沪科版九年级上册22.2 相似三角形的判定教案设计

这是一份沪科版九年级上册22.2 相似三角形的判定教案设计，共17页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，课时安排，教学过程，第一课时，作业布置，第二课时等内容，欢迎下载使用。

相似三角形的判定

【教学目标】
1．理解相似三角形的概念，能正确地找出相似三角形的对应边和对应边角；
2．掌握相似三角形判定定理的“预备定理”；
3．能灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学重点】
灵活运用三角形相似的判定定理证明和解决有关问题。
【教学难点】
三角形相似的判定定理的探索与证明。
【课时安排】
5课时。
【教学过程】
【第一课时】
三角形相似判定定理的“预备定理”。
一、复习旧知：
前面我们学习了相似多边形及相似比的有关概念，下面请同学们思考以下几个问题：
（一）辨析：
1．四个角分别相等的两个四边形一定相似吗？
2．四组对应边的比分别相等的两个四边形一定相似吗？
3．什么样的两个多边形是相似多边形？
4．什么是相似比（相似系数）？
（二）简答：
1．正方形和长方形或长宽之比不相等的两个矩形。
2．正方形和不是正方形的菱形或两组内角均不相等的菱形。
3．两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形。
4．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数。
二、概念讲解：
概念：如图1，△ABC与△A′B′C′相似。记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于△A′B′C′”。
注意：两个三角形相似，用字母表示时，与全等一样，应把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样便于找出相似三角形的对应边和对应边角。
△ABC∽△A′B′C′
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′,∠C＝∠C′,
＝＝
明确：对于，根据相似三角形的定义，应有……
（引导学生明白定义的双重性。）
问题：将△ABC与△A'B'C'相似比记为k1，△A'B'C'与△ABC相似比记为k2，那么k1与k2有什么关系？
k1＝k2能成立吗？
说明：三角形全等是三角形相似的特例。
（一）类比猜想：
1．两个三角形全等的判定有哪几种方法？
2．全等是不是需要所有的对应边和对应角都相等？
3．猜想：两个三角形相似是不是也需要所有的对应边？
和对应角都相等？有没有简便的方法？
（二）简析：
1．两个三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS，直角三角形还有HL。
2．不需要所有的对应边和对应角都相等。
3．猜想：两个三角形相似也不需要所有的对应角和对应边长度的比相等。
三、探索交流。
（一）探究：
1．在△ABC中，D为AB的中点，如图，过D点作DB∥BC交AC于点E，那么△ADE与△ABC相似吗？

（1）“角”：∠BAC＝∠DAE。
∵DB∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C。
（2）“边”——要证明对应边的比相等，有哪些方法？
a．直接运用三角形中位线定理及其逆定理。
∵DB∥BC，D为AB的中点，
∴E为AC的中点，即DE是△ABC的中位线。（三角形中位线定理的逆定理。）
∴DE＝BC（三角形中位线定理）。
∴＝＝＝。
∴△ADE∽△ABC。
b．利用全等三角形和平行四边形知识。
过点D作DF∥AC交BC于点F，如图。

则△ADE≌△ABC（ASA），
且四边形DFCE为平行四边形。
∴DE＝BF＝FC
∴＝＝＝。
∴△ADE∽△ABC
2．当D2、D3为AB的三等分点，如图，过点D2、D3分别作BC的平行线，交AC于点E2、E3，那么△AD2E2、△AD3E3与△ABC相似吗？

