2021学年7 二次根式学案

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     二次根式—知识讲解（提高）                                【学习目标】1、理解二次根式及最简二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论： ≥0，（≥0），（≥0），（≥0），并利用它们进行计算和化简．【要点梳理】要点一、二次根式的概念一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．要点诠释：
　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.要点二、二次根式的性质
1.≥0，（≥0）；
2. （≥0）；
3..4.积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即（≥0，≥0）.5.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即（≥0，>0）.
要点诠释：
（1）二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即.（2）与要注意区别与联系：①的取值范围不同，中≥0，中为任意值。②≥0时，==；<0时，无意义，=.要点三、最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.   满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式. 【典型例题】类型一、二次根式的概念 1．当x是__________时，+在实数范围内有意义？【答案】 x≥-且x≠-1【解析】依题意，得
　　 　　由①得：x≥-
　　 　　由②得：x≠-1
　　　　 当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义.【总结升华】本题综合考查了二次根式和分式的概念.举一反三：
【变式】方程，当时，的取值范围是（  ）A．    B.≥2     C.    D.≤2【答案】C. 类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x的取值范围：
　　(1)；   (2).
【答案与解析】(1)
　　　      　(2) 【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三：【变式】（2020春•铁东区校级月考）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==； （2）==．3. （2020春•江津区校级月考）我们可以计算出①=2　=；=3而且还可以计算=2==3（1）根据计算的结果，可以得到：①当a＞0时=　a　；②当a＜0时=　 　．（2）应用所得的结论解决：如图，已知a，b在数轴上的位置，化简﹣﹣．【思路点拨】（1）直接利用a的取值范围化简求出答案；（2）利用a，b的取值范围，进而化简二次根式即可．【答案与解析】解：（1）由题意可得：①当a＞0时=a；②当a＜0时=﹣a；故答案为：a，﹣a； （2）如图所示：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，则﹣﹣=﹣a﹣b+（a+b）=0．【总结升华】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及实数与数轴，正确化简二次根式是解题关键．类型三、最简二次根式4.化简：【思路点拨】此类题型为规律题型，应该是在分母有理化的基础上寻找规律.【答案与解析】原式=              ===2【总结升华】找出规律，是这一类型题的特点，要总结此类题型并加以记忆. 举一反三：【变式】若的整数部分是，小数部分是，求的值.【答案】又因为整数部分是，小数部分是      则=13，==