苏科版中考数学冲刺专项第10讲.点睛之一模考前知识梳理与易错题赏析 教师版

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`   【例1】         ⑴已知抛物线过和点，与轴交于点，且，则这条抛物线的解析式为_________________________________． ⑵如图所示，在梯形中，，，    ，，点是线段上一定点，且．动点从点出发沿的路线运动，运动到点停止．在点的运动过程中，使为等腰三角形的点有______个．                 ⑶已知四边形中，，，，且是      一个直角三角形，那么的长等于__________________． ⑷当为何值时，方程和方程有公共根？并求出公共根．【解析】       ⑴或⑵         ⑶或⑷令两方程的公共根是，则，两式相减得，①若，即，两个方程都是，则公共根是；②若，即，则，此时．综上所述，时，公共根是；时，公共根是． 一、        旋转精选题【例2】         ⑴（2012四川绵阳）如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则P′A：PB=（   ）A．1：     B．1：2     C．：2     D．1：【答案】B.【解析】       如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP=BP′，∠ABP+∠ABP′=90°又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′在△ABP和△CBP′中，∵ BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC ，∴△ABP≌△CBP′（SAS）∴AP=P′C∵P′A：P′C=1：3，∴P′C=AP=3P′A连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形.∴∠BP′P=45°，PP′=PB∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°-45°=90°，∴△APP′是直角三角形.设P′A=x，则AP=3x，在Rt△APP′中，在Rt△APP′中，∴，解得PB=2x∴P′A：PB=x：2x=1：2⑵(2012广西)如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG的顶点F的坐标为(4，2)，将矩               形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上，得到矩形OMNP，OM与GF相交                                          于点A．若经过点A的反比例函数的图象交EF于点B，则点B的坐标                                                        为          .【答案】（4，）【解析】       ∵矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，∴∠P=∠POM=∠OGF=90°,∵∴△OGA∽△NPO∵E点坐标为（4，0），G点坐标为（0，2），∴OE=4，OG=2∴OP=OG=2，PN=GF=OE=4∵△OGA∽△NPO，∴OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2∴GA=1  ∴A点坐标为（1，2）把A（1，2）代入得k=1×2=2∴过点A的反比例函数解析式为把x=4代入得∴B点坐标为（4，） 
⑶（2012广东佛山）如图，把一个斜边长为2且含有30°的直角三角板ABC绕直角顶                                           点C顺时针旋转90°到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是                                                                                    （    ） A．π        B．      C．     D．【答案】D【解析】       因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和△ACD 计算即可：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC=AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。∴∴设点B扫过的路线与AB的交点为D，连接CD，∵BC=DC，∴△BCD是等边三角形。∴BD=CD=1.∴点D是AB的中点。∴∴△ABC扫过的面积= ⑷（2012江西南昌）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF                                                          绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是　    　．【答案】15°或165°【解析】       正三角形AEF可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解： ①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，∵正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，∴AB=AD，AE=AF∵当BE=DF时，在△ABE和△ADF中，AB=AD，BE=DF，AE=AF，∴△ABE≌△ADF（SSS）∴∠BAE=∠FAD∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=30° ∴∠BAE=∠FAD=15°②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转小于180°时，如图2，同上可得△ABE≌△ADF（SSS）∴∠BAE=∠FAD∵∠EAF=60°，∴∠BAF=∠DAE∵90°＋60°＋∠BAF＋∠DAE=360°，∴∠BAF=∠DAE=105°∴∠BAE=∠FAD=165°③当正三角形AEF在正方形ABCD的外部，顺时针旋转大于180°  时，如图3，同上可得△ABE≌△ADF（SSS）∴∠BAE=∠FAD∵∠EAF=60°，∠BAD=90°，∴90°＋∠DAE=60°＋∠DAE，不成立∴此时不存在BE=DF的情况综上所述，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是15°或165°二、圆与勾股定理精选题【例3】         ⑴已知是一个半径为的圆内接四边形，，，分别延长和，它们相交于，且，．则等于（   ）．       A．10   B．  C．  D．14【答案】B.【解析】       显然，首先可以求出长度，由切割线定理得，有，解得．如图，连接，在三角形中，由，，得，从而是圆的直径．在直角三角形中由勾股定理，得：，从而． ⑵如图，圆O在矩形内ABCD，且与AB、BC边都相切，E是BC上一点，将△DCE延DE对折，点C的对称点F恰好落在圆O上，已知AB=20，BC=25，CE=10，则圆O的半径为           。【答案】5【解析】       过点F作AD、BC的垂线GH，由△DGF∽△FHE得：于是：DG=HC=16，GF=12，FH=8，设圆O的半径为r,在△FON中由勾股定理得：解得：r=5 ⑶(2012江苏无锡)如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长(     )　    A．等于4      B． 等于4 C．等于6      D．随P点【答案】C【解析】       连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，∴OA=4+5=9，OB=5﹣4=1∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA∴，即，即r2﹣x2=9由垂径定理得：OE=OF，由勾股定理得：OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9 ∴OE=OF=3，∴EF=2OE=6 ⑷（2013上海）如图，在中，，，，如果将沿直线   翻折后，点落在边的中点处，直线与边交于点，那么的长为__________．【答案】【解析】       勾股定理：    解得   
