沪科版九年级上册22.4 图形的位似变换教案

图形的位似变换

【教学目标】

1．理解图形的位似概念，掌握位似图形的性质。

2．会利用作位似图形的方法把一个图形进行放大或缩小。

3．经历位似图形性质的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力，培养学生动手、动脑、手脑和谐一致的习惯。

4．利用图形的位似解决一些简单的实际问题，并在此过程中培养学生的数学应用意识。

5．发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理能力。

【教学重点】

图形的位似概念、位似图形的性质及利用位似把一个图形放大或缩小。

【教学难点】

位似图形的画法。

【课时安排】

2课时。

【教学过程】

【第一课时】

一、创设情景，构建新知。

（一）位似图形的概念：

下列两幅图有什么共同特点？通过对图的观察能从生活中找到一种感觉吗？（像一种什么镜头。）

图片的形状相同，而且每组对应顶点都在由同一点出发的一条射线上。

如果一个图形上的点A1、B1、C1、P1和另一个图形上的点A、B、C、P且分别对应，并且满足下面两点：

1．直线AA1，BB1，CC1，PP1都经过同一点O；

2．=k。

那么这两个图形叫位似图形，点O叫位似图形。

例如上图中的任何两个五角星都是位似图形，点O是它们的位似中心；放电影时，胶片与屏幕的画面也是位似图形，光源就是它们的位似中心。

（二）引导学生观察位似图形。

下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形。分别观察这五个图，并判断哪些是位似图形，哪些不是位似图形？为什么？

每个图形中的两个四边形不仅相似，而且各对应点所在的直线都经过同一点。所以都是位似图形。

各对应点所在的直线都经过同一点的相似图形是位似图形。其相似比又叫做它们的位似比。

显然，位似图形是相似图形的特殊情形。

（三）练一练：判断下列各对图形哪些是位似图形，哪些不是？

1．五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′；

2．在平行四边形ABCD中，△ABO与△CDO；

3．正方形ABCD与正方形A′B′C′D′；

4．等边三角形ABC与等边三角形A′B′C′；

5．△ABC与△ADE（①DE∥BC；②∠AED＝∠B）。

通过上面几个练习，使学生明白：图形相似；对应顶点的连线经过同一点，是判断位似图形两个不可缺少的条件。

如图P、E、F分别是AC、AB、AD的中点，四边形AEPF与四边形ABCD是位似图形吗？如果是位似图形，说出位似中心和位似比。

二、应用新知，适当提高。

（一）位似图形的性质。

一般地，位似图形有以下性质：

位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

2．作位似图形。

例：如图，请以坐标原点O为位似中心，作的位似图形，并把的边长放大3倍。

分析：根据位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，我们只要连结位似中心O和的各顶点，并把线段延长（或反向延长）到原来的3倍，就得到所求作图形的各个顶点。

（二）作法：如图所示。

1．连结OA、OB、OC、OD。

2．分别延长OA、OB、OC、OD到G、C、E、F，使＝＝＝＝3。

3．依次连结GC、CE、EF、FG。

四边形GCEF就是所求作的四边形。

如果反向延长OA，OB，OC，OD，就得到四边形G′C′E′F′，也是所求作的四边形。

（三）想一想：

1．四边形GCEF与四边形G′C′E′F′具有怎样的对称性？

2．怎样运用像与原像对应点的坐标关系，画出以原点为位似中心的位似图形？

比较图形中各对应点的坐标，我们还不难发现：

以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质：若原图形上点的坐标为（x，y），像与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（－kx，－ky）。

练一练：

1．如图，已知△ABC和点O。以O为位似中心，求作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的。

2．如图，在直角坐标系中，△ABC的各个顶点的坐标为A（－1，1），B（2，3），C（0，3）。现要以坐标原点O为位似中心，位似比为，作△ABC的位似图形△A′B′C′，则它的顶点A′、B′、C′的坐标各是多少？

【作业布置】

书上练习题，基础训练同步练习。

【第二课时】

一、回顾与反思。

（一）什么叫相似多边形？

（二）什么叫相似多边形的相似比？

（三）判断两个三角形相似有哪些方法？

二、概念的引入。

展示图片：

上面的一组图片是形状相同的图形，在图片①上取一点A，它与另一图片（如图片②）上的相应点B之间的连线是否经过镜头P的中心？在图片上换其他的点试一试，还有类似的结论吗？

引入概念：

如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

练一练：

在下图中，（1），（3）中的两个图形是位似图形，（2）中的两个图形不是位似图形。分别指出图（1），（3）各自的位似中心。

三、探究位似图形的性质。

议一议：

在如图中任取一对对应点，度量这两个点到位似中心的距离，它们的比与位似比有什么关系？

在图（3）中再试一试，还有类似的规律吗？

位似图形的性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。

四、应用位似进行图形的缩放：

按如下方法可以将△ABC的三边缩小为原来的1/2：

如图，任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F；△DEF的三边就是△ABC相应三边的1/2。实际上△ABC与△DEF是位似图形。

做一做：

任意画一个三角形，用上面的方法亲自试一试。

五、应用举例：

（一）例1：

1．如果在射线OA、OB、OC上分别取D、E、F，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC，那么，结果又会怎样？

结果会得到一个放大了的△DEF，且△DEF的三边是△ABC三边的2倍。即它们的位似比是2:1。

2．如果在射线AO，BO，CO上分别取点D，E，F使DO=OA，EO=OB，FO=OC，那么，结果又会怎样呢？结果会得到一个与△ABC全等的△DEF。即它们的位似比是1:1。

3．如果在射线AO、BO、CO上分别取点D、E、F使DO=2OA，EO=2OB，FO=2OC，那么，结果又会怎样呢？

（二）例2：如图所示，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比是2:1。

【作业布置】

习题22.4的1、2、3。