苏科版中考数学冲刺专项第8讲.第二轮复习之几何三大变换 教师版

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`   【例1】         如图所示，是等边三角形，的边、、交各边分别于、、、、、．已知，且，求证：． 【解析】      要证，只需证明，而已知，但、、并不是一个三角形的三条边，不妨设法平移线段、、成为一个三角形．如图所示，过作的平行线交过所作的的平行线于点，可知是平行四边形．故，．又因为，所以是等边三角形．从而，故，且．因此是平行四边形，则，且．因为，则，由勾股定理的逆定理可得．由于，即；，即，故，即． 【例2】 在中，，，，点、、分别为、、    上的动点，求的最小周长．【解析】      当点固定时，分别作点关于、的对称线段、，应用上面结论可得，　　　∵，∴是等腰直角三角形，，故，当最小时，即为的高，且、、、四点共线，的周长最小为．求高如图所示．最小周长为．（此三角形即为著名的垂足三角形） 【例3】 如图，已知，且．求证：是等腰三     角形．【解析】      延长到，使得，连接．∵，∴，即．∵，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．
【例4】 在平面直角坐标系xOy中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B．    （1）求∠BAO的度数；    （2）如图1，P为线段AB上一点，在AP上方以AP为斜边作等腰直角三角形APD．点                                           Q在AD上，连结PQ，过作射线PF⊥PQ交x轴于点F，作PG⊥x轴于点G．   求证：PF＝PQ ；   （3）如图2，E为线段AB上一点，在AE上方以AE为斜边作等腰直角三角形AED．若                P为线段EB的中点，连接PD、PO，猜想线段PD、PO有怎样的关系？并说明理由． 【解析】（1）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B．∴A（－6，0），B（0，6）．∴OA=OB．∴在△AOB中，．∴． （2）在等腰直角三角形APD中，，DA=DP，．∴DP⊥AD于D．由（1）可得．∴．又∵PG⊥x轴于G，∴PG = PD． ∴．∴．∴．即．又∵PQ⊥PF，∴． ∴． 在△PGF和△PDQ中，∴△PGF≌△PDQ(ASA)．∴PF=PQ． （3）答：OP⊥DP，OP＝DP．证明：延长DP至H，使得PH=PD．∵P为BE的中点，∴PB=PE．在△PBH和△PED中，∴△PBH≌△PED（SAS）．∴BH=ED． ∴．∴BH∥ED．在等腰直角三角形ADE中，AD=ED，．∴AD=BH，.∴DE∥x轴，BH∥x轴， BH⊥y轴．∴．由（1）可得 OA=OB．在△DAO和△HBO中， ∴△DAO≌△HBO（SAS）．∴OD=OH，∠5=∠6． ∵,∴. ∴在等腰直角三角形△DOH中，∵DP=HP，∴OP⊥DP，.∴．∴OP=PD． 【例5】 某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：●操作发现：在等腰中，，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图1所示，其中于点，于点，是的中点，连接和，则下列结论正确的是              （填序号即可）．①；②；③整个图形是轴对称图形；④．●数学思考：在任意中，分别以和为斜边，向的外侧作等腰直角三角形，如图2所示，是的中点，连接和，则与具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●类比探究：在任意中，仍分别以和为斜边，向的内侧作等腰直角三角形，如图3所示，是的中点，连接和，试判断的形状．答：                    ．(2013江西)【解析】       ●操作发现：①②③④●数学思考：答：，，先证；如图2，分别取、的中点、，连接，，，，∵是的中点，∴，．∴，同理可证，∵，同理可得，∴，又∵，∴．同理可得，∴，即，又，，∴（SAS），∴，再证：证法一：∵，∴，即．又∵，∴，∴，其中∴．即；证法二：如图2，与交于点，∵，∴，又∵，即．∵，又∵，∴，∴，即；●类比探究答：等腰直角三角形．（评分说明：仅答等腰三角形或仅答直角三角形的不得分） 
【例6】         在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．      【解析】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴, BC=． ∵BD平分∠ABC，∴. ∴DA=DB．  ∵DE⊥AB于点E．∴AE=BE=．∴BC=BE. ∴△BCE是等边三角形. （2）结论：AD = DG＋DM． （3）结论：AD = DG－DN．理由如下：延长BD至H，使得DH＝DN . 由（1）得DA=DB，．∵DE⊥AB于点E．∴．∴．∴△NDH是等边三角形． ∴NH=ND，． ∴．∵,∴.即.在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG=HB. ∵HB=HD＋DB=ND＋AD,∴DG= ND＋AD.∴AD = DG－ND.  训练1.     如图，在中，，点在上，且，在上，且，与相交于．求证：． 【分析】      由45°角想到等腰直角三角形，所以平移使其过点或点，或者平移使其过点或点，将离散的线段集中在特殊三角形中，就能解决问题．【解析】      方法一：如图1，分别过、作、的平行线相交于点，连结，可得到弦图模型的全等、平行四边形以及等腰直角三角形，从而可证方法二：如图2，分别过点、点作平行线，可得、平行四边形、等腰直角三角形．方法三四：如图3，4，分别过、点作平行线．   训练2.     如图所示，在四边形中，，，求证：(1) ；(2) .     【解析】(1) 以为对称轴将翻折到的位置，则由可知在上，且，.将平移到的位置，则由可知在的延长线上，且，，因此是一个等腰梯形，所以，于是.(2) 由(1)可得，即，而由及勾股定理可得，故. 训练3.      ⑴ 如图，是等边内一点，若，，，求的度数．⑵ 如图，是等边外一点，若，，，求的度数．⑶ 如图所示，是等边内部一点，，，，求的边长．【解析】      只要学过勾股定理的同学，看到，， 都会想到直角三角形．我们用旋转变换把三条边集中到同一个三角形中．⑴ 如图，过点作，，连接，．（等于将沿点逆时针旋转）．，，，．∴，，⑵ 以为边向四边形的外面作正，则，，∴，，，∴，．⑶ 将绕点逆时针旋转，得到．连接，则，，，，故是等边三角形，从而，．在中，，，，故，．过点作，交的延长线于点，则，，．因此，在中，．
题型一  平移变换 巩固练习【练习1】   ⑴ 如图，三角形的底边长厘米，边上的高是厘米，将该三角形以每秒厘米的速度沿高的方向向上平行移动秒，这时，该三角形扫过的面积（阴影部分）．⑵ 如图，线段沿着四个方向①②③④都平移个单位长度，线段扫过的面积最大的是           ．（填序号）【解析】       ⑴ 三角形扫过面积相当于矩形的面积，当然也可直接计 算为平方厘米．⑵ ③． 题型二  轴对称变换  巩固练习 【练习2】   如图所示，已知中，，，，，，分别是三    边，，上的点，则的最小值为（　　）A．      B．      C．       D．【解析】      如图所示，的最小值为，且当时，去最小值，故选B．题型三  旋转变换  巩固练习【练习3】   、是等腰斜边所在直线上的两点，满足；求证：    ．【解析】      将绕点逆时针旋转得到，证明与全等即可．