知道：
反过来，我们也可以得到：
例如：x2+3x+2中的常数项是2，可以分解为2×1，而且2+1=3，恰好是一次项系数，所以x2+3x+2=（x+2）（x+1）
在对多项式x2+（p+q）x+pq分解因式时，也可以借助于画十字交叉线来分解。x2分解为x·x，常数项pq分解为p×q，把它们用交叉线来表示： x2+（p+q）x+pq x +p x +q 按十字交叉相乘，px+qx=(p+q)x所以 x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）
对于二次项系数为1的二次三项式的方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
x +3 x -2
对于二次项系数不是1的二次三项式它的方法特征是“拆两头，凑中间”。
x +2y5x -4y
分组分解法并不是一种独立的因式分解方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用的基本方法（即提取公因式法或公式法）分解的结构形式，使之具有公因式或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。分组分解方法比较灵活，其关键在于分组要适当，它的分组原则是：①分组后能直接提取公因式；②分组后能直接运用公式。
方法一：分组后能提前公因式（1） 按字母分组例如：分解因式：ax+ay+bx+by可以按某一字母为准分组，可以按照含有字母a分为一组，含有字母b的分为一组， 即：ax+ay+bx+by=（ax+ay）+（bx+by）=a(x+y)+b(x+y)这样就产生了公因式(x+y)。
（2）按系数分组例如：分解因式：a2-ab+3b-3a，我们观察到前面两项的系数之比和后面两项的系数之比恰好相等，即:1:(1)=3:(-3)，则a2-ab+3b-3a=（a2-ab）+（3b-3a）=a（a-b）+3(a-b)这就产生了公因式(a-b)
（3） 按次数分组例如：分解因式：x3+x2+x-y3-y2-y，此多项式有两个三次项，有两个二次项，有两个一次项，按次数分组为： (x3-y3)+(x2-y2)+(x-y) =(x-y)(x2+xy+y2)+(x+y)(x-y)+(x-y)这就产生了公因式：(x-y)
方法二：分组后能运用公式例如：分解因式：x2-2xy+y2-z2可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为(x-y)2。而(x-y)2-z2又是平方差形式的多项式，还可以继续分解。
方法三：重新分组例如：分解因式：4x2+3y-x(3y+4)，此多项式必须先去括号，进行重新分组， 4x2+3y-x(3y+4)=4x2+3y-3xy-4x=(4x2-4x)+(3y-3xy)=4x(x-1)-3y(x-1)这样就产生了公因式：(x-1)
对于在多项式中多次出现的相同或相近的式子，我们可以利用换元法进行代换对多项式进行简化，从而方便我们因式分解。换元法不是因式分解中单独的一种分解方法，它只是我们在进行较复杂的因式分解时的一种简化手段。
由前面因式分解的经验告诉我们，想要因式分解先要将 乘开，但是括号内为两个二次三项式，直接相乘计算量比较大，结果比较复杂，不利于我们下一步的因式分解，所以我们令t=x2 +2x-3 ,可以将多项式简化为：t(t-21)+90，化简可得：t2 -21t+90,利用十字交叉法可得：（t-6)(t-15)，再将 t=x2 +2x-3回代即可得到结果。
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24
待定系数法是初高中解决因式分解中比较重要的一种方法，用待定系数法分解因式，就是先按照已知条件把原多项式设成几个因式的乘积，这些因式中不确定的系数可先用字母表示，这些字母的就是待定系数。由于这几个因式的乘积与原多项式是恒等的，根据恒等原理，建立待定系数的方程组，求出待定系数。
方法一：已知其中一个因式，直接用待定系数法
例如：已知（x+1)是多项式x3+3x2-x-3的一个因式，请完成x3+3x2-x-3的因式分解。
因为x3+3x2-x-3的最高次项为3次，系数为1，所以我们设另外一项的因式为x2+ax+b所以（x+1)(x2+ax+b)=x3+3x2-x-3，将等式左侧乘开得：x3+ax2+bx+x2+ax+b=x3+(a+1)x2+(a+b)x+b=x3+3x2-x-3所以，a+1=3,a+b=-1,b=-3。即a=2，b=-3。x3+3x2-x-3=（x+1)(x2+2x-3)再对(x2+2x-3)因式分解即可。
已知，x+2是多项式x3-x2-4x+4的一个因式，请对x3-x2-4x+4进行因式分解
已知，x-1是多项式2x3-5x2+x+2的一个因式，请对2x3-5x2+x+2进行因式分解
已知x4+6x3+9x2-1的一个因式为x2+3x+1,请完成将该多项式的因式分解。
若x3-3x2+5x+k有一个因式是x-2，求k值。
对于只含有一个字母的多项式因式分解，在其它方法不适用的情况下，我们可以使用试根法来找到其中一个因式。若（x-a）A=B(其中，a表示字母，A、B表示整式)，则x=a时，整式B=0.反之，若对于整式B，当x=a时，B=0，则B=(x-a)A，即（x-a）是整式B的一个因式。
例如：2x3+2x2-8x-8,当x=-1时2x3+2x2-8x-8=0所以（x+1）是它的 一个因式。设2x3+2x2-8x-8=（x+1）（2x2+ax+b）即2x3+2x2-8x-8=2x3+（a+2）x2+（a+b）x+b所以，a+2=2，a+b=-8，b=-8可以得到：2x3+2x2-8x-8 =（x+1）（2x2-8） =2（x+1）（x2-4） =2（x+1）（x+2）（x-2）
（2）x³+6x²+11x+6
（1）a3-4a2-a+4
阅读：因为（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，说明x2+x﹣6有一个因式是x﹣2；当因式x﹣2＝0，那么多项式x2+x﹣6的值也为0，利用上面的结果求解：（1）多项式A有一个因式为x+m（m为常数），当x＝　 　，A＝0；（2）长方形的长和宽都是整式，其中一条边长为x﹣2，面积为x2+kx﹣14，求k的值；（3）若有一个长方体容器的长为（x+2），宽为（x﹣1），体积为4x3+ax2﹣7x+b，试求a，b的值．
提示：一般情况下，我们用x=±1和±2进行试根当多项式的奇数次项系数之和=偶数此项系数之和时，存在x=-1的根，存在因式（x+1）;当多项式的奇数次项系数之和+偶数此项系数之和=0时，存在x=+1的根，存在因式（x-1）;其它的直接将x=a，带入多项式，若多项式值为零，则多项式存在（x-a）的因式。
