清单35 两个计数原理、排列与组合(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单35 两个计数原理、排列与组合(解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共21页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单35 两个计数原理、排列组合
一、知识与方法清单
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
【对点训练1】定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(　　)
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
【答案】C
【解析】第一位为0，最后一位为1，中间3个0,3个1,3个1在一起时为000111,001110；只有2个1相邻时，共A个，其中110100,110010,110001,101100不符合题意；三个1都不在一起时有C个，共2＋8＋4＝14(个)．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
【对点训练2】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)

A．24B．18C．12D．9
【答案】B
【解析】从E点到F点的最短路径有6条，从F点到G点的最短路径有3条，所以从E点到G点的最短路径有6×3＝18(条)，故选B.
3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关.如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成n个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.
【对点训练3】(1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是(　　)
A．48 B．18
C．24 D．36
(2)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)
A．60 B．48
C．36 D．24
【答案】(1)D(2)B
【解析】(1)第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36(个)．
(2)长方体的6个表面构成的“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.
4.分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词，关键元素，关键位置．
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．
【对点训练4】从3名骨科，4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答).
解法一：5＝1＋1＋3＝1＋2＋2，故共有选派方法：
CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＝590种.
解法二：利用间接法，用C减去这5人从某一科或某两科选出的情形：C－[C＋C＋(C－C)＋(C－C)]＝590.故填590种.
5.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
【对点训练5】给一个各边不等的凸五边形的各边染色，每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种，但是不允许相邻的边有相同的颜色，则不同的染色方法共有多少种？
解法一：如图，染五条边总体分五步，染每一边为一步.当染边1时有3种染法，则染边2有2种染法.

(1)当边3与边1同色时有1种染法，则边4有2种染法，边5有1种染法，此时染法总数为3×2×1×2×1＝12(种).
(2)当边3与边1不同色时，边3有1种染法，①当边4与边1同色时，边4有1种染法，边5有2种染法；②当边4与边1不同色时，边4有1种染法，边5有1种染法.则此时共有染法3×2×1×(1×2＋1×1)＝18(种).
综合(1)、(2)，由分类加法计数原理，可得染法的种数为30种.
解法二：通过分析可知，每种色至少要染1次，至多只能染2次，即有一色染1次，剩余两种颜色各染2次.染五条边总体分两步.第一步选一色染1次有CC种染法，第二步另两色各染2次有2种染法，由分步乘法计数原理知，一共有2CC＝30种染法.
6.利用两个计数原理解决应用问题的一般思路
(1)弄清完成一件事是做什么．
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．
(3)弄清分步、分类的标准是什么．
(4)利用两个计数原理求解．
【对点训练6】某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层数的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这7家住户有无快递的可能情况共有________种．
【答案】12
【解析】分三类：(1)同一天两家有快递：可能是2层和5层，3层和5层，3层和6层，共3种情况；(2)同一天三家有快递：考虑将有快递的三家插入没有快递的四家形成的空位中，有C种插入法，但需减去1层，3层与7层有快递，1层，5层与7层有快递2种情况，所以有C－2＝8(种)情况；(3)同一天四家有快递：只有1层，3层，5层，7层有快递1种情况．根据分类加法计数原理可知，同一天7家住户有无快递的可能情况共有3＋8＋1＝12(种)．
7．排列与组合的概念
名称
定义
排列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
合成一组
【对点训练7】(1)若从6位志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作中的一种，现已确定这6人中的甲必须选上且专门从事翻译工作，则不同的选派方案有(　　)
(2)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)
A.60种 B.70种 C.75种 D.150种
【答案】(1)B(2)C
A.24种 B.60种 C.360种 D.243种
【解析】(1)由排列的定义可知所求为A＝60种.故选B.
(2)共有C·C＝75(种)不同的选法.故选C.
8.排列数与组合数
(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示．
(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示．
【对点训练8】寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有______种．(用数字作答)
【答案】45
【解析】设5名同学也用A，B，C，D，E来表示，若恰有一人坐对与自己车票相符的坐法，设E同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有9×5＝45(种).
9．排列数、组合数的公式及性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
(2)C＝＝＝
性质
(3)0！＝1；A＝n！
(4)C＝C；C＝C＋C
【对点训练9】A＝10A，n＝(　　)
A.1 B.8 C.9 D.10
【答案】B
【解析】原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，n>3且n∈N*，整理得n＝8.故选B.
10.应用排列、组合数公式解此类方程时，应注意验证所得结果能使各式有意义.应用组合数性质C＝C＋C时，应注意其结构特征：右边下标相同，上标相差1；左边(相对于右边)下标加1，上标取大.使用该公式，像拉手风琴，既可从左拉到右，越拉越长，又可以从右推到左，越推越短.
【对点训练10】　(1)解方程：3A＝2A＋6A；
(2)计算：C＋C＋C＋…＋C.
【解析】(1)由3A＝2A＋6A得
3x(x－1)(x－2)＝2(x＋1)x＋6x(x－1)，
由x≠0整理得3x2－17x＋10＝0.
解得x＝5或(舍去).
即原方程的解为x＝5.
(2)原式＝(C＋C)＋C＋…＋C
＝(C＋C)＋…＋C＝…＝C＋C
＝C＝166650.
11.排列应用问题的分类与解法
排列、组合之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题，排列是在组合的基础上对入选的元素进行全排列，因此，分析解决排列的基本思路是“先选，后排”.
【对点训练11】有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次．A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名．请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为(　　)
A．6 B．18
C．20 D．24
【答案】B
【解析】由题意知，名次排列的种数为CA＝18.
12.限制元素(位置)优先法：①元素优先法：先考虑有限制条件的元素，再考虑其他元素；②位置优先法：先考虑有限制条件的位置，再考虑其他位置.
【对点训练12】六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
【答案】B
【解析】第一类：甲在左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；
第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．
所以共有120＋96＝216(种)排法．
13.正难则反排异法：有些问题，正面考虑情况复杂，可以反面入手把不符合条件的所有情况从总体中去掉.
【对点训练13】从3名骨科，4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是__________(用数字作答).
【答案】590
【解析】解法一：5＝1＋1＋3＝1＋2＋2，故共有选派方法：
CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＋CCC＝590种.
解法二：利用间接法，用C减去这5人从某一科或某两科选出的情形：C－[C＋C＋(C－C)＋(C－C)]＝590.故填590种.
14.复杂问题分类分步法：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或分成若干步，再由分步乘法计数原理解决.在解题过程中，常常既要分类，也要分步，其原则是先分类，再分步.
【对点训练14】设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（ ）
A．32 B．56 C．72 D．84
【答案】B
【解析】若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；
若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；

