北师大版八年级上册2 一次函数与正比例函数学案设计

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正比例函数（基础）【学习目标】1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数的图象；2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．【要点梳理】要点一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.2、正比例函数的等价形式（1）、是的正比例函数；（2）、（为常数且≠0）；（3）、若与成正比例；（4）、（为常数且≠0）.要点二、正比例函数的图象与性质正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.当＞0时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，即随着的增大也增大；当＜0时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，即随着的增大反而减小.要点三、待定系数法求正比例函数的解析式由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.【典型例题】类型一、正比例函数的定义 1、已知，当为何值时，是的正比例函数？【思路点拨】正比例函数的一般式为，要特别注意定义满足，的指数为1．【答案与解析】解：由题意得，  解得  ＝2    ∴当＝2时，是的一次函数.【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）不等于零；（2）的指数是1.举一反三：【变式】如果函数是正比例函数，那么的值是________．【答案】解：由定义得 解得   ∴ ＝2．类型二、正比函数的图象和性质2、（2020秋•灵武市校级期中）在同一直角坐标系上画出函数y=2x，y=﹣x，y=﹣0.6x的图象．【思路点拨】分别在每个函数图象上找出两点，画出图象，根据函数图象的特点进行解答即可．【答案与解析】解：列表：描点，连线：【总结升华】本题考查的是用描点法画函数的图象，具体步骤是列表、描点、连线.3、（2020春•马山县期末）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（﹣6，2），那么函数值y随自变量x的值的增大而　    　．（填“增大”或“减小”）【思路点拨】根据正比例函数的性质来判断.【答案】减小；【解析】解：把点（﹣6，2）代入y=kx，得到：2=﹣6k，解得k=﹣＜0，则函数值y随自变量x的值的增大而减小.【总结升华】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是确定函数中k的值，当＞0时，随着的增大也增大；当＜0时，随着的增大反而减小.举一反三：【变式】（2020•伊宁市校级一模）下列关于正比例函数y=﹣5x的说法中，正确的是（　　）　 A．当x=1时，y=5　 B．它的图象是一条经过原点的直线　 C．y随x的增大而增大　 D．它的图象经过第一、三象限【答案】B；解：A、当x=1时，y=﹣5，错误；B、正比例函数的图象是一条经过原点的直线，正确；C、根据k＜0，得图象经过二、四象限，y随x的增大而减小，错误；D、图象经过二四象限，错误；故选B． 4、如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数、、、 的图象分别为、、、，则下列关系中正确的是（　　）A．＜＜＜                             B．＜＜＜C．＜＜＜                             D．＜＜＜【答案】B；【解析】首先根据直线经过的象限，知：＜0，＜0，＞0，＞0，再根据直线越陡，||越大，知：＞||，||＜||．则＜＜＜【总结升华】此题主要考查了正比例函数图象的性质，首先根据直线经过的象限判断的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.类型三、正比函数应用5、如图所示，射线、分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛中所走路程与时间的函数关系，则他们行进的速度关系是（    ）．A．甲比乙快    B．乙比甲快    C．甲、乙同速    D．不一定【思路点拨】观察图象，在t相同的情况下，有，故易判断甲乙的速度大小．【答案】A；【解析】由知，，观察图象，在相同的情况下，有，故有．【总结升华】此问题中，、对应的解析式中，的绝对值越大，速度越快．举一反三：【变式】如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的函数图象，图中和分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快（    ）A.2.5米        B.2米       C.1.5米       D.1米【答案】C；提示：从图中可以看出甲用了8秒钟跑了64米，速度是8米/秒，乙用了8秒钟跑了52米，速度是米/秒，所以快者的速度比慢者的速度每秒快1.5米.