由（1）知△AD3E3∽△AD2E2，下面只要证明△AD3E3与△ABC相似，关键是证对应边的比相等。
过点D2、D3分别作AC的平行线，交BC于点F2、F3，设D2E2与D3F3相交于G点。
则△AD3E3≌△D3D2G≌D2BF2，（ASA）
且四边形D3F3CE3、D2F2CE2、D3GE2E3、D2F2F3G为平行四边形。
∴D3E3＝BF2＝F2F3＝F3C
∴AE3＝E3E2＝E2C
∴＝＝＝
∴△AD3E3∽△ABC
∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC
（二）思考：上述证明过程较复杂，有较简单的证明方法吗？
过点D2分别作AC的平行线，交BC于点F2，如图5。
则设四边形D2F2CE2为平行四边形，且△AD3E3≌D2BF2（ASA），
∴D2E2＝F2C，D3E3＝BF2。
由（1）知，D3E3＝D2E2，AE3＝AE2，
∴D1E1＝BC，AE3＝AC
∴＝＝＝。
∴△AD3E3∽△ABC
∴△AD3E3∽△AD2E2∽△ABC。
（三）猜想：通过上面两个特例，可以猜测：当D为AB上任一点时，如图6，过D点作DE∥BC交AC于点E，都有△ADE与△ABC相似。
（图6）
由以上探究过程你能得出什么结论？如果这条直线与三角形两边的延长线相交呢？
（四）归纳。
定理：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。
符号语言：在△ABC中，若DE∥BC（如图6所示），则△ADE∽△ABC。

证明：
1．“角”：∠BAC＝∠DAE
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C。
2．“边”：
∵DE∥BC，＝
过D点作DF∥AC交BC于点F。
∴＝
又∵四边形DFCE是平行四边形。
∴ FC＝DE；
∴＝；
∴＝＝；
∴△ADE∽△ABC。
四、巩固提高：
如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）。

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【作业布置】
（一）必做题。
1．如图，△ABC∽△AED，其中DE∥BC，写出对应边的比例式。

2．如图，△ABC∽△AED，其中∠ADE=∠B，写出对应边的比例式。

3．如图，DE∥BC，

（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长。
（二）选做题。
如图，△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA

1．写出对应边的比例式；
2．写出所有相等的角；
3．若AB=10，BC=12，CA=6，求AD、DC的长。
（三）思考题。
如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长。
【第二课时】
一、复习导入：
（一）我们已学过哪些判定三角形相似的方法？
1．三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。
2．平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的三角形与原三角形相似。（分析这两种判定方法的复杂性和局限性，为三角形相似判定定理1的引入打下基础。）
（二）我们能不能像判定三角形全等一样，用较少的条件就能判定三角形相似呢？
二、探索交流。
（一）动手操作：每位学生动手作一个三角形，使其中一角等于50°，另一角等于70°，再观察与同伴所作三角形的形状大小有何异同。
（二）师生交流，并引导学生大胆猜想：两角对应相等的两个三角形相似。
（三）师生共同论证猜想。
已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'。

求证：△ABC∽△A'B'C。
证明：在△ABC的边AB（或延长线）上，截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC交AC于点E，则△ADE∽△ABC。
∵∠ADE=∠B，∠B=∠B'；
∴∠ADE=∠B'；
∵∠A=∠A'，AD=A'B'；
∴△ADE≌△A'B'C'（ASA）；
∴△ABC∽△A'B'C。
（四）归纳三角形相似判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似（可简单说成：两角对应相等的两个三角形相似。）
三、例题解析：
例1：△ABC中，点D在AB上，如果∠ACD=∠B，那么△ACD与△ABC相似吗？（引导学生找出题目中的隐藏条件——∠A为公共角）

例2：已知：如图，矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF的长。

分析：要求的是线段DF的长，观察图形，我们发现AB、AD、AE和DF这四条线段分别在△ABE和△AFD中，因此只要证明这两个三角形相似，再由相似三角形的性质可以得到这四条线段对应成比例，从而求得DF的长。由于这两个三角形都是直角三角形，故有一对直角相等，再找出另一对角对应相等，即可用“两角对应相等，两个三角形相似”的判定方法来证明这两个三角形相似。
四、巩固提高：
下列说法是否正确，并说明理由。
（一）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；
（二）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形。
【作业布置】
（必做题）教材习题的1（2）、4、5。
（选做题）已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE。

（思考题）已知：如图，△ABC的高AD、BE交于点F。求证：。

【第三课时】
相似三角形的判定定理2。
一、复习提问：
（一）我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
（二）如图，如果要判定△ABC与△A'B'C'相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？

