初中数学22.3 相似三角形的性质教案

相似三角形的性质

【教学目标】

（一）知识与技能：

1．了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。

2．能够运用相似三角形的性质定理解决相关问题。

（二）过程与方法：

通过操作、观察、猜想、类比等活动，进一步提高学生的思维能力和推理论证能力。

（三）情感、态度与价值观：

通过对性质的发现和论证，提高学习热情，增强探究意识。

【教学重点】

相似三角形性质定理的理解与运用。

【教学难点】

探究相似三角形面积的性质，并运用相似三角形的性质定理解决问题。

【教学过程】

（一）情境引入

三角形中有各种各样的几何量，如三条边的长度，三个内角的度数，高、中线、角平分线的长度，以及周长、面积等等。

问题：如果两个三角形相似，那么它们的这些几何量之间有什么关系呢？

引出课题：今天，我们就来研究相似三角形的这些几何量之间的关系。

（二）探究归纳

回顾：从相似三角形的定义出发，能够得到相似三角形的什么性质？

相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

问题：相似三角形的其他几何量可能具有哪些性质？

探究：如图1，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少。

图1

图2

问题1：如图2，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作△ABC和△A′B′C′对应高AD和A′D′。AD和A′D′的比是多少？

追问：对应高在哪两个三角形中，它们相似吗？如何证明？

解：∵△ABC∽△A′B′C′

∴∠B＝∠B′

∵△ABD和△A′B′D′都是直角三角形

∴△ABD∽△A′B′D′

问题2：它们的对应中线、角平分线的比是否也等于相似k？

结论：相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比。

问题3：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，对应线段的比呢？

推广：相似三角形对应线段的比等于相似比。

问题4：如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们的周长有什么关系？

结论：相似三角形的周长比等于相似比。

思考：相似三角形面积比与相似比有什么关系？

如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分别作△ABC和△A′B′C′，对应高AD和A′D′。

结论：相似三角形面积比等于相似比的平方。

（三）应用提高

1．例：如图，在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D。若△ABC的边BC上的高是6，面积为，求△DEF的边EF上的高和面积。

解：在△ABC和△DEF中，

∵AB＝2DE，AC＝2DF，

∵∠A＝∠D，

∴△DEF∽△ABC，△DEF与△ABC的相似比为

∵△ABC的边BC上的高是6，面积为，

∴△DEF的边EF上的高为

面积为

2．判断

（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍。（   ）

（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍。（   ）

3．如图，△ABC与△A′B′C′相似，AD、BE是的△ABC高，A′D′、B′E′是△A′B′C′的高，求证

4．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原来的2cm变成了6cm，放缩比例是多少？这个三角形的面积发生了怎样的变化？

（四）体验收获

说一说你的收获。

相似三角形的性质：

1．对应角相等，对应边成比例。（对应边的比等于相似比）

2．对应高线、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。

3．对应周长比等于相似比。

4．对应面积比等于相似比的平方。

（五）拓展提升

1．两个相似三角形的周长之比是2：3，它们的面积之差是60cm2，那么它们的面积之和是多少？

2．如图，这是比例尺为1：1000的一块三角形草坪的图形，则草坪的实际面积是多少？

3．如图，△ABC的面积为100，周长为80，AB＝20，点D是AB上一点，BD＝12，过点D作DE∥BC，交AC于点E。

（1）求△ADE的周长和面积；

（2）过点E作EF∥AB，EF交BC于点F，求△EFC和四边形DBFE的面积。

【作业布置】

教材课后习题。