数学七年级上册3.3 整式导学案

用字母表示数及整式（提高）知识讲解

【学习目标】

1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系；

2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值；

3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数；

4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系.

【要点梳理】

要点一、字母表示数

用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更具有普遍意义了．举例：如果用a、b表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba

要点二、代数式

1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式.

要点诠释：

带等号或不等号的式子不是代数式，如，，等都不是代数式.

2.列代数式：

在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数式，使问题变得简洁，更具一般性．

要点诠释：代数式的书写规范：

（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；

（2）除法运算一般以分数的形式表示；

（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；

（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；

（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写.

3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.

要点三、整式

1.单项式

（1）单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．

要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积．

（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．

要点诠释：

①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数．

②圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数．

③当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写．

④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：写成．

（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．

要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏．

2．多项式

(1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．

要点诠释：“几个”是指两个或两个以上．

(2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项．

要点诠释：

①多项式的每一项包括它前面的符号．

②一个多项式含有几项，就叫几项式，如：是一个三项式．

(3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数．

要点诠释：

①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数．

②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出．

（4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．

如:多项式2x3y2-xy3+x2y4-5x4-6是六次五项式,按x的降幂排列为

-5x4+2x3y2+x2y4-xy3-6,在这里只考虑x的指数,而不考虑其它字母;按y的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+x2y4．

要点诠释：

①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；

②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．

3.整式：单项式与多项式统称为整式．

要点诠释：

（1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立．

（2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式．

【典型例题】

类型一、字母表示数 

1．填空：

 (1)某商场将一种商品A按标价的9折出售(即优惠10%)仍可获利10%，若商场商品A的标价为a元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)．

（2）有a名男生和b名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了40块，女生每人搬了30块．这a名男生和b名女生一共搬了　　块砖（用含a．b的代数式表示）．

【思路点拨】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来.

【答案】(1)；(2)（40a+30b）

【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等问题，打几折就是标价的十分之几．

【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：

(1)利润＝售价－进价;    (2)利润率＝．

 举一反三：

【变式】（2020•自贡）为庆祝战胜利70周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为a元/米2的商品房价降价10%销售，降价后的销售价为（　　）

　 A．a﹣10% B． a•10% C． a（1﹣10%） D． a（1+10%）

【答案】C．

类型二、代数式

2．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费．

（1）若某用户10月份用去a度电，则他应缴多少电费？

（2）若该用户11月份用了150度电，则该缴多少电费？

【思路点拨】当a﹥140，应付费用分为两部分，一部分为0.43×140元，

另一部分为0.57×（a-140）元.

【答案与解析】

解：（1）当a≤140时，电费为0.43a元；

当a＞140时，电费为：元.

   （2）因为用电量为150度，大于140度，

因此把a＝150代入代数式，得

（元）.

因此，该缴电费65.9元.

【总结升华】根据a的不同取值，分别对应不同的代数式．

举一反三：

【变式1】一个堤坝的截面是等腰梯形，最上面一层铺石块a块，往下每层多铺一块，最下面一层铺了b块，共铺了n层，共铺石块      块？当a＝20，b＝40，n＝17时，堤坝的这个截面铺石块      块？

【答案】（a＋b）n，510块.

【变式2】代数式（a＋b）n的意义.

【答案】答案不唯一，举一例：设某两数为，则表示“这两个数平均数的n倍.

类型三、整式

3．（2020•杭州模拟）整式﹣0.3x2y，0，，，，﹣2a2b3c中是单项式的个数有（　　）

　 A．2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个

【答案】C．

【解析】

解：整式﹣0.3x2y，0，，，，﹣2a2b3c中，

单项式有：﹣0.3x2y，0，，﹣2a2b3c，共4个．

【总结升华】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，即可得出答案．

举一反三：

【变式】下列代数式：，其中单项式是_______________，多项式是_______________.

【答案】①②③，④⑥

 4．已知多项式．

    (1)求多项式各项的系数和次数．

    (2)如果多项式是七次五项式，求m的值．

【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项的系数是-6，次数是3；第二项的系数是-7，次数是3m+1；第三项的系数是，次数是4；第四项系数是-l，次数3；第五项-5系数是-5，次数是0．

(2)由多项式是七次五项式，可得的次数是7，即3m-1+2＝7，解得m＝2．

【总结升华】对于单项式的次数为3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识．

举一反三：

【变式】多项式是关于的二次三项式，求a与b的差的相反数．

【答案】

5．（2020•延庆县一模）已知：x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5的值．

【思路点拨】先把10x﹣2x2+5变形为﹣2（x2﹣5x）+5，然后把x2﹣5x=6整体代入进行计算即可．

【答案与解析】

解：10x﹣2x2+5

=﹣2（x2﹣5x）+5，

∵x2﹣5x=6，

∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7．

【总结升华】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值．