二、探究归纳：
（一）利用刻度尺和量角器画∆ABC与∆A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？
（学生独立操作并判断）。
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。
（学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以及三角形的各个角的大小，从尺规实验的角度探索命题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。）
（二）改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？
（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再做出具体判断。改变∠A或k值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素的能力。）
（三）归纳三角形相似判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
（定理的证明在教师的引导下，由学生独立完成。）
已知：如图，∠A=∠A′，，求证：△ABC∽△A′B′C′

证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E。
则△ADE∽△ABC。
∴；
∵；
∴AE＝A′C′；
∵∠A＝∠A′；
∴△ADE≌△ABC；
∴△ABC∽△A′B′C′。
（四）辨析：对于∆ABC与△A′B′C′，如果，∠B=∠B′，这两个三角形相似吗？
试着画画看。
（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。）
通过辨析，使学生对两个三角形相似判定定理2的判定条件——“并且相应的夹角相等”具有较深刻的认识，培养学生严谨的思维习惯。
三、应用示例：
（一）例1：根据下列条件，判断∆ABC与∆A1B1C1是否相似，并说明理由：
1．∠A＝120°，AB=7cm，AC=14cm，
∠A1＝120°，A1B1=3cm，A1C1=6cm。
2．∠B＝60°，AB=2cm，AC=6cm，∠B1＝600，A1B1=8cm，A1C1=24cm。
分析：
1．==，∠A=∠A1＝120°∆ABC∽∆A1B1C1。
2．==，∠B=∠B1＝60°但∠B与∠B1不是AB与AC﹑A1B1与A1C1的夹角，所以∆ABC与∆A1B1C1不一定相似。
（二）例2：已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长。

分析：由已知一对对应角相等及四条边长，猜想应用“两组对应边的比相等且它们的夹角相等”来证明。计算得出，结合∠B=∠ACD，证明△ABC∽△DCA，利用相似三角形的定义得出关于AD的比例式，从而求出AD的长。
四、巩固提高：
（一）教科书练习1、2
（学生先独立完成，再由教师带领学生集体订正。）
（二）如图，AB·AE=AD·AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE。
（引导学生将乘积式转换为比例式。）
【作业布置】
（必做题）教材习题的1（1）、6、7。
（选做题）已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA:OC=OB:OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。

（思考题）已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且BD2=PD·AD，求证：△ADC∽△CDP。

【第四课时】
三角形相似判定定理3。
一、复习提问：
（一）两个三角形全等有哪些判定方法？
（二）我们学习过哪些判定三角形相似的方法？
（三）全等三角形与相似三角形的判定方法共同特点吗？
（四）那么判定三角形相似还有哪些方法呢？
二、探究归纳：
（一）提出问题：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
（二）带领学生画图探究；任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？
分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的对应角都相等，根据相似三角形的定义，这两个三角形相似。（学生小组交流。）
（三）在学生小组交流的基础上引导学生思考、证明、归纳。
已知：如图，。
求证：△ABC∽△A′B′C′。

证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD＝A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E。
则△ADE∽△ABC。
∴；
∵AD＝A′B′，；
∴DE＝B′C′，EA＝C′A′；
∴△ADE≌△A′B′C′；
∴△ABC∽△A′B′C′。
（四）归纳三角形相似判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
三、应用示例：
（一）例1：依据下列各组条件，判定△ABC与△A′B′C′是不是相似，并说明为什么：
1．AB＝5，AC＝3，∠A＝45°，A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°；
2．∠A＝38°，∠C＝97°，∠A′＝38°，∠B′＝45°；
3．AB＝2，BC＝，AC＝，A′B′＝，B′C′＝1，A′C′＝。
分析：判定两个三角形是否相似，可以根据已知条件，看是不是符合相似三角形的定义或三角形相似的判定方法，对于1由于是已知一对对应角相等及四条边长，因此看是否符合三角形相似的判定方法二“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”；对于2给的几个条件全是角，因此看是否符合三角形相似的判定方法一“两角对应相等的两个三角形相似”即可；对于3给的几个条件全是边，因此看是否符合三角形相似的判定方法三“三边对应成比例的两个三角形相似”即可，其方法是通过计算成比例的线段得到对应边。
（二）例2：如图，BC与DE相交于点O。问：
1．当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
2．当AC:AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE？