方法三：公因数方法推广我们小学时学习公因数时，对于公因数有如下结论：若a是b、c的公因数，则a也是b±c的因数；进一步推广可得：若a是b、c的公因数，则a也是mb±nc(其中m、n为整数)的因数例如：4是24和36的公因数，则4也是24+36或24-36的因数，也是24*5-36*3的因数。。。。。
类似的，A、B、C表示三个整式，若A是B、C的公因式，则A也是mB±nC（其中m、n为实数）的因式。 例如x+1是x2-1和x2+2x+1的公因式，则x+1是（x2-1）±（x2+2x+1）的因式，也是 m（x2-1）±n（x2+2x+1）
解：∵x2+bx+c是x4+6x2+25和3x4+4x2+28x+5的公因式∴x2+bx+c是3（x4+6x2+25）-（3x4+4x2+28x+5）的因式即x2+bx+c是14x2-28x+70的因式∵14x2-28x+70=14（x2-2x+5）∴x2+bx+c=x2-2x+5∴b=-2，c=5
已知，x2+bx+c是x4+6x2+25和3x4+4x2+28x+5的公因式，求b、c的值
x2+bx+c是x4+6x2+x+12和3x4-15x-18的公因式,求b、c的值
【典例1】教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3），例如求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：（1）分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　；（2）当a，b为何值时，多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．（3）当a，b为何值时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值，并求出这个最小值．
解：（1）m2﹣4m﹣5＝m2﹣4m+4﹣9＝（m﹣2）2﹣9＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）＝（m+1）（m﹣5）
（3）∵a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20＝a2﹣2ab+b2﹣2（a﹣b）+1+b2﹣6b+9+10＝（a﹣b﹣1）2+（b﹣3）2+10，∴当a＝4，b＝3时，多项式a2﹣2ab+2b2﹣2a﹣4b+20有最小值10．
（2）∵a2+b2﹣4a+6b+18＝（a﹣2）2+（b+3）2+5，∴当a＝2，b＝﹣3时， 多项式a2+b2﹣4a+6b+18有最小值5；
用配方法解决下列问题：（1）填空：x2﹣6x+　 　＝（x﹣3）2；2m2+4m＝2（m+1）2﹣　 　；（2）利用配方法分解因式：x2+4x﹣12；（3）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+8有最大值？并求出这个最大值．
八、因式分解与数字应用
在全国中学生编程比赛中，我校学子用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式x3﹣4x分解结果为x（x+2）（x﹣2）．当x＝20时，x﹣2＝18，x+2＝22，此时可得到数字密码201822，或者是182022等．（1）根据上述方法，当x＝16，y＝4时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码（写出两个即可）？（2）将多项式x3+（m﹣n）x2+nx因式分解后，利用题目中所示的方法，当x＝10时可以得到密码101213，求m、n的值．
小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，5，x2﹣y2，a，x+y，a2﹣ab分别对应下列七个字：会、城、我、美、爱、运、丽，现将5a2（x2﹣y2）﹣5ab（x2﹣y2）因式分解，分解结果经密码翻译呈现准确的信息是（　　）A．我爱美丽城B．我爱城运会C．城运会我爱D．我美城运会
阅读下列材料，解决后面两个问题：对于一个四位正整数（各数位上的数字都不为零），若将它的千位上的数字移到个位数字的后面，将得到一个新的四位正整数，则称新数为原数的“变形数”．例如：1234的“变形数”为2341，6789的“变形数”为7896．（1）请写出1999的“变形数”，并判断1999的“变形数”与它的差能否被9整除？说明理由．（2）任意一个四位正整数与其“变形数”的差都能被9整除吗？说明理由．
阅读下列材料：定义任意两个实数a，b，按规则p＝ab﹣a+b扩充得到一个新数p，称所得的新数p为a，b的“衍生数”．（1）若a＝2，b＝﹣3，则a，b的“衍生数”p＝　 　．（2）若a＝﹣m﹣3，b＝m，求a，b的“衍生数”p的最大值．
已知关于x的多项式9x2+3x+3m因式分解后有一项因式为3x-1，试求m的值，并将多项式因式分解。
若多项式x2+2x+5是多项式x4+px2+q的一个因式，求p、q的值。
若x3+3x2-3x+k有一个因式是x+1，求k值。
1012+101×198+992.
问题提出：计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6．问题探究：为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6．然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法：（1）1+a+a（1+a）＝（1+a）+a（1+a）＝（1+a）（1+a）＝（1+a）2（2）由（1）知1+a+a（1+a）＝（1+a）2，所以，1+a+a（1+a）+a（1+a）2＝（1+a）2+a（1+a）2＝（1+a）2（1+a）＝（1+a）3（3）仿照（2），写出将1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3进行因式分解的过程；（4）填空：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4＝　　；发现规律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+…+a（1+a）n＝　　；问题解决：计算：1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6＝　 （结果用乘方表示）．