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广东省深圳市智民学校七年级（下）期中数学试卷（解析版）
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这是一份广东省深圳市智民学校七年级（下）期中数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10B．a6×a4=a24C．a0÷a﹣1=aD．a4﹣a4=a0
2．下列说法错误的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两直线平行，同旁内角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．平行于同一条直线的两直线平行
3．下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2﹣2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣b2
C．（a+b）2=a2+b2D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
4．等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长（ ）
A．17B．22C．17或22D．21
5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
6．如图，AB∥ED，则∠A+∠C+∠D=（ ）
A．180°B．270°C．360°D．540°
7．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
8．若2m=3，2n=4，则23m﹣2n等于（ ）
A．1B．C．D．
9．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
10．不能判定两个三角形全等的条件是（ ）
A．三条边对应相等B．两角及一边对应相等
C．两边及夹角对应相等D．两边及一边的对角相等
二、填空题
11．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x= ．
12．一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于 度．
13．若x2+mx+25是完全平方式，则m= ．
14．已知（x﹣a）（x+a）=x2﹣9，那么a= ．
15．若，则a2m﹣3n= ．
16．已知：如图，∠EAD=∠DCF，要得到AB∥CD，则需要的条件 ．（填一个你认为正确的条件即可）
17．若|2a+3|+（3b﹣1）2=0，则ab= ．
18．在△ABC中，∠A=80°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC= 度．
19．观察：
你发现了什么规律？根据你发现的规律，请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来． ．
20．现在规定两种新的运算“﹡”和“◎”：a﹡b=a2+b2；a◎b=2ab，如（2﹡3）（2◎3）=（22+32）（2×2×3）=156，则[2﹡（﹣1）][2◎（﹣1）]= ．
三、解答题（21题12分，22、23、26各8分，24、25、各12分，共60分）
21．计算题
（1）（﹣1）2012+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1
（2）化简求值：（2x+y）2﹣（2x﹣y）（x+y）﹣2（x﹣2y）（x+2y），其中x=，y=﹣2．
22．已知：∠α．请你用直尺和圆规画一个∠BAC，使∠BAC=∠α．
（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，且写出结论）
23．推理说明题
已知：如图，AB∥CD，∠A=∠D，试说明AC∥DE成立的理由．下面是彬彬同学进行的推理，请你将彬彬同学的推理过程补充完整．
解：∵AB∥CD （已知）
∴∠A= （两直线平行，内错角相等）
又∵∠A=∠D （ ）
∴∠ =∠ （等量代换）
∴AC∥DE （ ）
24．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．
方法1： （只列式，不化简）
方法2： （只列式，不化简）
（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等式关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
若a+b=8，ab=5．求（a﹣b）2．
25．如图，已知∠EFD=∠BCA，BC=EF，AF=DC．线段AB和线段DE平行吗？请说明理由．
26．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式．
广东省深圳市智民学校七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10B．a6×a4=a24C．a0÷a﹣1=aD．a4﹣a4=a0
【考点】负整数指数幂；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂．
【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则及合并同类项法则计算．
【解答】解：A、中a5+a5=2a5错误；
B、中a6×a4=a10错误；
C、正确；
D、中a4﹣a4=0，错误；
故选C．
【点评】本题考查的知识点很多，掌握每个知识点是解题的关键．
2．下列说法错误的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两直线平行，同旁内角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．平行于同一条直线的两直线平行
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据平行线的性质可得A正确；根据相交直线所构成的角的关系可得B错误；根据平行线的判定可得C、D说法正确．
【解答】解：A、两条直线平行，内错角相等，说法正确，故此选项不合题意；
B、两直线平行，同旁内角相等说法错误，故此选项符合题意；
C、同位角相等，两直线平行，说法正确，故此选项不合题意；
