2021-2022学年湖南省高一下学期3月联考数学试题含解析

这是一份2021-2022学年湖南省高一下学期3月联考数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖南省高一下学期3月联考数学试题一、单选题1．若集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由交集的运算直接求解即可.【详解】因为，所以.故选：A2．“”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合向量相等与其模相等的意义直接判断作答.【详解】当时，因向量，的方向不一定相同，则与不一定相等，当时，必有，所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B3．已知，，且，，三点共线，则（       ）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【分析】由三点共线直接建立方程求解.【详解】因为，，三点共线，所以，解得.故选：C4．下列各式的结果一定为零向量的是（       ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据向量的加减运算化简后可判断.【详解】对于A，不一定为零向量，不选A；对于B，，满足题意；对于C，，不一定为零向量, 不选C；对于D，，不一定为零向量，不选D.故选：B5．已知，且，则的最大值为（       ）A．2 B．5 C． D．【答案】D【分析】直接由基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立.所以的最大值为.故选：D6．如图，在菱形中，，为的中点，若，且，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用表示，再借助垂直的向量表示，列式计算作答.【详解】设菱形的边长为，为的中点，则，又，则，因，则，由得：，解得，所以.故选：A7．某生态公园有一块圆心角为的扇形土地，打算种植花草供游人欣赏，如图所示，其半径米.若要在弧上找一点，沿线段和铺设一条观光道路，则四边形面积的最大值为（       ）A．2500平方米 B．平方米 C．5000平方米 D．平方米【答案】C【分析】将四边形的面积分成两个三角形的面积之和，再运用三角形的面积公式及辅助角公式可求解.【详解】连接，，当时，等号成立.所以四边形面积的最大值为.故选：C8．已知函数只有一个零点，则（       ）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】令函数，可得为偶函数，且可知函数的图象关于直线对称，依题意有可求解.【详解】令函数.因为，所以为偶函数，即为偶函数，函数向右平移2个单位得，所以函数的图象关于直线对称.若只有一个零点，则，解得.故选：D二、多选题9．在中，，，，则的值可能为（       ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】先由正弦定理求得，再分两种情况讨论即可.【详解】由正弦定理可得，解得，所以或，故或，经检验这两种情况都成立.故选：AC10．已知、、均为非零向量，下列命题错误的是（       ）A．， B．可能成立C．若，则 D．若，则或【答案】ACD【分析】利用平面向量积的定义可判断A选项；利用特例法可判断BCD选项.【详解】仍是向量，不是向量，A错；不妨取，，，则，，此时，B对；若，，，则，但，C错；若，，则，但，，D错.故选：ACD.11．在中，内角，，的对边分别为，，，且（       ）A．若，，则B．若，，则的面积为C．若，则的最大值为D．若，则周长的取值范围为【答案】ACD【分析】由正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、三角形三边关系及基本不等式可求解.【详解】因为，所以.对于A，B，若，则，，解得，的面积，A正确，B错误.对于C，若，则，，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，C正确.对于D，若，则根据三边关系可得即解得，则，的周长为，故周长的取值范围为，D正确.故选：ACD12．已知函数，则（       ）A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称C．在上单调递减 D．的值域为【答案】BCD【分析】先化简，再根据正切函数的性质判断各个选项，可得答案.【详解】.因为函数的最小正周期为，且，所以的最小正周期为，A错误.令，解得，，故的定义域为（）.因为，，所以，的图象关于直线对称，B正确.当，时，函数单调递减，所以在（）上单调递减，C正确.因为函数在（）上的值域为，所以的值域为，D正确.故选：BCD三、填空题13．在中，已知，，，则______.【答案】【分析】根据给定条件，利用余弦定理直接计算作答.【详解】在中，已知，，，由余弦定理得：，所以.故答案为：14．