初中数学北师大版八年级上册第二章 实数6 实数学案

《实数和二次根式》全章复习与巩固（基础）

【学习目标】

1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.

2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.

5.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.

6.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.

7.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、平方根和立方根

要点二、无理数与实数

有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类

实数

要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．

 （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；

②有特殊意义的数，如π；        

③有特定结构的数，如0.1010010001…

　 （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.

2.实数与数轴上的点一 一对应

数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.

3.实数的三个非负性及性质
　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
　  （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；
　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；
　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ().
　　非负数具有以下性质：
　　（1）非负数有最小值零；
　　（2）有限个非负数之和仍是非负数；
　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.

4.实数的运算

数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.

5.实数的大小的比较
　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.

　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数          大；

法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；

　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.

要点三、二次根式的相关概念和性质

1. 二次根式

形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.

要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.

2.二次根式的性质

（1）；
（2）；
（3）.

要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 （），如（）.

（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.

（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.

（4）与的异同

不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；

=，=（）.

相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.

3. 最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.

要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.

4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.

要点四、二次根式的运算

1. 乘除法

（1）乘除法法则：

要点诠释：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.

（2）被开方数一定是非负数（在分母上时只能为正数）.

如.

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.

要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.

【典型例题】

类型一、有关方根的问题 

1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（　　　）

A.2个         B.3 个       C.4 个      D.5个

【答案】B；

【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1.

【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键.

举一反三：

【变式】下列运算正确的是（    ）  

A．    B．    C．    D．

【答案】C；

2、（2020春•桃园县校级期末）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．

【思路点拨】先运用立方根和平方根的定义求出x与y的值，再求出x2+y2的平方根．

【答案与解析】

解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，

∴x﹣2=22，2x+y+7=27，

解得x=6，y=8，

∴x2+y2=62+82=100，

∴x2+y2的平方根是±10．

【总结升华】本题主要考查了立方根和平方根，解题的关键是正确求出x与y的值．

类型二、与实数有关的问题

3、把下列各数填入相应的集合：

－1、、π、－3.14、、、、．

（1）有理数集合｛            ｝；

（2）无理数集合｛            ｝；

（3）正实数集合｛            ｝；

（4）负实数集合｛            ｝．

【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里.

【答案与解析】

（1）有理数集合｛－1、－3.14、、  ……｝；

（2）无理数集合｛ 、π、、 ……｝；

（3）正实数集合｛ 、π、、、 ……｝；

（4）负实数集合｛ －1、－3.14、 ……｝．

【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式.

4、计算（1） （2）

（3）

【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算.

【答案与解析】

解：（1）＝

   （2）＝

 （3）＝.

【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根.

举一反三：

【变式】计算(1)

(2)

【答案】

解：(1)

     (2)

     .

5、若，化简

【思路点拨】由判断＞0，再判断绝对值里的数的正负，由绝对值的定义去掉绝对值.

【答案与解析】

解：∵，

∴＞0，

∴

∴

【总结升华】含绝对值号的代数式的化简是重点也是难点.分类的标准应按正实数,负实数,零分类考虑.掌握好分类标准,不断加强分类讨论的意识.

举一反三：

【变式】实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示：

化简＋∣－∣＝         .

【答案】

解：∵＜0＜,

∴－＜0

∴＋∣－∣＝－－(－)＝－2.

类型三、二次根式概念与运算

6、（2020•阳泉模拟）已知5+与5﹣的小数部分分别是a和b，求（a+b）（a﹣b）的值．

【思路点拨】先估算出的大小，然后用含的式子表示出a、b最后代入计算即可．

【答案与解析】

解：∵2＜＜3，

∴7＜5+＜8，2＜5﹣＜3，

∴a=5+﹣7=﹣2，b=5﹣﹣2=3﹣

∴原式=（﹣2+3﹣）（﹣2﹣3+）=1×（2﹣5）=2﹣5．

【总结升华】本题属于实数与二次根式的综合，既要有估算无理数的能力，又要达到能够准确进行二次根式的运算．

举一反三

7、化简.

【答案与解析】

【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.

 8、已知的值.

【答案与解析】

【总结升华】 化简求值时要注意的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.

举一反三

【变式】已知=-3, =1,求的值.

【答案】

解：∵=-3,=1，∴,

.