D、平行于同一条直线的两直线平行，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
3．下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2﹣2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣b2
C．（a+b）2=a2+b2D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
【考点】完全平方公式；平方差公式．
【分析】分别根据完全平方公式与平方差公式进行解答即可．
【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，∴A、C错误；
∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，∴B错误；
∵（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，∴D正确．
故选D．
【点评】本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式与平方差公式是解答此题的关键．
4．等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长（ ）
A．17B．22C．17或22D．21
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
【解答】解：9为腰长时，三角形的周长为9+9+4=22，
9为底边长时，4+4＜9，不能组成三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题关键，又利用了三角形三边的关系：两边之和大于第三边．
5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
【考点】全等三角形的应用．
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
6．如图，AB∥ED，则∠A+∠C+∠D=（ ）
A．180°B．270°C．360°D．540°
【考点】平行线的性质．
【分析】首先过点C作CF∥AB，由AB∥ED，即可得CF∥AB∥DE，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1+∠A=180°，∠2+∠D=180°，继而求得答案．
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴CF∥AB∥DE，
∴∠1+∠A=180°，∠2+∠D=180°，
∴∠A+∠ACD+∠D=∠A+∠1+∠2+∠D=360°．
故选C．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用．
7．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
【考点】平方差公式．
【分析】根据公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2的左边的形式，判断能否使用．
【解答】解：A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A正确；
B、两个括号中，﹣x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B错误；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；
D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式．注意两个括号中一项符号相同，一项符号相反才能使用平方差公式．
8．若2m=3，2n=4，则23m﹣2n等于（ ）
A．1B．C．D．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的除法的性质的逆用和幂的乘方的性质计算即可．
【解答】解：23m﹣2n=23m÷22n=（2m）3÷（2n）2=33÷42=．
故选D．
【点评】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方的性质，解决本题的关键是将23m﹣2n，转化成同底数幂的除法，成为2m，2n的形式，然后将已知条件代入求解．
9．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【考点】余角和补角．
【分析】本题根据互余和互补的概念计算即可．
【解答】解：180°﹣150°=30°，那么这个角的余角的度数是90°﹣30°=60°．故选B．
【点评】本题考查互余和互补的概念，和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角．
10．不能判定两个三角形全等的条件是（ ）
A．三条边对应相等B．两角及一边对应相等
C．两边及夹角对应相等D．两边及一边的对角相等
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判定即可．
【解答】解：
A、符合SSS，故A可以；
B、符合AAS，故B可以；
C、符合SAS，故C可以；
D、如图，△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，符合条件，但是这两个三角形不全等，故D不能判定；
故选D．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的五种判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
二、填空题
11．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x= 3 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】因为x+1，2x+3，9是等腰三角形的三边长，但没有明确指明哪是腰，哪是底，因此要分类讨论．
【解答】解：①当x+1=2x+3时，解得x=﹣2（不合题意，舍去）；
②当x+1=9时，解得x=8，则等腰三角形的三边为：9、19、9，因为9+9=18＜19，不能构成三角形，故舍去；
③当2x+3=9时，解得x=3，则等腰三角形的三边为：4、9、9，能构成三角形．
所以x的值是3．