分析：从图中可以看出，在△ABC和△ADE中，∠A=∠A，根据三角形相似的判定定理，只要添加适当的一个条件即可。此题是探索性题，可引导学生从结论出发找到需要的条件，从而使问题得以解决。
（三）例3：如图，方格网中的小方格是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′的顶点都是格点，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，为什么？

分析：由于△ABC与△A′B′C′的顶点都是格点，可以根据勾股定理求得三边长度，再判断是否对应成比例即可。对于这个问题，可引导学生积极思考，教学中对学生的各种解决问题的方法要给予肯定。
四、巩固提高：
（一）教科书练习1、2、3、4。
（学生先独立完成，再由教师带领学生集体订正。）
（二）在方格纸中，你能画出几个不同的三角形与△ABC相似（相似比不为1）。

【作业布置】
（必做题）教材习题的8。
（选做题）如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC，②ΔBCD，③ΔBDE，④ΔBFG，⑤ΔFGH，⑥ΔEFK。其中②～⑥中，与三角形①相似的是哪几个？

（思考题）如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，求∠1+∠2的度数。

【第五课时】
直角三角形相似判定定理。
一、复习提问：
（一）“三角形全等的判定定理”有哪几条？（学生回答ASA、AAS、SAS、SSS、HL）
（二）到现在为止，我们学到的定理中，有哪几条可以用来判定两个三角形相似？
1．相似三角形的预备定理。
2．两角对应相等的两个三角形相似。
3．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
4．三边对应成比例的两个三角形相似。
（三）今天，我们要学习直角三角形相似的判定。由于直角三角形属于三角形，所以三角形相似的判定定理对于直角三角形都适用。但直角三角形是一种特殊的三角形，现在让我们一起来研究一下直角三角形相似的判定有没有它特殊的地方？

二、探究归纳：
（一）引例：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，试问在这样的条件下，要判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′相似还需要增加什么条件？
1．∠A=∠A′或∠B=∠B′。
（依据：相似三角形判定定理1）
2．BC:B′C′=AC:A′C′。
（依据：相似三角形判定定理2。）
（二）思考：直角三角形相似的判定是否还必须三条边对应成比例呢？
（让学生思考，联想直角三角的全等。）
这使我们想起，直角三角形全等的判定中没有三条边对应相等这一条？而有HL，只适用于直角三角形全等的判定定理。
（三）讨论：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形是否相似？请你做出判断，并说明理由。
（四）学生通过联想、类比，容易猜出满足这样条件的两个直角三角形是相似的，继而教师要求学生能进一步加以证明。画出图形，写出已知、求证。
（五）归纳直角三角形相似的判定定理：斜边和一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
三、应用示例：
（一）判断题：
1．△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，∠A=25°，∠D=65°，则△ABC和△DEF是否相似？
2．AC=3，BC=4，DF=6，EF=8，则△ABC∽△DEF吗？
3．△ABC的两边分别为3和4，DF=9，DE=15，则△ABC和△DEF是否相似？
（二）如图所示，已知∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，当BD与a、b之间满足怎样的关系式时，Rt△ABC∽Rt△CDB？

分析：要使Rt△ABC∽Rt△CDB，而题中已经知道Rt△ABC的斜边和一直角边及Rt△CDB的斜边，利用今天讲的这个定理可知只需加上条件即可。
问：若改为△ABC∽△BDC，结果如何？
四、巩固提高：
（一）教科书练习1、2、3
（学生先独立完成，再由教师带领学生集体订正。）
（二）在△ABC和△A′B′C′中，已知∠C=∠C′=90°。要使△ABC∽△A′B′C′，应加什么条件？

1．∠A=35°，∠B′=________。
2．AC=5，BC=4，A′C′=15，B′C′=___。
3．AB=5，AC=___，A′B′=10，A′C′=6。
4．AB=10，BC=6，A′B′=5，A′C′=______。
5．AC：AB=1：3，A′C′=a，A′B′=_____。
【作业布置】
（必做题）教材习题的10。
（选做题）如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由。