初中数学第三章 整式及其加减综合与测试课时训练

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1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.
2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的联系.
3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律.
4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念；
5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整式的加减运算、求值；
6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、代数式
诸如：16n ，2a+3b ，34 ，，等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．
要点诠释：代数式的书写规范：
（1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）除法运算一般以分数的形式表示；
（3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式；
（5）如果字母前面的数字是1，通常省略不写．
要点二、整式的相关概念
1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式．
要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数．
（2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项．
要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项．
（2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数．
（3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式．
3. 多项式的降幂与升幂排列：
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列．
要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置；
（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列．
4．整式：单项式和多项式统称为整式．
要点三、整式的加减
1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都是同类项．
要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”：
（1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同；
（2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关．
2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变．
3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变．
4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变．
5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减号连接，然后去括号，合并同类项．
要点四、探索与表达规律
寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用.解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证.
【典型例题】
类型一、代数式
1．（2020春•滨海县校级月考）做大小两个纸盒，尺规如下（单位：cm）
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）
（2）做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米？（结果用含a、b、c的代数式表示）
【思路点拨】（1）根据长方体表面积计算公式计算出两个长方体表面积，再相加化简可得；
（2）根据长方体体积计算方法计算出两个长方体体积相减，化简可得．
【答案与解析】
解：（1）根据题意，做两个纸盒需用料2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac，
答：做这两个纸盒共用料（14ab+10bc+14ac）平方厘米．
（2）根据表格中数据可知，大纸盒比小纸盒的容积大3a×2b×2c﹣abc=11abc，
答：做成的大纸盒比小纸盒的容积大11abc立方厘米．
【总结升华】本题主要考查根据实际问题列代数式的能力，准确表示出各部分的面积或体积是关键．
举一反三：
【变式】的意义是（ ）
A.a与b差的2倍除以a与b的和
B.a的2倍与b的差除以a与b和的商
C.a的2倍与b的差除a与b的和
D.a与b的2倍的差除以a与b和的商
【答案】B
类型二、整式的相关概念
2．指出下列各式中的整式、单项式和多项式，是单项式的请指出系数和次数，是多项式的请说出是几次几项式．
(1) (2)5 (3) (4) (5)3xy (6) (7) (8)1+a% (9)
【答案与解析】
解：整式：(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)、(9)
单项式：(2)、(5)、(6)，其中：
5的系数是5，次数是0；3xy的系数是3，次数是2；的系数是，次数是1.
多项式：(1)、(4)、(7)、(8)、(9)，其中：
是一次二项式；是一次二项式；是一次二项式；1+a%是一次二项式；
是二次二项式.
【总结升华】①分母中出现字母的式子不是整式，故不是整式；②π是常数而不是字母，故是整式，也是单项式；③(7)、(9)表示的是加、减关系而不是乘积关系，而单项式中不能有加减．如其实质为，其实质为．
举一反三：
【变式1】(1)的次数与系数的和是________；
(2)已知单项式的系数是等于单项式的次数，则m＝________；
(3)若是关于a、b的一个五次单项式，且系数为9，则-m+n＝________．
【答案】 (1)3 (2)1 (3)-5
【变式2】多项式是________次________项式，常数项是________，三次项是________．
【答案】四，五， 1 ，
【变式3】把多项式按x的降幂排列是________．
【答案】
类型三、整式的加减运算
3．（2020•遵义）如果单项式﹣xyb+1与xa﹣2y3是同类项，那么（a﹣b）2015= ．
【答案】1．
【解析】
解：由同类项的定义可知
a﹣2=1，解得a=3，
b+1=3，解得b=2，
所以（a﹣b）2015=1．
【总结升华】考查了同类项，要求代数式的值，首先要求出代数式中的字母的值，然后代入求解即可．
举一反三：
【变式】若与是同类项，则a＝________，b＝________．
【答案】 5 ， 4
4． 计算
【答案与解析】
解法1：



解法2：


【总结升华】根据多重括号的去括号法则，可由里向外，也可由外向里逐层推进，在计算过程中要注意符号的变化．若括号前是“-”号，在去括号时，括号里各项都应变号，若括号前有数字因数，应把数字因数乘到括号里，再去括号．
举一反三：
【变式1】下列式子中去括号错误的是( )．
A．5x－(x－2y＋5z)＝5x－x＋2y－5z
B．2a2＋(－3a－b)－(3c－2d)＝2a2－3a－b－3c＋2d
C．3x2－3(x＋6)＝3x2－3x－6
D．－(x－2y)－(－x2＋y2)＝－x＋2y＋x2－y2
【答案】C
【变式2】化简：-2a+(2a-1)的结果是( )．
A．-4a-1 B．4a-1 C．1 D．-1
【答案】D
类型四、化简求值
5. （1）直接化简代入
已知，，求的值．
（2）条件求值
(烟台)若与的和是单项式，则________．
（3）整体代入
已知x2-2y＝1，那么2x2-4y+3＝________．
【答案与解析】
解：（1）5(2x2y-3x)-2(4x-3x2y)
＝10x2y-15x-8x+6x2y
＝16x2y-23x
当，y＝-1时，
原式＝．
（2） 由题意知：和是同类项，所以m+5＝3，n＝2，解得，m＝-2，n＝2，所以．
（3）因为， 而
所以．
【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之间的联系．
举一反三：
【变式1】（2020•娄底）已知a2+2a=1，则代数式2a2+4a﹣1的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】B
【变式2】已知，求的值.
【答案】
所以，原式=．
类型五、探索与表达规律
6.将一张长方形的纸对折，如下图所示可得到一条折痕（图中虚线）．继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折三次后，可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕．如果对折n次，可以得到 条折痕．
【思路点拨】对前三次对折分析不难发现每对折1次把纸分成的部分是上一次的2倍，折痕比所分成的部分数少1，求出第4次的折痕即可；
再根据对折规律求出对折n次得到的部分数，然后减1即可得到折痕条数．
【答案】15，2n－1
【解析】
解：由图可知，第1次对折，把纸分成2部分，1条折痕，
第2次对折，把纸分成4部分，3条折痕，
第3次对折，把纸分成8部分，7条折痕，
所以，第4次对折，把纸分成16部分，15条折痕，
…，
依此类推，第n次对折，把纸分成2n部分，2n-1条折痕．
故答案为：15；2n-1．
【总结升华】本题是对图形变化规律的考查，观察得到对折得到的部分数与折痕的关系是解题的关键．
类型六、综合应用
7. 已知多项式是否存在m ，使此多项式与x无关？若不存在，说明理由；若存在，求出m 的值.
【答案与解析】
解：
要使原式与无关，则需该项的系数为0，即有，所以
答：存在使此多项式与x无关，此时的值为3.
【总结升华】一个多项式不含某项或说与某项无关，都是暗含此多项式中该项的系数为0. 长
宽
高
小纸盒
a
b
c
大纸盒
3a
2b
2c