故填3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
12．一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于 60 度．
【考点】余角和补角．
【分析】设这个角为x，根据互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°表示出出这个角的余角与补角，然后列出方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x，则它的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x，
根据题意得，180°﹣x=4（90°﹣x），
解得x=60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了互为余角与补角的定义，根据题意表示出这个角的余角与补角，然后列出方程是解题的关键．
13．若x2+mx+25是完全平方式，则m= ±10 ．
【考点】完全平方式．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+25是完全平方式，
∴m=±10，
故答案为：±10
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．已知（x﹣a）（x+a）=x2﹣9，那么a= ±3 ．
【考点】平方差公式．
【分析】可先将式子（x﹣a）（x+a）变形为x2﹣a2，然后，再根据a2与9的相等关系，来解答出a的值即可．
【解答】解：根据平方差公式，
（x﹣a）（x+a）=x2﹣a2，
由已知可得，a2=9，
所以，a=±=±3．
故答案为：±3．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
15．若，则a2m﹣3n= ﹣32 ．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方，可的要求的形式，根据同底数幂的除法，可得答案．
【解答】解：a2m=（am）2=4，a，
a2m﹣3n=4=﹣32，
故答案为：﹣32．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，先化成要求的形式，再进行同底数幂的除法运算．
16．已知：如图，∠EAD=∠DCF，要得到AB∥CD，则需要的条件 ∠EAD=∠B ．（填一个你认为正确的条件即可）
【考点】平行线的判定．
【分析】可以添加条件∠EAD=∠B，由已知，∠EAD=∠DCF，则∠B=∠DCF，由同位角相等，两直线平行，得出AB∥CD．
【解答】解：可以添加条件∠EAD=∠B，理由如下：
∵∠EAD=∠B，∠EAD=∠DCF，
∴∠B=∠DCF，
∴AB∥CD．
故答案为：∠EAD=∠B．
【点评】考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．本题属于开放性试题，答案不唯一．
17．若|2a+3|+（3b﹣1）2=0，则ab= ﹣ ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2a+3=0，3b﹣1=0，
解得a=﹣，b=，
所以，ab=（﹣）×=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
18．在△ABC中，∠A=80°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC= 130 度．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由题意利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB度数，再利用内角和定理求出所求角度数即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=50°，
则∠BOC=130°，
故答案为：130
【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解本题的关键．
19．观察：
你发现了什么规律？根据你发现的规律，请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来． n（n+2）+1=（n+1）2（n为正整数） ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】规律为两个相差2的数的积加上1，等于这两个数的平均数的平方．
【解答】解：根据观察，发现规律为：n（n+2）+1=（n+1）2，（n为正整数）
故答案为：n（n+2）+1=（n+1）2（n为正整数）．
【点评】本题考查了数字变化规律．关键是观察积的两个数之间的关系，结果与这两个数的关系．
20．现在规定两种新的运算“﹡”和“◎”：a﹡b=a2+b2；a◎b=2ab，如（2﹡3）（2◎3）=（22+32）（2×2×3）=156，则[2﹡（﹣1）][2◎（﹣1）]= ﹣20 ．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】根据题意，把[2﹡（﹣1）][2◎（﹣1）]中[2﹡（﹣1）]代入到a﹡b=a2+b2中；
把[2◎（﹣1）]代入到a◎b=2ab，求出结果即可．
【解答】解：根据题意可知：[2﹡（﹣1）][2◎（﹣1）]=[22+（﹣1）2][2×2×（﹣1）]=5×（﹣4）=﹣20．
【点评】本题的关键是需明白新的运算相对于我们平时所见的运算之间的联系．
三、解答题（21题12分，22、23、26各8分，24、25、各12分，共60分）
21．计算题
（1）（﹣1）2012+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1
（2）化简求值：（2x+y）2﹣（2x﹣y）（x+y）﹣2（x﹣2y）（x+2y），其中x=，y=﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】（1）先算乘方、0指数幂与负指数幂，再算加减；
（2）先利用完全平方公式、平方差公式和整式的乘法计算，再进一步合并化简，最后代入求得数值即可．
【解答】解：（1）原式=1+1﹣（﹣3）
=2+3
=5；
（2）原式=4x2+4xy+y2﹣（2x2+xy﹣y2）﹣2（x2﹣4y2）
=4x2+4xy+y2﹣2x2﹣xy+y2﹣2x2+8y2
=3xy+10y2，