若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有6+5+4+3+2+1=21个.
若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；
若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；

若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有5+4+3+2+1=15个.
若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；
若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；

若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有4+3+2+1=10个.
若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；
若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有3+2+1=6个.
若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；
若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；
共有2+1=3个.
若6,8,10在在集合A内，只有1个.
总共有21+15+10+6+3+1=56个
故选B.
15.相离问题插空法：某些元素不能相邻或要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间.
【对点训练15】（2022届广东省珠海市高三上学期10月月考）五名同学国庆假期相约去珠海野狸岛日月贝采风观景，结束后五名同学排成一排照相留念，若甲､乙二人不相邻，则不同的排法共有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．120种
【答案】C
【解析】先将除甲、乙二人外的另外三个人排成一排，再将甲、乙二人插入到已经排好的三个人形成的四个空中，共有种.故选C
16.相邻问题捆绑法：把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”作全排列，最后再“松绑”——将“捆绑”元素在这些位置上作全排列.
【对点训练16】（2022届河北省唐县高三上学期9月月考）7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）
A．400种 B．720种 C．960种 D．1200种
【答案】C
【解析】根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有种，而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有种，故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有种.故选C.
17.定序问题用除法：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数，也可看作组合问题.
【对点训练17】（2022届广东省深圳市高三上学期月考）某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有（ ）
A．120种 B．80种 C．20种 D．48种
【答案】C
【详解】解法一：在5个位置中选两个安排其它两个节目，还有三个位置按顺序放入甲、乙、丙，方法数为．故选C．
解法二：不同的排法有。
18.相同元素隔板法：隔板模型是解决排列组合问题的一种基本方法，常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题，运用隔板法必须同时具备以下三个条件：①所有元素必须相同；②所有元素必须分完；③每组至少有一个元素.
【对点训练18】(1)将10个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
(2) 将10个优秀的指标分配给3个班级，每班至少一个，则共有多少种分配方法？
(3)求方程的正整数解的个数.
【解析】(1)将10个相同小球一字排开，两相邻小球中间有一空档，在9个空档中加入无区别的3个“隔板”将球分成3组，再分别放到3个不同的盒子中，故每一种插入隔板的方式对应一种球的放法，则不同的放法共有=84种.
(2)由于10个优秀指标是相同的，该题等价于10个相同的小球放入3个不同盒子模型.
(3) 由于正整数最小为1，可以联系到模型：“将10个相同的小球放入4个不同盒子，每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？”。这个模型可以运用隔板法解决，即将10个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的9个空档中任选三个插入3块隔板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为 ，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解（），对应着惟一的一种在10个球之间插入隔板的方式，故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.
19.“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
【对点训练19】（2021届福建省福州高三上学期质量检测）某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“生态园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有（ ）
A．70种 B．55种 C．40种 D．25种
【答案】B
【解析】8人中选4人有种，甲、乙均不选有种，共有种．故选B．
20.分组、分配问题的求解策略
①对不同元素的分配问题
a．对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
b．对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
c．对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
②对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．
【对点训练20】（2022届贵州省贵阳第一中学高三上学期月考）2021年暑假，贵阳一中继续组织学生开展“百行体验”社会实践活动.现高三年级某班有6名学生需要去敬老院､社区医院､儿童福利院三个机构开展活动，要求每个机构去2名学生，且学生甲不去敬老院，则不同的安排共有（ ）
A．60种 B．360种 C．15种 D．100种
【答案】A
【解析】先将6名学生分为3组，有种，因为甲所在小组不能去敬老院，所以安排的方法有种，故不同的安排共有种，故选A.
