苏科版中考数学冲刺专项第6讲.第二轮复习之图形运动产生的函数关系 教师版

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动点问题：一般指由于点的运动，引起线段的变化和图形的变化，一般考查线段特殊时或图形特殊时，求动点的位置或运动时间．

【例1】         已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点的坐标为，点是直线上的一动点，直线与轴交于点.问：

⑴ 当点运动到何位置时，直线平分矩形的面积，请简要说明理由，并求出此时直线的函数解析式；

⑵ 当点沿直线移动时，是否存在使与相似的点，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】       ⑴ 连结与交于点，则当点运动到点时，直线平分矩形的面积．

由已知可得此时点的坐标为．

设直线的函数解析式为．

则有　解得，．

所以，直线的函数解析式为：．

⑵ 存在点使得与相似．

不妨设直线与轴的正半轴交于点．

因为，若与相似，则有或．

当时，即，解得．所以点满足条件．

当时，即，解得．所以点满足条件．

由对称性知，点,．

∵过点、的直线与过点、的直线平行，∴舍去.

综上所述，满足使与相似的点有个，分别为、、．

【例2】         如图，是边长为的等边三角形，动点和动点分别从点和点同时出发，沿着逆时针运动，已知动点的速度为，动点的速度为．设动点、动点的运动时间为.

⑴ 当为何值时，两个动点第一次相遇．

⑵ 从出发到第一次相遇这一过程中，当为何值时，点、、为顶点的三角形的面积为．  

【解析】       ⑴ 当为时，两个动点第一次相遇．
⑵ 是边长为的等边三角形，∴，

有种情况：

①如图1，当点在上时，点在上时.

过作于，

，，，∴，

由三角形面积公式得：，

解得：，（舍去）；

②如图2，当点在上时，点在上时.

过作于，

，，∴，

由三角形面积公式得：，

解得：或，

当时，在上，舍去，∴；

③如图3，当点在上时，点在上时.

，，，

，

∴ ，

此方程无解；

∴的值是，.

【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是能进行分类讨论求出的值．此题难度较大．

动直线问题：一般指由于直线的平移，引起图形变化，在运动过程中，考查图形的特殊状态，图形的面积和周长等图形的基本特征．

【例3】        如图，在中，，，．动线段（端点从点开始）沿边以的速度向点运动，当端点到达点时运动停止．过点作交于点（当点与点重合时，与重合），连接，设运动的时间为秒（）．

  ⑴ 直接写出用含的代数式表示线段、的长；

  ⑵ 在这个运动过程中，能否为等腰三角形？  若能，请求出的值；若不能，请说明理由；

  ⑶ 设、分别是、的中点，求整个运动   过程中，所扫过的面积．

【答案】⑴，

．

⑵分三种情况讨论：

①当时，

有，

∴点与点重合，

∴．

②当时，

∴，

解得：．  

③当时，

有，

∴．

∴，即，

解得：． 

综上所述，当、或秒时，为等腰三角形．

⑶设是的中点，连接，

∵，

∴．

∴，∴．

又，∴，

∴．

∴点沿直线运动，也随之平移．

如图，设从位置运动到位置，则四边形是平行四边形．

∵、分别是、的中点，∴，且．

分别过点、作，垂足为，垂足为，延长交于点，则四边形是矩形，

当时，，；

当时，，．

∴．

∴．

∴整个运动过程中，所扫过的面积为．

图形的相对运动问题：一般涉及两类问题，①两个形状固定的图形相对运动，在运动的过程中，求两图形重叠部分的面积．②在运动的过程中，图形的形状随着运动时间在变化，可考查点的重合问题，线的共线问题和图形重叠面积．

【例4】         如图，在中，，，，点在上，，点、同时从点出发，分别沿、以每秒1个单位长度的速度向点、匀速运动，点到达点后立刻以原速度沿向点运动，点运动到点时停止，点也随之停止．在点、运动过程中，以为边作正方形，使它与在线段的同侧．设、运动的时间为秒（，正方形与重叠部分面积为．

  ⑴当时时，正方形的边长是________．当  时，正方形的边   长是________．

  ⑵当时，求与的函数关系式；

  ⑶直接答出：在整个运动过程中，当为何值时，最大？  最大面积是多少？

【解析】  ⑴当时时，则，

∴正方形边长是2；

当时，，，

∴正方形的边长是4；

⑵：①当时，

与的函数关系式是；

⑶时，最大值为

【点评】本题属于大综合题目，主要考查的知识点有一次函数、二次函数、方程组与平移、三角形的面积、三角形的相似等知识点．解决本题的关键是理顺各知识点间的关系，还要善于分解，化整为零，各个击破．

【例5】         如图，在梯形中，，，，，点由出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段由出发沿方向匀速运动，速度为，交于，连接．若设运动时间为．解答下列问题：

⑴ 当为何值时，？

⑵ 设的面积为，求与之间的函数关系式；

⑶ 是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由;

⑷ 连接，在上述运动过程中，五边形的面积是否发生变化？说明理由．

【解析】       ⑴∵∴．而，，

∴，∴．∴当，.

⑵方法一：

∵平行且等于，[来源:学科网]∴四边形是平行四边形．

∴,．

∵，∴．∴．

∴．．∴．

过作，交于，过作，交于．

．

∵，

∴．又，，

，

⑶

若，则有，解得．

⑷在和中，.