当x=，y=﹣2时，
原式=3××（﹣2）+10×（﹣2）2
=37．
【点评】此题考查整式的混合运算，注意先利用整式的乘法计算合并化简，再进一步代入求得数值解决问题．
22．已知：∠α．请你用直尺和圆规画一个∠BAC，使∠BAC=∠α．
（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，且写出结论）
【考点】作图—基本作图．
【分析】根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
【解答】解：如图所示：
，
∠BAC即为所求．
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
23．推理说明题
已知：如图，AB∥CD，∠A=∠D，试说明AC∥DE成立的理由．下面是彬彬同学进行的推理，请你将彬彬同学的推理过程补充完整．
解：∵AB∥CD （已知）
∴∠A= ∠ACD （两直线平行，内错角相等）
又∵∠A=∠D （ 已知 ）
∴∠ ACD =∠ D （等量代换）
∴AC∥DE （ 内错角相等，两直线平行 ）
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，判定∠A=∠ACD；再由已知条件∠A=∠D，根据等量代换∠ACD=∠D；根据平行线的判定定理内错角相等，两直线平行，知AC∥DE．
【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
又∵∠A=∠D（已知），
∴∠ACD=∠D（等量代换）；
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
24．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ m﹣n
（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．
方法1： 边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，
即（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn （只列式，不化简）
方法2： 边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，
即（m﹣n）2=（m+n）2﹣2m×2n （只列式，不化简）
（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等式关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn． （m+n）2=（m﹣n）2+4mn
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
若a+b=8，ab=5．求（a﹣b）2．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】（1）直接利用图b得出正方形的边长；
（2）利用已知图形结合边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积以及边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，分别求出答案；
（3）利用（2）中所求得出答案；
（4）利用（3）中关系式，将已知变形得出答案．
【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长是：m﹣n．
故答案为：m﹣n；
（2）阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，
方法1：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，
即（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；
方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，
即（m﹣n）2=（m+n）2﹣2m×2n；
（3）由题意可得：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
（4）∵a+b=8，ab=5，
∴（a+b）2=64，
∴（a﹣b）2+4ab=64，
∴（a﹣b）2=64﹣4×5=44．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确应用完全平方公式是解题关键．
25．如图，已知∠EFD=∠BCA，BC=EF，AF=DC．线段AB和线段DE平行吗？请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题意可得出AC=DF，根据△ABC≌△DEF，可得出∠A=∠D，则AB∥DE．
【解答】解：AB∥DE，理由是：
∵AF=DC，∴AF+FC=DC+CF，
即AC=DF，
∵∠EFD=∠BCA，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D，
∴AB∥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
26．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】（1）观察图形得到④中点的个数的和为1+3+5+7=16，则1+3+5+7=42；同样可得到⑤中的等式为1+3+5+7+9=52；
（2）根据前面的等式的规律得到第n个点阵图中点的个数共有n2个，它有从1开始的n个连续奇数的和，于是得到1+3+5+7+…+（2n﹣1）=n2．
【解答】解：（1）④：1+3+5+7=42；⑤1+3+5+7+9=52；
（2）1+3+5+7+…+（2n﹣1）=n2（n≥1的整数）．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
1．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10B．a6×a4=a24C．a0÷a﹣1=aD．a4﹣a4=a0
2．下列说法错误的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两直线平行，同旁内角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．平行于同一条直线的两直线平行