已知向量，的夹角为，且，则向量与的夹角为______.【答案】【分析】由向量的夹角为，且，求出，再根据向量的夹角公式求出向量与的夹角．【详解】向量的夹角为，且，，，，，向量与的夹角为，故答案为：．15．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则外接圆的面积为______.【答案】【分析】先求出，再由正弦定理即可求出外接圆半径，进而求出面积.【详解】因为，所以，，因为，所以，所以，.所以，因为，所以，.故答案为：16．飞镖运动于十五世纪兴起于英格兰，二十世纪初，成为酒吧常见的日常休闲活动.某热爱飞镖的小朋友用制片折出如图所示的十字飞镖，该十字飞镖由四个全等的三角形和一个正方形组成.在中，，，，边上有4个不同的点，，，，且.记（），则______.【答案】96【分析】延长交于点，利用三角形等面积法及平行线间的距离求出，根据向量数量积运算求出即可得解.【详解】延长交于点，如图，因为，所以.在中，，.设边上的高为，，解得，即，，故.故答案为：96四、解答题17．如图，在中，，.(1)，求的值；(2)若，，试用，表示.【答案】(1)(2)【分析】(1)在中运用向量的加法与相反向量及数乘关系可求解；(2)，，两式相减化简整理可得答案.【详解】(1)，所以，，故.(2)因为，，所以，故.18．在①，②两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解该问题.问题：在中，内角，，的对边分别为，，，且______，，，若在边上存在点，使得，求的长.【答案】选择条件见解析，.【分析】若选择条件①,由勾股定理可得，再由余弦定理可求解；若选择条件②，由正弦定理及余弦定理可求解.【详解】选择条件①由，可得.因为，所以，则.因为，所以，，.因为，所以.在中，由余弦定理：.选择条件②由，可得.因为,所以，所以.因为，所以.因为，则，，.因为，所以.在中，.19．已知函数.(1)当时，求的值域；(2)若有最大值16，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由复合函数的单调性可判断函数的单调性，进而得解；（2）分析函数的单调性，将已知转化为的最大值为4，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】(1)当时，.因为在R上单调递增，且，可得，所以，故的值域为.(2)令，因为函数在其定义域内单调递增，所以要使函数有最大值16，则的最大值为4，故解得.故的值为.20．如图，在海岸边点的观测站发现南偏西30°方向上，距离点20海里的处有一艘走私船，立刻通知了停在的正东方向上，且距离点海里的处的缉私艇，缉私艇立刻奉命以海里/时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/时的速度从处沿南偏东15°方向逃窜. (1)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多远，在缉私艇的什么方向？(2)缉私艇至少需要多长时间追上走私船？【答案】(1)海里，西南方向(2)小时【分析】（1）在三角形中分别利用余弦定理、正弦定理求解即可；（2）作出图形，设小时后缉私艇在处追上走私船，利用正弦定理求出即可求解.【详解】(1)由题意可知，，.在中，由余弦定理可得.由正弦定理得，解得，所以.故刚发现走私船时，走私船距缉私艇海里，在缉私艇的西南方向上.(2)如图，设小时后缉私艇在处追上走私船，则，..在中，由正弦定理得，解得，则，所以是等腰三角形.，即.故缉私艇至少需要小时追上走私船.21．如图，在中，，.(1)若点为线段上一动点，求的最小值；(2)若点满足，直线与交于点，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立平面直角坐标系，将向量的数量积代数化，运用二次函数求最小值；（2）设，因为，，三点共线，所以，从而可得，再求模比即可.【详解】(1)如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系 ，则，，. 设（），，..故当时，取得最小值，且最小值为.(2)设，因为，，三点共线，所以.设，，所以解得所以.所以，，所以，，所以.故.22．已知函数.(1)求的值域；(2)讨论函数在上的零点个数.【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）运用二倍角公式、辅助角公式化简函数表达式后可求解；（2）先换元，再运用数形结合思想分类讨论可得答案.【详解】(1)，故的值域为.(2)令，则，在上的零点个数等于函数的图象与直线的交点个数.当时，，当时，，所以的图象如图所示，.当，即时，的图象与直线的交点个数为3，故在上的零点个数为3.当，即或，的图象与直线的交点个数为4，故在上的零点个数为4.当.即，的图象与直线的交点个数为2，故在上的零点个数为2.当，即或时，的图象与直线没有交点，故在上的零点个数为0.综上，当时，在上的零点个数为3；当或时，在上的零点个数为4；当时，在上的零点个数为2；或时，在上的零点个数为0.