苏科版中考数学冲刺专项第4讲.第二轮复习之函数图象上点的存在性问题中的距离、面积与角度 教师版

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中考说明：从07到13年我们发现各区模拟和中考中有很多考题通过距离来限制动点的位置．比如寻找等腰三角形的顶点等等．

一、线段定值问题：

初中知识涉及点到点的距离，点到线的距离，平行线的距离，距离问题可分为以下几类：

①       动点到定点的距离等于定长，其实就是作圆（如图1）．

②       动点到定直线的距离等于定长，其实就是作平行线（如图2）．

③       动点到两定平行直线的距离倍差，其实是作平行线（图略）．

④       动点到两相交直线的距离相等，其实就是作角平分线．（如图3）

⑤       动点到三角形三边的距离相等，其实就是三角形的内切圆圆心和旁切圆圆心（如图4）．

二、线段最值问题：

题型一：

已知，，其中，求的最值．如图，以点为圆心，线段为半径作圆， 交直线于点、，当点与点重合时，取到最大值为；当点和点重合时，取到最小值为．

点评：首尾相连线段求最值，其实就是旋转共线，不重则大，重叠则小．

题型二：

在直线上找一点，使得其到直线同侧两点的距离之和最小，如图所示．作点（或）关于直线的对称点，再连接另一点与对称点，与的交点即为点．

题型三：

直线交于，是两直线间的一点，在直线上分别找一点，使得的周长最短．如图所示，作点关于的对称点，连接，与分别交于两点，即为所求．

题型四：

直线交于，是两直线间的两点，从点出发，先到上一点，再从点到上一点，再回到点，求作两点，使最小．如图所示，作两点分别关于直线的对称点，连接分别交于，即为所求．

点评：同侧定点问题通过轴对称转化成异侧定点，才能和直线相交．

题型五：

从点出发，先到直线上的一点，再在上移动一段固定的距离，再到点，求作点使移动的距离最短，如图所示．先将点向右平移到点，使等于的长，作点关于的对称点，连接，与直线的交点即为点，将点向左平移线段的长，即得到点．

题型六：

是位于河两岸的两个村庄，要在这条宽度为的河上垂直建一座桥，使得从村庄经过桥到村庄所走的路程最短．如图所示，将点向垂直于河岸的方向向下平移距离，到点，连接交河岸于点，过点作垂直于河岸，交河岸的另一端为，即为所求．

点评：若有定长，则按着定长的方向平移掉定长．

题型七：

垂线段最短．

【例1】         在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点．

⑴求此抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，求直线的解析式；

⑶在⑵的条件下，求到直线、、距离相等的点的坐标．   （北京中考）

【解析】       ⑴ 由题意可得解得

故抛物线的解析式为：．

⑵ 由可知抛物线的顶点坐标为，故，

由题意可知直线过原点和．

设直线的解析式为，则有解得．

故直线的解析式为．

⑶ 到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个．

由勾股定理可知OB=OC=BC=2，故△OBC为等边三角形，四边形ABCO是菱形，且∠BCO=60°，连接AC交x轴于一点M，易证点M到OB、OC、BC的距离相等． 由点A在∠BCO的平分线上，故它到BC、CO的距离相等均为，同时不难计算出点A到OB的距离为，故点A也算其中一个． 同理，不难想到向左、向下可以分别作与ABCO全等的菱形（如图所示，其中△OBC为新菱形的一半），此时必然存在两个点，使得它到直线OB、OC、BC的距离相等．

此四个点的坐标分别为：，，，．

【例2】         已知抛物线经过点和点．

⑴求此抛物线解析式；

⑵点、分别是轴和轴上的动点，求四边形周长的最小值；

⑶过点作轴的垂线，垂足为点．点从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达点，再沿到达点，若点在对称轴上的运动速度是它在直线上运动速度的倍，试确定点的位置，使得点按照上述要求到达点所用的时间最短．（要求：简述确定点位置的方法，但不要求证明）                                       

