初中数学北师大版八年级上册第七章 平行线的证明综合与测试课后复习题

《平行线的证明》全章复习与巩固（基础）知识讲解

【学习目标】

1．   了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；

2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；

3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、定义、命题及证明

1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.
要点诠释：

（1）每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.
（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
（3）公认的真命题叫做公理.

(4) 经过证明的真命题称为定理.

3.证明: 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程称为证明.
要点诠释：

（1）实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论．

（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等.

（3）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可．

要点二、平行线的判定与性质

1．平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：内错角相等，两直线平行．

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行.

（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）.

（3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．

要点三、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．

                推论：（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

                      （2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

要点诠释：

（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.

（2）推论可以当做定理使用.

【典型例题】

类型一、定义、命题及证明

1.指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,请举出反例.

­       如果等腰三角形的两条边长为5和7,那么这个等腰三角形的周长为17.

【答案与解析】

解：条件:等腰三角形的两条边长为5和7

­    结论:等腰三角形的周长为17

­是假命题；反例:当腰长为7,底边长为5时,周长为19

【总结升华】本题考查了命题与定理的相关知识．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论．

举一反三：

【变式1】某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（  ）.

  A．直线的公理   B．直线的公理或线段最短公理   C．线段最短公理   D．平行公理

【答案】B

【变式2】下列命题真命题是(   ) .

A．互补的两个角不相等            B．相等的两个角是对顶角

C．有公共顶点的两个角是对顶角    D．同角或等角的补角相等

【答案】D

2.叙述并证明三角形内角和定理．
要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程．

【思路点拨】欲证明三角形的三个内角的和为180°，可以把三角形三个角转移到一个平角上，利用平角的性质解答．

【答案与解析】

定理：三角形的内角和是180°；
已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C；
求证：∠A+∠B+∠C=180°．
证明：如下图，过点A作直线MN，使MN∥BC．

∵MN∥BC，
∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°（平角定义），
∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）．
即∠A+∠B+∠C=180°．

【总结升华】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°．

类型二、平行线的判定与性质

3.(佳木斯中考)如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．

【思路点拨】欲证AD∥BC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件．

【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°.

【解析】

 解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠FAD＝∠FBC；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加条件∠ABC+∠BAD＝180°．

【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论： AD∥BC，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可.

举一反三：

【变式】（2020春•召陵区期末）如图所示，已知∠1=52°，∠2=52°，∠3=91°，那么∠4=　　．

【答案】解：如图，∵∠1=∠2=52°，

∴a∥b，

∴∠3=∠5=91°，

∵∠5+∠4=180°，

∴∠4=180°﹣∠5=89°．

4. （2020春•雅安校级期中）已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C，求证：AB∥MN．

【思路点拨】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2=∠CDM，而∠1=∠2，则∠1=∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，所以∠C=∠AMN，又∠3=∠C，于是∠3=∠AMN，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN．

【答案与解析】

证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，

∴EF∥DM，

∴∠2=∠CDM，

∵∠1=∠2，

∴∠1=∠CDM，

∴MN∥CD，

∴∠C=∠AMN，

∵∠3=∠C，

∴∠3=∠AMN，

∴AB∥MN．

【总结升华】本题反复应用了平行线的判定与性质，只有对判定和性质熟练掌握才能做到运用自如．

举一反三：

【变式】如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED与∠ACB的大小关系，并说明理由．

【答案】∠AED=∠ACB，理由如下：

∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋∠4＝180°,

∴∠2＝∠4.

∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.

∴∠5＝∠3.

又∠3=∠B,

∴∠5＝∠B.

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.

∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).

类型三、三角形的内角和定理及推论

5.请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD如图所示.

【思路点拨】将四边形转化为三角形去解决.

【答案与解析】

证明：如下图，连接AC  ∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°，

­   

∠D+∠DAC+∠ACD=180°，

­    ∴(∠B+∠BAC+∠ACB)+(∠D+∠DAC+∠ACD)=180°+180°．

­    ∴∠B+∠D+(∠BAC+∠DAC)+(∠ACB+∠ACD)=360°．

­    ∴∠B+∠C+∠BAD+∠BCD=360°．

­    即四边形ABCD的内角和等于360°.

【总结升华】把不熟悉的多边形分成熟悉的三角形，利用三角形的内角和推导多边形的内角和是解题的关键，同理可以得到n边形的内角和公式为：（n－2）×180°.

6.（2020春•宁城）图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：　          　；

（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：　 　个；

（3）图2中，当∠D=50度，∠B=40度时，求∠P的度数．

（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．

【答案与解析】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC，

∴∠A+∠D=∠C+∠B；                  

（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；

②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；

③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；

④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；

⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；

⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；

故“8字形”共有6个；                              

（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①

∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，

①+②得：

∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，

即2∠P=∠D+∠B，

又∵∠D=50度，∠B=40度，

∴2∠P=50°+40°，

∴∠P=45°；                      

（4）关系：2∠P=∠D+∠B．  

由∠D+∠1+∠2=∠B+∠3+∠4①

由∠ONC=∠B+∠4=∠P+∠2，②

 ①+②得：

∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1，

∠D+2∠B=2∠P+∠B，

即2∠P=∠D+∠B．

【总结升华】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能力．

举一反三：

【变式】在△ABC中,∠A=50°,∠B=70°,则∠C的外角等于________.

【答案】120°