北师大版九年级上册5 相似三角形判定定理的证明随堂练习题

相似三角形判定定理的证明(基础)

【学习目标】

1.熟记三个判定定理的内容.

2.三个判定定理的证明过程.

3.学选会用适当的方法证明结论的成立性.

【要点梳理】

要点一、两角分别相等的两个三角形相似

已知：如图,在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求证：△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则

∠ADE=∠B，∠AED=∠C,

      过点D作AC的平行线，交BC与点F,则

      ∴

∵DE∥BC,DF∥AC,

∴四边形DFCE是平行四边形.

∴DE=CF.

∴AE:AC=DE:CB

∴.

而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C,

∴△ADE∽△ABC.

∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′,

∴△ADE∽△A′B′C′.

∴△ABC∽△A′B′C′.

要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法.

要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

已知，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′, ,求证：△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△ABC的边AB（或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则

∠B=∠ADE,∠C=∠AED,

∴△ABC∽△ADE(两角分别相等的两个三角形相似).

∴.

∵ ,AD=A′B′,

∴

∴

∴AE=A′C′

而∠A=∠A′

∴△ADE≌△A′B′C′.

∴△ABC∽△A′B′C′.

要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的.

要点三、三边成比例的两个三角形相似

已知：在△ABC和△A′B′C′中， .

求证：△ABC∽△A′B′C′.

证明：在△ABC的边AB，AC（或它们的延长线）上截取AD=A′B′,AE=A′C′,连接DE.

   ∵，AD=A′B′,AE=A′C′,

∴

而∠BAC=∠DAE,

∴△ABC∽△ADE(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).

∴

又，AD= A′B′,

∴

∴

∴DE=B′C′,

∴△ADE≌△A′B′C′，

∴△ABC∽△A′B′C′.

【典型例题】

类型一、两角分别相等的两个三角形相似

1、在△ABC中，∠A=60°，BD⊥AC，垂足为D，CE⊥AB，垂足为E，求证：△ADE∽△ABC．

【思路点拨】由BD⊥AC，CE⊥AB得到∠AEC=∠ADB=90°，利用∠EAC=∠DAB可判断△AEC∽△ADB，则=，利用比例性质得=，加上∠EAD=∠CAB，根据三角形相似的判定方法即可得到结论．

【答案与解析】

证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，

∴∠AEC=∠ADB=90°，

而∠EAC=∠DAB，

∴△AEC∽△ADB，

∴=，

∴=，

∵∠EAD=∠CAB，

∴△ADE∽△ABC．

【总结升华】考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两三角形相似；有两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．

举一反三

【变式】如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE=60°，求证：BD•CD=AC•CE.

【答案】

证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴，
∴BD•CD=AB•CE，
即BD•CD=AC•CE；

2、已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点H在AC上，且线段HD⊥AB于D，BC的延长线与DH的延长线交于点E，求证：△AHD∽△EBD．

【思路点拨】首先利用三角形的内角和定理证明：∠A=∠E，再有垂直得到90°的角，∠ADH=∠ACB=90°，从而证明：△AHD∽△EBD．

【答案与解析】

证明：∵HD⊥AB于D，

∴∠ADH=90°，

∴∠A+∠AHD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠E+∠AHD=90°，

∴∠A=∠E，

∵∠ADH=∠ACB=90°，

∴△AHD∽△EBD．

【总结升华】考查了垂直定义、三角形内角和定理以及相似三角形的判定方法：两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．

类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

3、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；

（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．

【答案与解析】

（1）证明：∵ABCD为正方形，

∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，

∵AE=ED，

∴，

∵DF=DC，

∴，

∴，

∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵ABCD为正方形，

∴ED∥BG，

∴，

又∵DF=DC，正方形的边长为4，

∴ED=2，CG=6，

∴BG=BC+CG=10．

【总结升华】考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．

举一反三

【变式】（2020•随州）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（　　）

　 A．∠AED=∠B B． ∠ADE=∠C C． = D． =

【答案 】D；

提示：∵∠DAE=∠CAB，

∴当∠AED=∠B或∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED；

当=时，△ABC∽△AED．

故选D．

4、（2020秋•揭西县校级期末）如图，F为平行四边形ABCD的边AD的延长线上的一点，BF分别交于CD、AC于G、E，若EF=32，GE=8，求BE．

【答案与解析】解：设BE=x，

∵EF=32，GE=8，

∴FG=32﹣8=24，

∵AD∥BC，

∴△AFE∽△CBE，

∴=，

∴则==+1①

∵DG∥AB，

∴△DFG∽△CBG，

∴= 代入①

=+1，

 解得：x=±16（负数舍去），

故BE=16．

【总结升华】此题主要考查了相似三角形的判定、平行四边形的性质，得出△DFG∽△CBG是解题关键．

举一反三

【变式】如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．

（1）填空：∠ABC=　　°，BC=　       ；

（2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．

【答案】解：（1）∠ABC=135°，BC=；

（2）相似；

∵BC=，EC==；

∴，；

∴；

又∠ABC=∠CED=135°，

∴△ABC∽△DEC．

类型三、三边成比例的两个三角形相似

5、已知：正方形的边长为1

（1）如图①，可以算出正方形的对角线为　　，求两个正方形并排拼成的矩形的对角线长，n个呢？

（2）根据图②，求证△BCE∽△BED；

（3）由图③，在下列所给的三个结论中，通过合情推理选出一个正确的结论加以证明，1．∠BEC+∠BDE=45°；⒉∠BEC+∠BED=45°；⒊∠BEC+∠DFE=45°

【思路点拨】（1）主要是根据勾股定理寻找规律，容易在数据中找到正确结论；

（2）在每个三角形中，根据勾股定理易求出每条边的长度，可利用三组边对应成比例，两三角形相似来判定；

（3）欲证∠BEC+∠DFE=45°，在本题中等于45°的角有两个，即∠AEB和∠BEF，所以在证明第三个结论时，需把这两个角想法转移到已知的一个角中去，利用等腰梯形的性质求解即可．

【答案与解析】

解：（1）由勾股定理知，在第一个图形中，对角线长==，

第二个图形中，对角线长==，

第三个图形中，对角线长=，

所以第n个图形中，对角线长=；

（2）在△BCE中，BC=1，BE=，EC=，

在△BED中，BE=，BD=2，ED=，

所以，

∴△BCE∽△BED；

（3）选取③，

∵CD∥EF，且CE=DF，

∴四边形CEFD为等腰梯形，

∴∠DFE=∠CEF，

∴∠BEC+∠DFE=∠BEC+∠CEF=45°．

【总结升华】此题主要运用三边对应成比例的两个三角形相似的判定定理、勾股定理的运用、等腰梯形的性质来解决问题的.