（崇文一模）

【解析】       ⑴ 依题意：

解得

∴抛物线的解析式为．

⑵ 点关于轴的对称点的坐标是，

点关于轴的对称点的坐标是．由对称性可知

=

由勾股定理可求，．

所以，四边形周长的最小值是．

⑶ 确定点位置的方法：如图，过点作直线使对称轴与直线成角，

则与对称轴的交点为所求的点．

设对称轴与轴交于点，在中，由，，得．所以点的坐标是．

中考说明：经过分析统计近三年北京模拟题和外地中考题，发现二次函数综合题中涉及面积的题目所占比例极大，其原因大致有两点：一是面积可以通过底和高来限制线段，二是特殊图形面积计算也是中考的考查点．

【例3】         抛物线与轴交于点、（点在点右侧），与轴交于点，若点为第二象限抛物线上一动点，连接、，求四边形面积的最大值，并求此时点的坐标．

【分析】       求三角形面积的问题通常要用割补法或等积变换等方法，本题较特殊，还可利用直线与抛物线相切来寻找面积最大时点的坐标．

【解析】       解法一：过点作轴于点，

设

∴，，

∴

，

∴当时，最大，且最大值为．

此时，点坐标为．

解法二：过作轴交于点，

设坐标为，则，

∴，

由

∴，

当时，取到最大值，此时，．

解法三：过抛物线上一点作平行线，

当直线与抛物线有且只有一个公共点时，取到最大值，此点即为点，

设直线解析式为，

则方程，有两个相等实根，即，

可求，由此可求得方程的根，即可求出点坐标．

【例4】         如图，已知抛物线（b，c是常数，且）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为．

    ⑴       ，点B的横坐标为      （上述结果均用含c的代数式表示）；

    ⑵ 连接BC，过点A作直线，与抛物线交于点E．点D是x       轴上一点，其坐标为，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；

    ⑶ 在⑵的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC                                                          的面积为S．

      ①求S的取值范围；

      ②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有      个．

（2013苏州）

【解析】（1），；

（2）令，得，即点坐标为．

设直线的解析式为．

∵点坐标为，

∴．∵，∴．∴．

∵．∴可设直线的解析式为．

∵点坐标为，

∴．∴．∴．

由．解得，

∴点坐标为．

∵点坐标为，点坐标为，∴直线的解析式为．

∵、、三点在同一直线上，∴，

∴，∴（舍去），．

∴．

∴抛物线的解析式为．

（3）①设点坐标为，

∵点坐标为，点坐标为，点坐标为．

∴，，直线解析式为．

当时，．

∵，∴．

当0时，过点作轴于点，交于点．

∴点坐标为．

∴．

∴．

∴．∴当时，．

∴．

∴综上所述．

②11．

1.【存在问题中的角度---特殊角】

中考说明：单个特殊角一般指、、等，初中阶段主要考察如何利用特殊角度去构造特殊三角形，从而解决相关问题；初高中衔接知识是特殊直线与抛物线的交点.

【例5】         ⑴如图1，在平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，是否存在点使得直线与轴的正半轴的夹角为，若存在，请求出点的坐标；不存在，说明理由．

⑵如图2，在平面直角坐标系中，点为抛物线上一动点，点的坐标为，是否存在点使得直线分别与轴正半轴的夹角为或？若存在，请求出点的坐标；不存在，说明理由．

【解析】       ⑴方法一：如图3，过点作轴于点，

由已知得，为等腰直角三角形.

设点的坐标为，则，

故，则，∴（舍），，

∴点的坐标为．

方法二：∵，

∴直线是第一象限的角平分线，

故直线的解析式为，

点即为抛物线和直线的交点（点除外），

联立方程组，解得（舍），，

故点的坐标为．

⑵如图4，若直线与轴正半轴的夹角为，且直线与轴交于点.