3．下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2﹣2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣b2
C．（a+b）2=a2+b2D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
4．等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长（ ）
A．17B．22C．17或22D．21
5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
6．如图，AB∥ED，则∠A+∠C+∠D=（ ）
A．180°B．270°C．360°D．540°
7．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
8．若2m=3，2n=4，则23m﹣2n等于（ ）
A．1B．C．D．
9．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
10．不能判定两个三角形全等的条件是（ ）
A．三条边对应相等B．两角及一边对应相等
C．两边及夹角对应相等D．两边及一边的对角相等
二、填空题
11．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x= ．
12．一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于 度．
13．若x2+mx+25是完全平方式，则m= ．
14．已知（x﹣a）（x+a）=x2﹣9，那么a= ．
15．若，则a2m﹣3n= ．
16．已知：如图，∠EAD=∠DCF，要得到AB∥CD，则需要的条件 ．（填一个你认为正确的条件即可）
17．若|2a+3|+（3b﹣1）2=0，则ab= ．
18．在△ABC中，∠A=80°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC= 度．
19．观察：
你发现了什么规律？根据你发现的规律，请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来． ．
20．现在规定两种新的运算“﹡”和“◎”：a﹡b=a2+b2；a◎b=2ab，如（2﹡3）（2◎3）=（22+32）（2×2×3）=156，则[2﹡（﹣1）][2◎（﹣1）]= ．
三、解答题（21题12分，22、23、26各8分，24、25、各12分，共60分）
21．计算题
（1）（﹣1）2012+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1
（2）化简求值：（2x+y）2﹣（2x﹣y）（x+y）﹣2（x﹣2y）（x+2y），其中x=，y=﹣2．
22．已知：∠α．请你用直尺和圆规画一个∠BAC，使∠BAC=∠α．
（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，且写出结论）
23．推理说明题
已知：如图，AB∥CD，∠A=∠D，试说明AC∥DE成立的理由．下面是彬彬同学进行的推理，请你将彬彬同学的推理过程补充完整．
解：∵AB∥CD （已知）
∴∠A= （两直线平行，内错角相等）
又∵∠A=∠D （ ）
∴∠ =∠ （等量代换）
∴AC∥DE （ ）
24．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？
（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．
方法1： （只列式，不化简）
方法2： （只列式，不化简）
（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等式关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn．
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
若a+b=8，ab=5．求（a﹣b）2．
25．如图，已知∠EFD=∠BCA，BC=EF，AF=DC．线段AB和线段DE平行吗？请说明理由．
26．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式．
广东省深圳市智民学校七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A．a5+a5=a10B．a6×a4=a24C．a0÷a﹣1=aD．a4﹣a4=a0
【考点】负整数指数幂；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；零指数幂．
【分析】根据同底数幂的乘法、除法法则及合并同类项法则计算．
【解答】解：A、中a5+a5=2a5错误；
B、中a6×a4=a10错误；
C、正确；
D、中a4﹣a4=0，错误；
故选C．
【点评】本题考查的知识点很多，掌握每个知识点是解题的关键．
2．下列说法错误的是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．两直线平行，同旁内角相等
C．同位角相等，两直线平行
D．平行于同一条直线的两直线平行
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据平行线的性质可得A正确；根据相交直线所构成的角的关系可得B错误；根据平行线的判定可得C、D说法正确．
【解答】解：A、两条直线平行，内错角相等，说法正确，故此选项不合题意；
B、两直线平行，同旁内角相等说法错误，故此选项符合题意；
C、同位角相等，两直线平行，说法正确，故此选项不合题意；
D、平行于同一条直线的两直线平行，故此选项不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
3．下列关系式中，正确的是（ ）
A．（a+b）2=a2﹣2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣b2
C．（a+b）2=a2+b2D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
【考点】完全平方公式；平方差公式．
【分析】分别根据完全平方公式与平方差公式进行解答即可．
【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2，∴A、C错误；