（浙江杭州）已知点在函数的图象上，那么点应在第________象限．【答案】        二（山东淄博）如图，梯形中，和的平分线相交于梯形中位线上的一点，若，则梯形的周长为______．【答案】         （山东济南）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，若规定一下三种变换：①．如，；②．如，；③．如，．按照以上变换有：，那么__________．【答案】        （湖北孝感）关于的方程的解是正数，则的取值范围是_______________．【答案】        且 （广西崇左）一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_______________．【答案】         （湖北鄂州）已知直角梯形中，，，，，点在上移动，则当取最小值时，中边上的高为_____________．【答案】         （广西桂林）如图，正方形的边长为，将长为的线段的两端放在正方形的相邻两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按滑动到停止，同时点从点出发，沿图中所示方向按滑动到停止．在这个过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为__________．【答案】         （四川遂宁）已知整数满足，，，对任意一个，都取中的较小值，则的最大值是________．【答案】         （黑龙江哈尔滨）正方形的边长为，为边上一点，，为线段上一点，射线交正方形的一边于点，且，则的长为______________．【答案】        或 （辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，已知点和点，点在坐标平面内，若以为顶点构成的三角形是等腰三角形，且底角为，则满足条件的点有_____个．【答案】         将一正方体纸盒沿下图所示的线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（    ）      【答案】        B． （浙江衢州）汶川大地震牵动每个人的心，一方有难，八方支援，5位衢州籍在外打工人员也捐款献爱心．已知5人平均捐款560元（每人捐款数额均为百元的整数倍），捐款数额最少的也捐了200元，最多的（只有1人）捐了800元，其中一人捐600元，600元恰好是5人捐款数额的中位数，那么其余两人的捐款数额分别是___________．【答案】        500，700或600，600．   （浙江温州）如图，点在射线上，点在射线上，且，．若，的面积分别为，则图中三个阴影三角形面积之和为_____________．【答案】        10.5．  （浙江杭州）如图，大圆的半径是小圆的直径，且有垂直于的直径．的切线交的延长线于点，切点为．已知的半径为，则__________，____________． 【答案】        ． （浙江杭州）如图，一个的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是__________________．【答案】        4，7，9，12，15． （上海）在中，．如果得半径为，且经过点，那么线段的长等于____________．【答案】        3或5． （山东泰安）若等腰梯形的上、下底之和为4，并且两条对角线所夹锐角为，则该等腰梯形的面积为______________． 【答案】        或． （山东烟台）红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为的红丝带交叉成角重叠在一起，则重叠四边形的面积为__________． 【答案】        ． （江苏宿迁）用边长为1的正方形覆盖的正方形网格，最多覆盖边长为的正方形网格（覆盖小正方形内部一部分才算覆盖）的个数是____________． 【答案】        ．（湖北荆州）关于的方程两实数根之和为，且满足，关于的不等式组有实数解，则的取值范围是____________． 【答案】        ． （辽宁沈阳）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点到直线的距离为，且是直角三角形，则满足条件的点有_________个． 【答案】        ． （江苏南京）如图，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是．为了监控整个展厅，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台． 【答案】        ． （湖北黄石）若实数满足，则的最小值是___________． 【答案】        ． （湖北武汉）已知菱形的边长是，点在直线上，，连接与对角线相交于点，则的值是______________． 【答案】        或 如图，将矩形纸的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若，则边的长是_________． 【答案】        ．【练习1】   （浙江台州中考）定义：在四边形内，到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边 距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图1，，，则点就是四边              形的准内点． ⑴ 如图2，与的角平分线，相交于点．求证：点是四边形的准内点．⑵ 分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）⑶ 判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”．① 任意凸四边形一定存在准内点．（   ）② 任意凸四边形一定只有一个准内点．（   ）【解析】       ⑴ 如图2，过点作，，，，∵平分， ∴．同理．∴是四边形的准内点．⑵ 平行四边形对角线，的交点就是准内点，如图3⑴ .或者取平行四边形两对边中点连线的交点就是准内点，如图3⑵；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点就是准内点．如图4.⑶ 真；真．   【练习2】   （石景山二模）研究发现，二次函数图象上任何一点到定点和 到定直线的距离相等.我们把定点叫做抛物线的焦点，定直线                            叫做抛物线的准线.⑴ 写出函数图象的焦点坐标和准线方程；⑵ 等边三角形的三个顶点都在二次函数图象上，为坐标原点，求等边三     角形的边长；若正方形三个顶点、、都在二次函数图象上，                                                                      为坐标原点，在轴上，直接写出正方形对角线的长____________；⑶ 为抛物线上的一个动点，为抛物线的焦点，为定点，求的最小值.【解析】       ⑴ 焦点坐标为，准线方程是；  ⑵ 设等边的边长为，则，， 故点的坐标为． 把点坐标代入函数，得，解得（舍去），或．      ∴ 等边三角形的边长为，正方形对角线的长为8．     ⑶ 如图，过作准线的垂线，垂足为，．过作准线的垂线，垂足为，当运动到与抛物线交点位置时，最小，最小值为．   【练习3】   直线与轴交于点，点的横、纵坐标是方程的两个根，  点在轴上，若是直角三角形，求点的坐标．【解析】       ∵的两根分别是，∴点坐标为或，由题意可知，点坐标为，①当，时，  ，，，；②当，时，  ，，，．