∴为等腰直角三角形，，∴点的坐标为

由待定系数法可求直线的解析式为，联立方程组解得，

∴点的坐标为．

如图5，若直线与轴正半轴的夹角为，且直线与轴交于点.

∴，在中，，∴，∴点的坐标为

由待定系数法可求直线的解析式为，联立方程组

得，，故方程无实数根，故点不存在．

2．【存在问题中的角度---构造角度相等或角度和】

【例6】         在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，将直线沿轴向上平移个单位长度后恰好经过两点．

⑴求直线及抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；

⑶连接，求与两角和的度数．

（北京中考）

【解析】       ⑴ 沿轴向上平移3个单位长度后经过轴上的点，∴．

设直线的解析式为．

∵在直线上，

∴．

解得．

∴直线的解析式为．

抛物线过点，

∴解得

∴抛物线的解析式为．

⑵ 由．

可得．

∴，，，．

可得是等腰直角三角形．

∴，．

如图1，设抛物线对称轴与轴交于点，

∴．

过点作于点．

∴．

可得，．

在与中，，，

∴．

∴，．

解得．

点在抛物线的对称轴上，

∴点的坐标为或．

⑶ 解法一：

如图2，作点关于轴的对称点，则．

连结，

可得，．

由勾股定理可得，．

又，

∴．

∴是等腰直角三角形，，

∴．

∴．

∴．

即与两角和的度数为．

解法二：

如图3，连结．

同解法一可得，．

在中，，，

∴．

在和中，

，，．

∴．

∴．

∴．

，

∴．

即与两角和的度数为．

【总结】当则

【证明】方法1：将上面三个三角形向下翻折，连接

可证：

∴

又∵，

∴是等腰直角三角形

∴，即

∴

【提示】此题中三垂直模型：

方法2:连接AC

∵且

∴△ACD∽△ECA

训练1.             如图所示，在平面直角坐标系中，四边形是直角梯形，，，与轴相交于点，且是的中点，、、三点的坐标分别是，，，连接，并把线段沿方向平移到，若抛物线经过点、、.

⑴求抛物线的解析式

⑵抛物线上是否存在点，使得．若存在，求出点的坐标；若不存在．请说明理由.

⑶设抛物线与轴的另—个交点为.点是抛物线的对称轴上的一个动点，当点在什么位置时有最大？并求出最大值.

（四川广安中考）

【解析】       ⑴ 由题意可得，

∴解得：，∴

⑵ ∵，∴为线段的垂直平分线上，

依题意，线段的垂直平分线经过,,所在的直线为

，解得：或，

∴，

⑶ 为关于对称轴的对称点.

所在的直线，当时，∴，∴

最大值为.

训练2.             如图，抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴交于点，顶点为．为线段的中点，的垂直平分线与轴、轴分别交于、．

⑴求抛物线的函数解析式，并写出顶点的坐标；

⑵在直线上求一点，使的周长最小，并求出最小周长；

⑶若点在轴上方的抛物线上运动，当运动到什么位置时，的面积最大？并求出最大面积． 

【解析】       ⑴ 由题意，得 解得，b =－1．

所以抛物线的解析式为，顶点D的坐标为（－1，）．

⑵ 设抛物线的对称轴与x轴交于点M．

因为EF垂直平分BC，即C关于直线EG的对称点为B，

连接BD交于EF于一点，则这一点为所求点H，

使DH + CH最小，即最小为DH + CH = DH + HB = BD =．

 而 ．

∴△CDH的周长最小值为CD + DR + CH =．

设直线BD的解析式为，则  

解得 ，b1 = 3．所以直线BD的解析式为y =x + 3．

由于BC = 2，，

，得，

所以，．．

同理可求得直线EF的解析式为y =x +．

联立直线BD与EF的方程，解得使△CDH的周长最小的点H（，）．

⑶ 设K（t，），．由题意可确定

过K作x轴的垂线交EF于N．

则

，

所以

= 2KN =－t2－3t + 5 =．

即当时，△EFK的面积最大，最大面积为，此时.