∵（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，∴B错误；
∵（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，∴D正确．
故选D．
【点评】本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式与平方差公式是解答此题的关键．
4．等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长（ ）
A．17B．22C．17或22D．21
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
【解答】解：9为腰长时，三角形的周长为9+9+4=22，
9为底边长时，4+4＜9，不能组成三角形，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是解题关键，又利用了三角形三边的关系：两边之和大于第三边．
5．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去
【考点】全等三角形的应用．
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误；
B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误；
C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，符合ASA判定，故C选项正确；
D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点评】主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
6．如图，AB∥ED，则∠A+∠C+∠D=（ ）
A．180°B．270°C．360°D．540°
【考点】平行线的性质．
【分析】首先过点C作CF∥AB，由AB∥ED，即可得CF∥AB∥DE，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1+∠A=180°，∠2+∠D=180°，继而求得答案．
【解答】解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥ED，
∴CF∥AB∥DE，
∴∠1+∠A=180°，∠2+∠D=180°，
∴∠A+∠ACD+∠D=∠A+∠1+∠2+∠D=360°．
故选C．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用．
7．下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）
A．（x﹣y）（﹣x+y）B．（﹣x+y）（﹣x﹣y）C．（﹣x﹣y）（x﹣y）D．（x+y）（﹣x+y）
【考点】平方差公式．
【分析】根据公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2的左边的形式，判断能否使用．
【解答】解：A、由于两个括号中含x、y项的符号都相反，故不能使用平方差公式，A正确；
B、两个括号中，﹣x相同，含y的项的符号相反，故能使用平方差公式，B错误；
C、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，C错误；
D、两个括号中，含x项的符号相反，y项的符号相同，故能使用平方差公式，D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式．注意两个括号中一项符号相同，一项符号相反才能使用平方差公式．
8．若2m=3，2n=4，则23m﹣2n等于（ ）
A．1B．C．D．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据同底数幂的除法的性质的逆用和幂的乘方的性质计算即可．
【解答】解：23m﹣2n=23m÷22n=（2m）3÷（2n）2=33÷42=．
故选D．
【点评】本题考查同底数幂的除法，幂的乘方的性质，解决本题的关键是将23m﹣2n，转化成同底数幂的除法，成为2m，2n的形式，然后将已知条件代入求解．
9．如果一个角的补角是150°，那么这个角的余角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【考点】余角和补角．
【分析】本题根据互余和互补的概念计算即可．
【解答】解：180°﹣150°=30°，那么这个角的余角的度数是90°﹣30°=60°．故选B．
【点评】本题考查互余和互补的概念，和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角．
10．不能判定两个三角形全等的条件是（ ）
A．三条边对应相等B．两角及一边对应相等
C．两边及夹角对应相等D．两边及一边的对角相等
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判定即可．
【解答】解：
A、符合SSS，故A可以；
B、符合AAS，故B可以；
C、符合SAS，故C可以；
D、如图，△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，符合条件，但是这两个三角形不全等，故D不能判定；
故选D．
【点评】本题主要考查三角形全等的判定方法，掌握全等三角形的五种判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
二、填空题
11．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x= 3 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】因为x+1，2x+3，9是等腰三角形的三边长，但没有明确指明哪是腰，哪是底，因此要分类讨论．
【解答】解：①当x+1=2x+3时，解得x=﹣2（不合题意，舍去）；
②当x+1=9时，解得x=8，则等腰三角形的三边为：9、19、9，因为9+9=18＜19，不能构成三角形，故舍去；
③当2x+3=9时，解得x=3，则等腰三角形的三边为：4、9、9，能构成三角形．
所以x的值是3．
故填3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；在解决与等腰三角形有关的问题时，由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错．