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2022届四川省巴中市高三上学期“零诊”）接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法.我国自年月日起实施全民免费接种新冠疫苗工作，截止到年月底，国家已推出了三种新冠疫苗（腺病毒载体疫苗､新冠病毒灭活疫苗､重组新型冠病毒疫苗）供接种者选择，每位接种者仼选其中一种.若甲､乙､丙､丁人去接种新冠疫苗，则恰有两人接种同一种疫苗的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，每位接种者可等可能地从种任选一种接种，
由分步乘法计算原理知，共有不同的结果，
恰有两人接种同一种疫苗，可先从人中任选两人并成一组，有种结果，
再与另两人一起按三种疫苗的顺序排成一排，
有种排法，一种排法对应一种接种方法，
故恰有两人接种同一种疫苗共有种不同结果，
由古典概型概率计算公式得：.故选A
2．（2022届山东省济南市高三上学期开学考试）某校甲、乙、丙、丁四位同学报名参加A，B，C三所高校的强基计划考试，每所高校报名人数不限，因为三所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙、丁只能随机各自报考其中一所高校，则恰有两人报考同一所高校的报名种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题知先分组后排列，则恰有两人报考同一所高校的事件数为.
故选B.
3．（2022届浙江省五校高三上学期联考）有10台不同的电视机，其中甲型3台，乙型3台，丙型4台．现从中任意取出3台，若其中至少含有两种不同的型号，则不同的取法共有（ ）
A．96种 B．108种 C．114种 D．118种
【答案】C
【解析】根据题意，从10台电视机中任意取3台的取法总数为：（种）
取3台都是同一种型号的取法数为：（种）
所以至少含有两种不同型号的取法数为：（种）
选项ABD错误，选项C正确.故选C.
4．（2022届广东省广州市高三上学期10月调研）把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子只放一个小球，则1号球和2号球都不放入1号盒子的方法共有（ ）
A．18种 B．12种 C．9种 D．6种
【答案】B
【解析】由于1号盒子不能放1号和2号球，则1号盒子有3号球、4号球2种方法，则剩下3个盒子各放一个球有种方法，一共有种方法.故选B.
5．（广东省花都区2022届高三上学期8月调研）现将张连号的门票按需求分配给个家庭，甲家庭需要张连号的门票，乙家庭需要张连号的门票，剩余的张随机分给剩余的个家庭，则这张门票不同的分配方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设张连号的门票号码分别为、、、、、、、，
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、、，共种，此时共有种分配方法；
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、，共种，此时共有种分配方法；
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、，共种，此时共有种分配方法；
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、，共种，此时共有种分配方法；
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、，共种，此时共有种分配方法；
若甲家庭所分配的门票号码为，则乙家庭所分配的门票号码可以是、、、，共种，此时共有种分配方法.
综上所述，不同的分配方案种数为种.
故选D.
6．（2022届宁夏银川一中高三上学期月考）有12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ）
A．168 B．260 C．840 D．560
【答案】C
【解析】从后排8人中抽2人有种方法；将抽出的2人调整到前排，前排4人的相对顺序不变有种，由分步乘法计数原理可得：共有种，故选C.
7．（2022届江苏省南通市高三上学期9月质量监测）某亲子栏目中，节目组给6位小朋友布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷点有远、近两处；②由于小朋友甲年纪尚小，所以要么不参与该项任务，要么参与搜寻近处投掷点的食物，但不参与时另需1位小朋友在大本营陪同；③所有参与搜寻任务的小朋友被均匀分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有（ ）
A．10种 B．40种 C．70种 D．80种
【答案】B
【解析】若甲不参与任务，则需要先从剩下的5位小朋友中任意选出1位陪同，有种选择，
再从剩下的4位小朋友中选出2位搜寻远处，有种选择，
最后剩下的2位小朋友搜寻近处，因此搜寻方案共有（种）；
若甲参与任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小朋友中选出2位搜寻近处，有种选择，
剩下的3位小朋友去搜寻远处，因此搜寻方案共有（种）．
综上，搜寻方案共有（种）．故选B．
8．《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古代14种算法，其中积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，先将13种计算器械分为3组，方法种数为，再分配给3个人，方法种数为.故选A.
9．（2022届广东省广州市高三上学期综合测试）通常，我国民用汽车号牌的编号由两部分组成：第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号，笫二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号．其中序号的编码规则为：①由0，1，2，…，9这10个阿拉伯数字与除，之外的24个英文字母组成；②最多只能有2个位置是英文字母，如：粤，则采用5位序号编码的粤牌照最多能发放的汽车号牌数为（ ）
A．586万张 B．682万张 C．696万张 D．706万张
【答案】D
【解析】1、后5位全部为数字，共有张牌，
2、后5位有一个字母：共有张牌，
3、后5位有两个字母：当两个字母相同，有张牌；当两个字母不同，张牌；
综上，共有张牌.
故选D
10．重庆11中本学期接收了5名西藏学生，学校准备把他们分配到A，B，C三个班级，每个班级至少分配1人，则其中学生甲不分配到A班的分配方案种数是（ ）
A．720 B．100 C．150 D．345
【答案】B
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①将5名学生分为3组，
若分为的三组，有种分组方法，
若分为的三组，有种分组方法，
则有种分组方法，
②将甲所在的组安排在或班，剩下2组任意安排，有种安排方法，
则有种分配方案；故选B．
11．（2022届湖南省岳阳市高三上学期入学考试）如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止.则下列说法正确的是（ ）

