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    广东省深圳市福田区九年级(上)期末数学试卷
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    广东省深圳市福田区九年级(上)期末数学试卷

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    这是一份广东省深圳市福田区九年级(上)期末数学试卷,共16页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    广东省深圳市福田区九年级(上)期末数学试卷
     
    一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)
    1.(3分)sin30°的值是(  )
    A. B. C.1 D.
    2.(3分)已知反比例函数y=,下列各点不在该函数图象上的是(  )
    A.(2,3) B.(﹣2,﹣3) C.(2,﹣3) D.(1,6)
    3.(3分)一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是(  )
    A.x1=﹣1,x2=﹣2 B.x1=1,x2=﹣2 C.x1=1,x2=2 D.x1=﹣1,x2=2
    4.(3分)下面四个几何体中,主视图与俯视图不同的共有(  )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    5.(3分)抛物线y=2(x﹣1)2+1的顶点坐标是(  )
    A.(1,1) B.(1,﹣1) C.(﹣1,1) D.(﹣1,﹣1)
    6.(3分)口袋里有除颜色不同外其它都相同的红、蓝、白三种颜色的小球共30个,摸到红球的概率是,摸到蓝球的概率是,则袋子里有白球(  )个.
    A.15 B.10 C.5 D.6
    7.(3分)华为手机营销按批量投入市场,第一次投放20000台,第三次投放80000台,每次按相同的增长率投放,设增长率为x,则可列方程(  )
    A.20000(1+x)2=80000
    B.20000(1+x)+20000(1+x)2=80000
    C.20000(1+x2)=80000
    D.20000+20000(1+x)+20000(1+x)2=80000
    8.(3分)如图,某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶,在A处观测到楼H在北偏东60°方向上,行驶1小时后到达B处,此时观测到楼H在北偏东30°方向上,那么该车继续行驶(  )分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置.

    A.60 B.30 C.15 D.45
    9.(3分)如图,在△ABC中,D、E分别是线段AB、AC的中点,则△ABC与△ADE的面积之比为(  )

    A.1:2 B.1:4 C.4:1 D.2:1
    10.(3分)身高1.8米的人在阳光下的影长是1.2米,同一时刻一根旗杆的影长是6米,则它的高度是(  )
    A.10米 B.9米 C.8米 D.10.8米
    11.(3分)如图,直线y=1与抛物线y=x2﹣2x相交于M、N两点,则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解?(  )

    A.x2﹣2x+1=0 B.x2﹣2x﹣1=0 C.x2﹣2x﹣2=0 D.x2﹣2x+2=0
    12.(3分)如图,点A、B在反比例函数y=的图象上,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别是M、N,射线AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,四边形AMNB的面积是3,则k的值为(  )

    A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
     
    二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分)
    13.(3分)二次函数y=ax2﹣2ax+3的对称轴是x=  .
    14.(3分)已知菱形的两条对角线长分别为10和24,则菱形的边长为  .
    15.(3分)二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示,当y2>y1时,根据图象写出x的取值范围  .

    16.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=45°,∠D=30°,B、C、D在同一直线上,连接AD,若AB=,则sin∠CAD=  .

     
    三、解答题(本大题共52分)
    17.(5分)2cos60°﹣sin245°+(﹣tan45°)2016.
    18.(6分)解方程:2(x+1)2=x+1.
    19.(7分)小鹏和小娟玩一种游戏:小鹏手里有三张扑克牌分别是3、4、5,小娟有两张扑克牌6、7,现二人各自把自己的牌洗匀,小鹏从小娟的牌中任意抽取一张,小娟从小鹏的牌中任意抽取一张,计算两张数字之和,如果和为奇数,则小鹏胜;如果和为偶数则小娟胜.
    (1)用列表或画树状图的方法,列出小鹏和小娟抽得的数字之和所有可能出现的情况;
    (2)请判断该游戏对双方是否公平?并说明理由.
    20.(8分)如图,AD∥BC,AF平分∠BAD交BC于点F,BE平分∠ABC交AD于点E.求证:
    (1)△ABF是等腰三角形;
    (2)四边形ABFE是菱形.

    21.(8分)某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元,每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
    (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率;
    (2)经调查,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得510元的利润,每件应降价多少元?
    (3)在(2)的条件下,每件商品的售价为多少元时,每天可获得最大利润?最大利润是多少元?
    22.(9分)如图,一次函数y=k1x﹣1的图象经过A(0,﹣1)、B(1,0)两点,与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M,若△OBM的面积为1.
    (1)求一次函数和反比例函数的表达式;
    (2)在x轴上是否存在点P,使AM⊥PM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
    (3)x轴上是否存在点Q,使△QBM∽△OAM?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

    23.(9分)已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴交与点E,已知点B(﹣1,0).
    (1)点A的坐标:  ,点E的坐标:  ;
    (2)若二次函数y=﹣x2+bx+c过点A、E,求此二次函数的解析式;
    (3)P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)连结PB、PD,设l是△PBD的周长,当l取最小值时,求点P的坐标及l的最小值并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.