12．一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角等于 60 度．
【考点】余角和补角．
【分析】设这个角为x，根据互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°表示出出这个角的余角与补角，然后列出方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x，则它的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x，
根据题意得，180°﹣x=4（90°﹣x），
解得x=60°．
故答案为：60．
【点评】本题考查了互为余角与补角的定义，根据题意表示出这个角的余角与补角，然后列出方程是解题的关键．
13．若x2+mx+25是完全平方式，则m= ±10 ．
【考点】完全平方式．
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．
【解答】解：∵x2+mx+25是完全平方式，
∴m=±10，
故答案为：±10
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
14．已知（x﹣a）（x+a）=x2﹣9，那么a= ±3 ．
【考点】平方差公式．
【分析】可先将式子（x﹣a）（x+a）变形为x2﹣a2，然后，再根据a2与9的相等关系，来解答出a的值即可．
【解答】解：根据平方差公式，
（x﹣a）（x+a）=x2﹣a2，
由已知可得，a2=9，
所以，a=±=±3．
故答案为：±3．
【点评】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．公式：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
15．若，则a2m﹣3n= ﹣32 ．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据幂的乘方，可的要求的形式，根据同底数幂的除法，可得答案．
【解答】解：a2m=（am）2=4，a，
a2m﹣3n=4=﹣32，
故答案为：﹣32．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，先化成要求的形式，再进行同底数幂的除法运算．
16．已知：如图，∠EAD=∠DCF，要得到AB∥CD，则需要的条件 ∠EAD=∠B ．（填一个你认为正确的条件即可）
【考点】平行线的判定．
【分析】可以添加条件∠EAD=∠B，由已知，∠EAD=∠DCF，则∠B=∠DCF，由同位角相等，两直线平行，得出AB∥CD．
【解答】解：可以添加条件∠EAD=∠B，理由如下：
∵∠EAD=∠B，∠EAD=∠DCF，
∴∠B=∠DCF，
∴AB∥CD．
故答案为：∠EAD=∠B．
【点评】考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．本题属于开放性试题，答案不唯一．
17．若|2a+3|+（3b﹣1）2=0，则ab= ﹣ ．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，2a+3=0，3b﹣1=0，
解得a=﹣，b=，
所以，ab=（﹣）×=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
18．在△ABC中，∠A=80°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC= 130 度．
【考点】三角形内角和定理．
【分析】由题意利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB度数，再利用内角和定理求出所求角度数即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠A=80°，
∴∠ABC+∠ACB=100°，
∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=50°，
则∠BOC=130°，
故答案为：130
【点评】此题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解本题的关键．
19．观察：
你发现了什么规律？根据你发现的规律，请你用含一个字母的等式将上面各式呈现的规律表示出来． n（n+2）+1=（n+1）2（n为正整数） ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】规律为两个相差2的数的积加上1，等于这两个数的平均数的平方．
【解答】解：根据观察，发现规律为：n（n+2）+1=（n+1）2，（n为正整数）
故答案为：n（n+2）+1=（n+1）2（n为正整数）．
【点评】本题考查了数字变化规律．关键是观察积的两个数之间的关系，结果与这两个数的关系．
20．现在规定两种新的运算“﹡”和“◎”：a﹡b=a2+b2；a◎b=2ab，如（2﹡3）（2◎3）=（22+32）（2×2×3）=156，则[2﹡（﹣1）][2◎（﹣1）]= ﹣20 ．
【考点】有理数的混合运算．
【分析】根据题意，把[2﹡（﹣1）][2◎（﹣1）]中[2﹡（﹣1）]代入到a﹡b=a2+b2中；
把[2◎（﹣1）]代入到a◎b=2ab，求出结果即可．
【解答】解：根据题意可知：[2﹡（﹣1）][2◎（﹣1）]=[22+（﹣1）2][2×2×（﹣1）]=5×（﹣4）=﹣20．
【点评】本题的关键是需明白新的运算相对于我们平时所见的运算之间的联系．
三、解答题（21题12分，22、23、26各8分，24、25、各12分，共60分）
21．计算题
（1）（﹣1）2012+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1
（2）化简求值：（2x+y）2﹣（2x﹣y）（x+y）﹣2（x﹣2y）（x+2y），其中x=，y=﹣2．
【考点】整式的混合运算—化简求值；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】（1）先算乘方、0指数幂与负指数幂，再算加减；
（2）先利用完全平方公式、平方差公式和整式的乘法计算，再进一步合并化简，最后代入求得数值即可．
【解答】解：（1）原式=1+1﹣（﹣3）
=2+3
=5；
