初中数学沪科版九年级上册23.2解直角三角形及其应用教案

解直角三角形及其应用

【教学目标】

1．熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系。

2．学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形。

【教学重点】

会利用已知条件解直角三角形。

【教学难点】

根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。

【课时安排】

4课时。

【教学过程】

【第一课时】

一、复习回顾：

（一）直角三角形三边的关系：勾股定理a2+b2=c2。

（二）直角三角形两锐角的关系：两锐角互余∠A+∠B=90°。

（三）直角三角形边与角之间的关系：锐角三角函数。

（四）互余两角之间的三角函数关系：

同角之间的三角函数关系：

特殊角30°、45°、60°角的三角函数值。

二、新课探究：

有以上的关系，如果知道了五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。

在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

例1：在RT△ABC中，∠C=90°，∠B=42°6′，c=287.4，解这个三角形。

解：∠A=90°-42°6′=47°54′，a=c·cosB=287.4×0.7420=213.3；

b=c·sinB=287.4×0.6704=192.7。

三、练习：

（一）在RT△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠BAC的平分线AD=，解此直角三角形。

（二）已知AB=4，∠B=45°，∠C=30°，求△ABC其余各边的长，各角的度数和△ABC的面积。

（三）如图，根据图中已知数据，求△ABC其余各边的长，各角的度数和△ABC的面积。

四、小结：

本节课主要学习了如何利用已知条件，选用合适的三角关系式解直角三角形，这是需要我们熟练掌握的，为后面学习解决实际问题提供打下基础。

【作业布置】

课本练习1、2、3。

【教学过程】

【第二课时】

一、导入新课

进行高度测量时，视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角；当视线在水平线下方时叫俯角。

二、新课讲解：

例3：一学生要测量校园内一棵水杉树的高度，他站在距离水杉树8m的E处，测得树顶的仰角∠ACD=52°，已知测角仪的架高CE=1.6m，求树高AB。（精确到0.1m）

解：在Rt⊿ACD中，∠ACD=520，CD=EB=8m．；

由tan∠ACD=，得

AD=CD·tan∠ACD=8tan520=8×1.2799≈10.2（m）；

又DB=CE=1.6m，得

AB=AD+DB=10.2+1.6=11.8m；

∴树高约为11.8m。

练习：飞机飞行的高度AB=1000m，从飞机上测得地面上跑道着地点C的俯角为18°，求飞机A到着地点C的距离。（精确到1m）。

例4：如图，要测量铁塔的高AB，在地面上选取一点C，在AC两点间选取一点D，测得CD=50米，在C、D两点处分别用测角仪测得铁塔顶端B的仰角为α=30°和β=45°。测角仪支架的高为1米，求铁塔的高（精确到0.1米）。

解：略。

课堂练习：

在与旗杆AB相距20m的C处，用高1.2m的测角仪测得旗杆的顶端B的仰角a=30°，求旗杆AB的高。（精确到0.1m）

【作业布置】

练习1、2。

【第三课时】

例5：某校九年级学生为了测量当地电视塔高AB，因为不能直接到塔底B处，他采用在发射塔院外与电视塔B成一直线的C、D两地面处，用测角器测得顶部A的仰角45°和30°，同时测得CD=50m，测角器高1m，你能求电视塔的高度吗？

解：设AB1=xm，在Rt⊿AC1B1中，由∠AC1B1=45°，得C1B1=AB1=x，又在Rt⊿AD1B1，中由∠AD1B1=30°，得：

tan∠AD1B1==，即tan30°=；

解方程，得x=25（+1）≈68（m）；

∴AB=AB1+B1B≈68+1=69（m）；

因而，电视塔的高约为69m。

练习：一船以20nm/h的速度向正东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°，继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°，已知灯塔C四周10nm内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？

分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔到航线的距离是否大于10nm。

解：作CD⊥AB于点D，设CD=xnm；

在Rt⊿ACD中，AD==；

在Rt⊿BCD中，BD==；

由AB=AD-BD，得：

AB=-=20；

∴CD=x==10>10。

因而，船继续向东航行五触礁的危险。

例7：铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD，路基的上底宽BC=9.8m，路基高BE=5.8m，斜坡的坡度1:1.6，求路基下底宽（精确到0.1m）与斜坡的坡角。

课堂练习：练习1、2。

【作业布置】

课本习题的2、3、5。

【第四课时】

例6．铁路路基的横断面是等腰梯形ABCD，路基的上底宽BC=9.8m，路基高BE=5.8m，斜坡的坡度1:1.6，求路基下底宽（精确到0.1m）与斜坡的坡角。

（解题过程略）

回顾解题思路，指导学生思考例7并求证，分小组写出求证过程，教师根据学生的解题过程展开讲解。

课堂练习：分别求直线y=+2的向上方向与x轴正方向和y轴正方向所夹的锐角。

【作业布置】

习题的6、8。