     

    广东省深圳市福田区九年级(上)期末数学试卷
    参考答案与试题解析
     
    一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)
    1.(3分)sin30°的值是(  )
    A. B. C.1 D.
    【解答】解:sin30°=.
    故选A.
     
    2.(3分)已知反比例函数y=,下列各点不在该函数图象上的是(  )
    A.(2,3) B.(﹣2,﹣3) C.(2,﹣3) D.(1,6)
    【解答】解:A、∵2×3=6,点在反比例函数图象上,故本选项错误;
    B、∵﹣2×(﹣3)=6,点在反比例函数图象上,故本选项错误;
    C、∵2×(﹣3)=﹣6≠6,点不在反比例函数图象上,故本选项正确;
    D、∵1×6=6,点在反比例函数图象上,故本选项错误;
    故选C.
     
    3.(3分)一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是(  )
    A.x1=﹣1,x2=﹣2 B.x1=1,x2=﹣2 C.x1=1,x2=2 D.x1=﹣1,x2=2
    【解答】解:(x﹣2)(x+1)=0,
    x﹣2=0或x+1=0,
    所以x1=2,x2=﹣1.
    故选D.
     
    4.(3分)下面四个几何体中,主视图与俯视图不同的共有(  )

    A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
    【解答】解:圆柱的主视图是矩形,俯视图是圆,它的主视图与俯视图不同;
    圆锥的主视图是等腰三角形,俯视图式圆,它的主视图与俯视图不同;
    球体的三视图均为圆,故它的主视图和俯视图相同;
    正方体的三视图均为正方形,故它的主视图和俯视图也相同;
    所以主视图与俯视图不同的是圆柱和圆锥,故选B.
     
    5.(3分)抛物线y=2(x﹣1)2+1的顶点坐标是(  )
    A.(1,1) B.(1,﹣1) C.(﹣1,1) D.(﹣1,﹣1)
    【解答】解:∵抛物线y=2(x﹣1)2+1,
    ∴抛物线的顶点坐标为(1,1).
    故选A.
     
    6.(3分)口袋里有除颜色不同外其它都相同的红、蓝、白三种颜色的小球共30个,摸到红球的概率是,摸到蓝球的概率是,则袋子里有白球(  )个.
    A.15 B.10 C.5 D.6
    【解答】解:因为摸到红球的概率是,摸到蓝球的概率是,
    所以红球的个数为,蓝球的个数为,
    所以袋子里有白球有30﹣15﹣10=5.
    故选C.
     
    7.(3分)华为手机营销按批量投入市场,第一次投放20000台,第三次投放80000台,每次按相同的增长率投放,设增长率为x,则可列方程(  )
    A.20000(1+x)2=80000
    B.20000(1+x)+20000(1+x)2=80000
    C.20000(1+x2)=80000
    D.20000+20000(1+x)+20000(1+x)2=80000
    【解答】解:设增长率为x,由题意得
    20000(1+x)2=80000.
    故选:A.
     
    8.(3分)如图,某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶,在A处观测到楼H在北偏东60°方向上,行驶1小时后到达B处,此时观测到楼H在北偏东30°方向上,那么该车继续行驶(  )分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置.

    A.60 B.30 C.15 D.45
    【解答】解:作HC⊥AB交AB的延长线于C,
    由题意得,∠HAB=60°,∠ABH=120°,
    ∴∠AHB=30°,
    ∴BA=BH,
    ∵∠ABH=120°,
    ∴∠CBH=60°,又HC⊥AB,
    ∴∠BHC=30°,
    ∴BC=BH,
    ∴BC=AB,
    则该车继续行驶30分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置,
    故选:B.

     
    9.(3分)如图,在△ABC中,D、E分别是线段AB、AC的中点,则△ABC与△ADE的面积之比为(  )

    A.1:2 B.1:4 C.4:1 D.2:1
    【解答】解:∵D、E分别为AB、AC的中点,
    ∴BC=2DE,DE∥BC,
    ∴△ADE∽△ABC,
    ∴△ABC与△ADE的面积之比=()2=4:1.
    故选C.
     