A．甲从到达处的方法有种
B．甲从必须经过到达处的方法有种
C．甲､乙两人在处相遇的概率为
D．甲､乙两人相遇的概率为
【答案】C
【解析】A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有种，A选项错误；
B选项，甲经过到达N处，可分为两步：
第一步，甲从M经过需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为种；
第二步，甲从到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为种.
∴甲经过到达N的方法数为种，B选项错误；
C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，
∴甲､乙两人在处相遇的方法数为种，
甲､乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；
D选项，甲､乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，
若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种；
若甲､乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为81种；
若甲､乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，
所以，两人在处相遇的走法种数为种；
若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种；
故甲､乙两人相遇的概率，D选项错误.
故选D.
12．（2021届山东省高考考前热身押题卷）为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】所有的安排方法，
若只有1人去冰球项目做志愿者，有；
若恰有2人去冰球项目做志愿者，有；
若有3人去冰球项目做志愿者，有，
所以共有种安排法，
所以学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为.
故选B
二、多选题
13．（2021届辽宁省实验中学高三考前模拟）一个布袋内装除颜色外完全相同的4个红球和3个蓝球.现从袋中摸出4个球，则（ ）
A．摸出4个红球的概率是
B．摸出3个红球和1个蓝球的概率是
C．摸出2个红球和2个蓝球的概率是
D．摸出1个红球和3个蓝球的概率是
【答案】ABC
【解析】摸出4个红球的概率是；摸出3个红球和1个蓝球的概率是；摸出2个红球和2个蓝球的概率是；摸出1个红球和3个蓝球的概率是，故选ABC.
14．把座位号为1、2、3、4、5的五张电影票全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，那么不同的分法种数为种，则的值不可能为（ ）.
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】ABD
【解析】因为每人至少一张，且分给同一人的多张票必须连号，
又分给甲、乙、丙三个人，
则在座位号、、、、的四个空位插2个板子，有种，
然后再分给甲、乙、丙三个人，有种，
所以不同的分法种数为，故不可能为ABD.
故选ABD.
15．（2021届广东省梅州市高三下学期3月质检）某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且生物在B层，该校周一上午选课走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则下列说法正确的是（ ）
第1节
第2节
第3节
第4节
地理1班
化学A层3班
地理2班
化学A层4班
生物A层1班
化学B层2班
生物B层2班
历史B层1班
物理A层1班
生物A层3班
物理A层2班
生物A层4班
物理B层2班
生物B层1班
物理B层1班
物理A层4班
政治1班
物理A层3班
政治2班
政治3班
A．此人有4种选课方式 B．此人有5种选课方式
C．自习不可能安排在第2节 D．自习可安排在4节课中的任一节
【答案】BD
【解析】由于生物在B层，只有第2，3节有，故分两类：
若生物选第2节，
则地理可选第1节或第3节，有2种选法，
其他两节政治、自习任意选，
故有种（此种情况自习可安排在第1、3、4节中的某节）；
若生物选第3节，
则地理只能选第1节，政治只能选第4节，自习只能选第2节，故有1种．
根据分类加法计数原理可得选课方式有种．
综上，自习可安排在4节课中的任一节．故选BD.
16．2020年3月，为促进疫情后复工复产期间安全生产，滨州市某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（ ）
A．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种
B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种
C．若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种
D．所有不同分派方案共种
【答案】ABC
【解析】对于选项A：若企业没有派医生去，每名医生有种选择，则共用种，
若企业派1名医生则有种，所以共有种.
对于选项B：若每家企业至少分派1名医生，则有种，
对于选项C：若每家企业至少分派1名医生，且医生甲必须到企业，
若甲企业分人，则有种；若甲企业分 人，则有种，
所以共有种.
对于选项D：所有不同分派方案共有种.
故选
三、填空题
17．（2022届云南省师范大学附属中学高三月考）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数有___________个