（2）原式=4x2+4xy+y2﹣（2x2+xy﹣y2）﹣2（x2﹣4y2）
=4x2+4xy+y2﹣2x2﹣xy+y2﹣2x2+8y2
=3xy+10y2，
当x=，y=﹣2时，
原式=3××（﹣2）+10×（﹣2）2
=37．
【点评】此题考查整式的混合运算，注意先利用整式的乘法计算合并化简，再进一步代入求得数值解决问题．
22．已知：∠α．请你用直尺和圆规画一个∠BAC，使∠BAC=∠α．
（要求：不写作法，但要保留作图痕迹，且写出结论）
【考点】作图—基本作图．
【分析】根据作一个角等于已知角的方法作图即可．
【解答】解：如图所示：
，
∠BAC即为所求．
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
23．推理说明题
已知：如图，AB∥CD，∠A=∠D，试说明AC∥DE成立的理由．下面是彬彬同学进行的推理，请你将彬彬同学的推理过程补充完整．
解：∵AB∥CD （已知）
∴∠A= ∠ACD （两直线平行，内错角相等）
又∵∠A=∠D （ 已知 ）
∴∠ ACD =∠ D （等量代换）
∴AC∥DE （ 内错角相等，两直线平行 ）
【考点】平行线的判定与性质．
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，判定∠A=∠ACD；再由已知条件∠A=∠D，根据等量代换∠ACD=∠D；根据平行线的判定定理内错角相等，两直线平行，知AC∥DE．
【解答】解：∵AB∥CD（已知），∴∠A=∠ACD（两直线平行，内错角相等）
又∵∠A=∠D（已知），
∴∠ACD=∠D（等量代换）；
∴AC∥DE（内错角相等，两直线平行）．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质．解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
24．图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形．
（1）你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少？ m﹣n
（2）请用两种不同的方法求图b中阴影部分的面积．
方法1： 边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，
即（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn （只列式，不化简）
方法2： 边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，
即（m﹣n）2=（m+n）2﹣2m×2n （只列式，不化简）
（3）观察图b你能写出下列三个代数式之间的等式关系吗？
代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn． （m+n）2=（m﹣n）2+4mn
（4）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
若a+b=8，ab=5．求（a﹣b）2．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【分析】（1）直接利用图b得出正方形的边长；
（2）利用已知图形结合边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积以及边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，分别求出答案；
（3）利用（2）中所求得出答案；
（4）利用（3）中关系式，将已知变形得出答案．
【解答】解：（1）阴影部分的正方形边长是：m﹣n．
故答案为：m﹣n；
（2）阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，
方法1：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，
即（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；
方法2：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，
即（m﹣n）2=（m+n）2﹣2m×2n；
（3）由题意可得：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
（4）∵a+b=8，ab=5，
∴（a+b）2=64，
∴（a﹣b）2+4ab=64，
∴（a﹣b）2=64﹣4×5=44．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确应用完全平方公式是解题关键．
25．如图，已知∠EFD=∠BCA，BC=EF，AF=DC．线段AB和线段DE平行吗？请说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据题意可得出AC=DF，根据△ABC≌△DEF，可得出∠A=∠D，则AB∥DE．
【解答】解：AB∥DE，理由是：
∵AF=DC，∴AF+FC=DC+CF，
即AC=DF，
∵∠EFD=∠BCA，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠A=∠D，
∴AB∥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握．
26．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：
（1）在④和⑤后面的横线上分别写出相应的等式；
（2）通过猜想写出与第n个点阵相对应的等式．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】（1）观察图形得到④中点的个数的和为1+3+5+7=16，则1+3+5+7=42；同样可得到⑤中的等式为1+3+5+7+9=52；
（2）根据前面的等式的规律得到第n个点阵图中点的个数共有n2个，它有从1开始的n个连续奇数的和，于是得到1+3+5+7+…+（2n﹣1）=n2．
【解答】解：（1）④：1+3+5+7=42；⑤1+3+5+7+9=52；
（2）1+3+5+7+…+（2n﹣1）=n2（n≥1的整数）．
【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
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