    10.(3分)身高1.8米的人在阳光下的影长是1.2米,同一时刻一根旗杆的影长是6米,则它的高度是(  )
    A.10米 B.9米 C.8米 D.10.8米
    【解答】解:设旗杆的高度约为hm,
    ∵同一时刻物高与影长成正比,
    ∴=,
    解得:h=9(米).
    故选:B.
     
    11.(3分)如图,直线y=1与抛物线y=x2﹣2x相交于M、N两点,则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解?(  )

    A.x2﹣2x+1=0 B.x2﹣2x﹣1=0 C.x2﹣2x﹣2=0 D.x2﹣2x+2=0
    【解答】解:把y=1代入抛物线y=x2﹣2x得,x2﹣2x=1,
    即x2﹣2x﹣1=0.
    故选B.
     
    12.(3分)如图,点A、B在反比例函数y=的图象上,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别是M、N,射线AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,四边形AMNB的面积是3,则k的值为(  )

    A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
    【解答】解:∵点A、B在反比例函数y的图象上,
    ∴S△AOM=|k|,
    ∵OM=MN=NC,
    ∴AM=2BN,
    ∴S△AOM=S△AOC,S△ACM=4S△BCN,S△ACM=2S△AOM,
    ∵四边形AMNB的面积是3,
    ∴S△BCN=1,
    ∴S△AOM=2,
    ∴|k|=4,
    ∵反比例函数y=的图象在第二四象限,
    ∴k=﹣4,
    故选D.
     
    二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分)
    13.(3分)二次函数y=ax2﹣2ax+3的对称轴是x= 1 .
    【解答】解:∵二次函数y=ax2﹣2ax+3
    ∴此抛物线的对称轴为:x=﹣,
    故答案为:1.
     
    14.(3分)已知菱形的两条对角线长分别为10和24,则菱形的边长为 13 .
    【解答】解:如图,BD=10,AC=24,
    ∵四边形ABCD是菱形,
    ∴OA=AC=12,OB=BD=5,AC⊥BD,
    ∴AB==13,
    故答案为:13.

     
    15.(3分)二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示,当y2>y1时,根据图象写出x的取值范围 ﹣2<x<1 .

    【解答】解:当y2>y1时,即一次函数y2=kx+b的图象在二次函数y1=ax2+bx+c的图象的上面,
    可得x的取值范围是:﹣2<x<1.
    故答案为:﹣2<x<1.
     
    16.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=45°,∠D=30°,B、C、D在同一直线上,连接AD,若AB=,则sin∠CAD=  .

    【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=45°,
    ∴△ABC是等腰直角三角形,
    ∵AB=,
    ∴BC=AB=,AC=AB=.
    ∵在Rt△ABD中,∠B=90°,∠D=30°,AB=,
    ∴AD=2AB=2,BD=AB=3,
    ∴CD=BD﹣BC=3﹣.
    过C点作CE⊥AD于E.
    ∵S△ACD=AD•CE=CD•AB,
    ∴CE===,
    ∴sin∠CAD===.
    故答案为.

     
    三、解答题(本大题共52分)
    17.(5分)2cos60°﹣sin245°+(﹣tan45°)2016.
    【解答】解:原式=2×﹣()2+(﹣1)2016=1﹣+1=.
     
    18.(6分)解方程:2(x+1)2=x+1.
    【解答】解:2(x+1)2=x+1
    2(x+1)2﹣(x+1)=0,
    (x+1)[2(x+1)﹣1]=0,
    解得:x1=﹣1,x2=﹣.
     
    19.(7分)小鹏和小娟玩一种游戏:小鹏手里有三张扑克牌分别是3、4、5,小娟有两张扑克牌6、7,现二人各自把自己的牌洗匀,小鹏从小娟的牌中任意抽取一张,小娟从小鹏的牌中任意抽取一张,计算两张数字之和,如果和为奇数,则小鹏胜;如果和为偶数则小娟胜.
    (1)用列表或画树状图的方法,列出小鹏和小娟抽得的数字之和所有可能出现的情况;
    (2)请判断该游戏对双方是否公平?并说明理由.
    【解答】解:(1)画出树状图如下:
    (2)此游戏公平,由树形图可知:小娟赢的概率==小鹏赢的概率.
     
    20.(8分)如图,AD∥BC,AF平分∠BAD交BC于点F,BE平分∠ABC交AD于点E.求证:
    (1)△ABF是等腰三角形;
    (2)四边形ABFE是菱形.