【答案】120
【解析】据题意，阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数可以的组合有（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共有6种选择，根据分步乘法计数原理，这样的四位数共有个.
18．（2022届江苏省常州市高三上学期10月学情检测）为调查新冠疫苗的接种情况，需从名志愿者中选取人到个社区进行走访调查，每个社区一人．若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有_____________.
【答案】54
【解析】①若甲乙两人恰有一人入选，志愿者有种选法，再分配到3个社区，有种方案，故由分步乘法计数原理知，共有种选派方法；
②若甲乙两人都入选，志愿者有种选法，再分配到3个社区，有种方案，故由分步乘法计数原理知，共有种选派方法
综上，由分类加法计数原理知，共有种选派方法.
19．（2022届四川省成都石室中学高三上学期10月月考）一条路上有盏路灯，为节约资源，准备关闭其中的盏．为安全起见，不能关闭两端的路灯，也不能关闭任意相邻的两盏路灯．则不同的关闭路灯的方法有________种．
【答案】
【解析】将关闭后的路灯看作是由盏亮着的路灯和盏熄灭的路灯的排列，其中熄灭的路灯不能在两端，也不能相邻．因此，先将盏亮着的路灯排好，再用盏熄灭的路灯去插除去两端的个空，一共有种方法．
20．从6种不同的蔬菜种子，，，，，中选出4种，分别种在4块不同的土壤，，，中进行试验，已有资料表明土壤不宜种植，土壤不宜种植，但、品种产量高.现、品种必种的试验方案有________种.
【答案】84
【解析】种植在土壤的方法为，不种在土壤的方法数为，
总的方法数为．
四、解答题
21．一个盒子里有9个球，其中有6个白球，3个黑球现每次从盒子洞口随机摸出一个球且不放回，如果9个球都被摸出，以X表示6个白球被3个黑球所隔成的段数.例如，摸出顺序为“白黑白白黑白白白黑"，则此时X=3，摸出顺序为“黑黑黑白白白白白白”，则此时x=1.
（1）求三个黑球相连在一起被摸出的概率；
（2）求X的分布列和数学期望.
【解析】
（1）设“三个黑球相连在一起被摸出”为事件A，则，
故三个黑球相连在一起被摸出的概率为.
（2）由题意可知的所有可能取值为1､2､3､4，
，



则X的分布列为：
X
1
2
3
4
P




所以.
22．（2021届广东省揭阳市高三上学期第月考）某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日送礼，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶，，中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶，中的一个.
（1）记事件：一次性购买个甲系列盲盒后集齐玩偶，，玩偶；事件：一次性购买个乙系列盲盒后集齐，玩偶；求概率及；
（2）某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒.通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为，购买乙系列的概率为；如此往复，记某人第次购买甲系列的概率为.
①求的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为，且这人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个.
【解析】（1）若一次性购买个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为，集齐，，玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶个，其他两个玩偶各个，则有种结果；
②若其中两个玩偶各个，另外两个玩偶1个，则共有种结果，
故；
若一次性购买个乙系列盲盒，全部为与全部为的概率相等，均为，
故；
（2）①由题可知：，
当时，，则，，即是以为首项，以为公比的等比数列.
所以，即；
②因为每天购买盲盒的人都已购买过很多次，所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，可看作，所以，其购买甲系列的概率近似于，
假设用表示一天中购买甲系列盲盒的人数，则，
所以，即购买甲系列的人数的期望为，
所以礼品店应准备甲系列盲盒个，乙系列盲盒个.

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