训练3.             如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为．

   ⑴ 求抛物线的函数表达式；

   ⑵ 点在对称轴的右侧，轴上方的抛物线上，且           ，求点的坐标；

   ⑶ 在⑵的条件下，连接，交抛物线对称轴于点，      连接．

      ①判断四边形的形状，并说明理由；

   ②点是的中点，点(与点不重合)是直线        的一个动点，当时，请直接写出线段的长．

（2013沈阳）

【解析】       ⑴ 将、代入得

，∴．

∴．

⑵ 当时，轴，

∵，∴当时，

解得：，．∴．

⑶ ①四边形是平行四边形，

理由如下，抛物线的对称轴是，∴．

∵，∴．又∵，∴四边形是平行四边形．

②或

题型一  存在问题中的距离  巩固练习

【练习1】   在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，直线

交轴于点，且过点．

⑴求抛物线的解析式；

⑵在x轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标；

⑶将抛物线左右平移，记平移后点的对应点为，点的对应点为，当四边形的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形周长的最小值．

（顺义二模）

【解析】       ⑴ 依题意，得

解得

∴抛物线的解析式是．

⑵ 依题意，得 ，．

作点关于轴的对称点，求直线的解析式为，直线与轴的交点即为点．因此，点坐标为．

⑶ 左右平移抛物线，因为线段和均是定值，

所以要使四边形的周长最小，只要使的值最小；

因为，因此将点向右平移个单位得，

作点关于轴的对称点，点的坐标为，

设直线的解析式为，

将点、代入解析式，得

解得

∴直线的解析式为．

∴直线与轴的交点即为点，可求，因此．

所以当四边形的周长最小时，

抛物线的解析式为，即．

∵ ．

∴四边形的周长最小值为．

题型二  存在问题中的面积  巩固练习

【练习2】   如图，正比例函数和反比例函数的图象都经过点，把直线向下平移后， 与反比例函数的图象交于点，与轴、轴分别交于、两点.

⑴求的值；

⑵求过、、 三点的抛物线的解析式；

⑶若点是抛物线上的一个动点，是否存在点，使凸四边形的面积是四边形 面积的?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

（内蒙古乌兰察布中考）

【解析】       ⑴ 设反比例函数的解析式为：，把

代入解析式中求得.

当时，，所以；

点的坐标为.

⑵ 设直线的解析式为，把

代入解析式中求得，则有，

设直线的解析式为，把代入解析式中求得，

则有，

所以、

设抛物线的解析式为，由题意知

解得

所以

⑶ 由求出，四边形面积

=，

四边形的面积

因为初中只研究凸四边形，

经分析点在直线的上方，四边形的面积

则

所以，求出，即点的纵坐标是，

把代人中得出，

所以或.

又因为在直线的上方，

所以.

题型三  存在问题中的角度  巩固练习

【练习3】   如图，点是直线：上的点，过点的另一条直线交抛物线于、两点．

    ⑴ 若直线的解析式为，求，两点的坐标；

    ⑵ ① 若点的坐标为．当时，请直接写出点的坐标；

       ② 试证明：对于直线上任意给定的一点，在抛物线上能找到点，使得       成立．

    ⑶ 设直线交轴于点，若的外心在边上，且，求点的       坐标．

（2013武汉）

【解析】       ⑴ 依题意，得，

解得，，

∴，．

⑵ ①，

②过点，分别作过点且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为点、．

设，，

∵，

∴．

∴，．

∴．

将点坐标代入抛物线，

得．

∵

∴无论为何值时，关于的方程总有两个不等的实数解，

即对于任意给定的点，抛物线上总能找到两个满足条件的点．

⑶ 设直线：交轴于点，

设，，

过，两点分别作，垂直轴于，，

∵的外心在上，

∴．

由，得．

∴．

联立，得．

依题意，得，是方程的两根．

∴．

∴，即．

∵，

∴．

设，过点作轴于，

在中，．

即．

∴（舍去），．

∴．