    【解答】证明:(1)∵AD∥BC,
    ∴∠AFB=∠EBF,
    ∵BF平分∠ABC,
    ∴∠ABF=∠EBF,
    ∴∠AFB=∠ABF,
    ∴AB=AF,即△ABF是等腰三角形;
    (2)由(1)得:AB=AF,
    同理:AB=BE,
    ∴AF=BE,
    ∵AF∥BE,
    ∴四边形ABFE是平行四边形,
    又∵AB=AF,
    ∴四边形ABFE是菱形.
     
    21.(8分)某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元,每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
    (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率;
    (2)经调查,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得510元的利润,每件应降价多少元?
    (3)在(2)的条件下,每件商品的售价为多少元时,每天可获得最大利润?最大利润是多少元?
    【解答】解:(1)设每次降价的百分率为x.
    40×(1﹣x)2=32.4,
    解得x=10%或190%(190%不符合题意,舍去).
    答:该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,两次下降的百分率为10%;

    (2)设每天要想获得510元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由题意,得
    (40﹣30﹣y)(4×+48)=510,
    解得:y1=1.5,y2=2.5,
    ∵有利于减少库存,
    ∴y=2.5.
    答:要使商场每月销售这种商品的利润达到510元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价2.5元;

    (3)设每件商品应降价y元,获得利润为W,
    由题意得,W=(40﹣30﹣y)(4×+48)=﹣8y2+32y+480=﹣8(y﹣2)2+512,
    故每件商品的售价为38元时,每天可获得最大利润,最大利润是512元.
     
    22.(9分)如图,一次函数y=k1x﹣1的图象经过A(0,﹣1)、B(1,0)两点,与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M,若△OBM的面积为1.
    (1)求一次函数和反比例函数的表达式;
    (2)在x轴上是否存在点P,使AM⊥PM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
    (3)x轴上是否存在点Q,使△QBM∽△OAM?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.

    【解答】解:(1)如图1,过点M作MN⊥x轴于点N,
    ∵一次函数y=k1x﹣1的图象经过A(0,﹣1)、B(1,0)两点,
    ∴0=k1﹣1,AO=BO=1,
    解得:k1=1,
    故一次函数解析式为:y=x﹣1,
    ∵△OBM的面积为1,BO=1,
    ∴M点纵坐标为:2,
    ∵∠OAB=∠MNB,∠OBA=∠NBM,
    ∴△AOB∽△MNB,
    ∴==,
    则BN=2,
    故M(3,2),
    则xy=k2=6,
    故反比例函数解析式为:y=;

    (2)如图2,过点M作PM⊥AM,垂足为M,
    ∵∠AOB=∠PMB,∠OBA=∠MBP,
    ∴△AOB∽△PMB,
    ∴=,
    由(1)得:AB==,BM==2,
    故=,
    解得:BP=4,
    故P(5,0);

    (3)如图3,∵△QBM∽△OAM,
    ∴=,
    由(2)可得AM=3,
    故=,
    解得:QB=,
    则OQ=,
    故Q点坐标为:(,0).



     
    23.(9分)已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴交与点E,已知点B(﹣1,0).
    (1)点A的坐标: (1,2) ,点E的坐标: (0,) ;
    (2)若二次函数y=﹣x2+bx+c过点A、E,求此二次函数的解析式;
    (3)P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)连结PB、PD,设l是△PBD的周长,当l取最小值时,求点P的坐标及l的最小值并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.

    【解答】解:(1)连接AD,如图1,
    ∵△ABC是边长为4的等边三角形,又B的坐标为(﹣1,0),BC在x轴上,A在第一象限,
    ∴点C在x轴的正半轴上,
    ∴C的坐标为(3,0),由中点坐标公式,得:D的坐标为(1,0).
    显然AD⊥BC且AD=BD=2,
    ∴A的坐标是(1,2).
    OE=AD,得E(0,);
    (2)因为抛物线y=﹣x2+bx+c过点A、E,
    由待定系数法得:c=,b=,
    抛物线的解析式为y=﹣x2+x+;
    (3)作点D关于AC的对称点D',
    连接BD'交AC于点P,则PB与PD的和取最小值,
    即△PBD的周长L取最小值,如图2.
    ∵D、D′关于直线AC对称,
    ∴DD′⊥AC,即∠D′DC=30°,
    DF=,DD'=2,
    求得点D'的坐标为(4,),
    直线BD'的解析式为:y=x+,
    直线AC的解析式为:y=﹣x+3,
    求直线BD'与AC的交点可,得
    点P的坐标(,).
    此时BD'===2,
    所以△PBD的最小周长L为2+2,
    把点P的坐标代入y=﹣+x+成立,
    所以此时点P在抛物线上.
     

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