∴．

∴在运动过程中，五边形的面积不变．

训练1.     如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，点、的坐标分别为、．点从点出发，沿以每秒个单位的速度运动，到点停止；点在轴上，横坐标为点的横、纵坐标之和．抛物线经过、两点．过点作轴的垂线，垂足为，交抛物线于点．设点的运动时间为（秒），  的面积为（平方单位）．

⑴ 求抛物线对应的函数关系式;

⑵ 分别求和时，点的坐标;

⑶ 当时，求与之间的函数关系式，并直接写出的最大值．

【解析】      ⑴ 由抛物线经过点，，

得解得

∴抛物线对应的函数关系式为：．

⑵ 当时，点坐标为，∴点坐标为．             

      当时，点坐标为，∴点坐标为．

⑶ 当时，．．                                

      当时，．． 

      当时，的最大值为．

训练2.     如图直角梯形和正方形的边、在同一条直线上，，于点，，，，直角梯形的面积与正方形的面积相等，将直角梯形沿向右平行移动，当点与点重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为．

⑴ 求正方形的边长；

⑵ 设直角梯形的顶点向右移动的距离为，求

与的函数关系式；

⑶ 当直角梯形向右移动时，它与正方形的

重叠部分面积能否等于直角梯形面积的一半？

若能，请求出此时运动的距离的值；若不能，请说明理由．

【解析】       ⑴ ．

设正方形边长为，

∴，

∴，（不合题意，舍去），

∴正方形的边长为6．

⑵ ①当时，重叠部分为．

过作于，可得，

∴，，

∴，∴，

∴．

②当时，重叠部分为直角梯形

∴

⑶ 存在．

∵，当时，，

∴，（取正值）．∴此时值不存在．

当时，，

∴，∴．       

综上所述，当时，重叠部分面积等于直角梯形面积的一半．

训练3.     如图，在等腰梯形中，，，，．点从点出发沿折线段以每秒5个单位长的速度向点匀速运动；点从点出发沿线段方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点向上作射线，交折线段于点．点、同时开始运动，当点与点重合时停止运动，点也随之停止．设点、运动的时间是秒（）．

⑴ 当点到达终点时，求的值，并指出此时的长；

⑵ 当点运动到上时，为何值能使？

⑶ 设射线扫过梯形的面积为，分别求出点运动到

、上时，与的函数关系式；（不必写出的取值范围）

⑷ 能否成为直角三角形？若能，写出的取值范围；若不

能，请说明理由．

【解析】       ⑴ （秒）时，点到达终点．

此时，，∴的长为．

⑵ 如图1，若，又，

则四边形为平行四边形，从而，

由，，

得，解得．

经检验，当时，有．

⑶ ①当点在上运动时，如图2．

分别过点、作于点，于点，

则四边形为矩形，且，

从而，于是．

∴．

又，从而．

∴；

②当点在上运动时，如图1．

过点作于点，

由①知，，又，从而．

∴．

⑷ 能成为直角三角形．

当为直角三角形时，的取值范围是且或．

下面是第⑷问的解法，仅供教师参考：

①当点在（包括点）上，即时，如图2．

过点作于点 ，则，

又有，易得四边形为矩形，

此时总能成为直角三角形．

②当点、都在（不包括点但包括点）上，即时，如图1．

由和可知，此时为直角三角形，但点、不能重合，

即，解得．

③当点在上（不包括点但包括点），

即时，由，可知，点在以为直径的圆的外部，故不会是直角．

由，可知一定是锐角．

对于，，只有当点与重合，

即时，，为直角三角形．

综上所述，当为直角三角形时，t的取值范围是且或．

题型一  动点问题 巩固练习

【练习1】   如图，在正方形中，，动点自点出发沿

方向以每秒的速度运动，同时动点自点出发沿折

线以每秒的速度运动，到达点时运动同时

停止，设的面积为，运动时间为，则下列

图象中能大致反映与之间的函数关系的是（   ）

【解析】      B

题型二  动直线问题  巩固练习

【练习2】   某同学从家里出发，骑自行车上学时，速度（米/秒）与时间（秒）的关系如图，                ，，．

⑴ 求该同学骑自行车上学途中的速度与时间

的函数关系式；

⑵ 计算该同学从家到学校的路程（提示：在和

段的运动过程中的平均速度分别等于它们中      点时刻的速度，路程＝平均速度×时间）.

【解析】       ⑴

⑵ （米）

题型三  图形相对运动问题  巩固练习

【练习3】   如图，在中，，，的面积为，点为边上的    任意一点（不与、重合），过点作，交                                          于点．设的长度为，以为折线将翻                                          折，所得的与梯形重叠部分的面积记为．

⑴ 用表示的面积；

⑵ 求出与的函数关系式；

⑶ 当取何值时，的值最大？最大值是多少？

【解析】       ⑴ ∵，∴，，

∴，

∴，即

⑵ ∵，∴边所对的三角形的中位线长为，

∴当 时 ．

当时，点落在三角形的外部，其重叠部分为梯形．

∵，∴边上的高．

由已知求得，∴，

由知，

.

∴．

⑶ 在函数中，

∵，∴当时最大为．

在函数中，当时，最大为．

∵，∴当时，最大为．