广东省深圳市福田区九年级(上)期末数学试卷
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一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)
1.(3分)sin30°的值是( )
A. B. C.1 D.
2.(3分)已知反比例函数y=,下列各点不在该函数图象上的是( )
A.(2,3) B.(﹣2,﹣3) C.(2,﹣3) D.(1,6)
3.(3分)一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是( )
A.x1=﹣1,x2=﹣2 B.x1=1,x2=﹣2 C.x1=1,x2=2 D.x1=﹣1,x2=2
4.(3分)下面四个几何体中,主视图与俯视图不同的共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(3分)抛物线y=2(x﹣1)2+1的顶点坐标是( )
A.(1,1) B.(1,﹣1) C.(﹣1,1) D.(﹣1,﹣1)
6.(3分)口袋里有除颜色不同外其它都相同的红、蓝、白三种颜色的小球共30个,摸到红球的概率是,摸到蓝球的概率是,则袋子里有白球( )个.
A.15 B.10 C.5 D.6
7.(3分)华为手机营销按批量投入市场,第一次投放20000台,第三次投放80000台,每次按相同的增长率投放,设增长率为x,则可列方程( )
A.20000(1+x)2=80000
B.20000(1+x)+20000(1+x)2=80000
C.20000(1+x2)=80000
D.20000+20000(1+x)+20000(1+x)2=80000
8.(3分)如图,某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶,在A处观测到楼H在北偏东60°方向上,行驶1小时后到达B处,此时观测到楼H在北偏东30°方向上,那么该车继续行驶( )分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置.
A.60 B.30 C.15 D.45
9.(3分)如图,在△ABC中,D、E分别是线段AB、AC的中点,则△ABC与△ADE的面积之比为( )
A.1:2 B.1:4 C.4:1 D.2:1
10.(3分)身高1.8米的人在阳光下的影长是1.2米,同一时刻一根旗杆的影长是6米,则它的高度是( )
A.10米 B.9米 C.8米 D.10.8米
11.(3分)如图,直线y=1与抛物线y=x2﹣2x相交于M、N两点,则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解?( )
A.x2﹣2x+1=0 B.x2﹣2x﹣1=0 C.x2﹣2x﹣2=0 D.x2﹣2x+2=0
12.(3分)如图,点A、B在反比例函数y=的图象上,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别是M、N,射线AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,四边形AMNB的面积是3,则k的值为( )
A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分)
13.(3分)二次函数y=ax2﹣2ax+3的对称轴是x= .
14.(3分)已知菱形的两条对角线长分别为10和24,则菱形的边长为 .
15.(3分)二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示,当y2>y1时,根据图象写出x的取值范围 .
16.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=45°,∠D=30°,B、C、D在同一直线上,连接AD,若AB=,则sin∠CAD= .
三、解答题(本大题共52分)
17.(5分)2cos60°﹣sin245°+(﹣tan45°)2016.
18.(6分)解方程:2(x+1)2=x+1.
19.(7分)小鹏和小娟玩一种游戏:小鹏手里有三张扑克牌分别是3、4、5,小娟有两张扑克牌6、7,现二人各自把自己的牌洗匀,小鹏从小娟的牌中任意抽取一张,小娟从小鹏的牌中任意抽取一张,计算两张数字之和,如果和为奇数,则小鹏胜;如果和为偶数则小娟胜.
(1)用列表或画树状图的方法,列出小鹏和小娟抽得的数字之和所有可能出现的情况;
(2)请判断该游戏对双方是否公平?并说明理由.
20.(8分)如图,AD∥BC,AF平分∠BAD交BC于点F,BE平分∠ABC交AD于点E.求证:
(1)△ABF是等腰三角形;
(2)四边形ABFE是菱形.
21.(8分)某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元,每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率;
(2)经调查,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得510元的利润,每件应降价多少元?
(3)在(2)的条件下,每件商品的售价为多少元时,每天可获得最大利润?最大利润是多少元?
22.(9分)如图,一次函数y=k1x﹣1的图象经过A(0,﹣1)、B(1,0)两点,与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M,若△OBM的面积为1.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)在x轴上是否存在点P,使AM⊥PM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)x轴上是否存在点Q,使△QBM∽△OAM?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
23.(9分)已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴交与点E,已知点B(﹣1,0).
(1)点A的坐标: ,点E的坐标: ;
(2)若二次函数y=﹣x2+bx+c过点A、E,求此二次函数的解析式;
(3)P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)连结PB、PD,设l是△PBD的周长,当l取最小值时,求点P的坐标及l的最小值并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.
广东省深圳市福田区九年级(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共12小题,每小题3分,满分36分)
1.(3分)sin30°的值是( )
A. B. C.1 D.
【解答】解:sin30°=.
故选A.
2.(3分)已知反比例函数y=,下列各点不在该函数图象上的是( )
A.(2,3) B.(﹣2,﹣3) C.(2,﹣3) D.(1,6)
【解答】解:A、∵2×3=6,点在反比例函数图象上,故本选项错误;
B、∵﹣2×(﹣3)=6,点在反比例函数图象上,故本选项错误;
C、∵2×(﹣3)=﹣6≠6,点不在反比例函数图象上,故本选项正确;
D、∵1×6=6,点在反比例函数图象上,故本选项错误;
故选C.
3.(3分)一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是( )
A.x1=﹣1,x2=﹣2 B.x1=1,x2=﹣2 C.x1=1,x2=2 D.x1=﹣1,x2=2
【解答】解:(x﹣2)(x+1)=0,
x﹣2=0或x+1=0,
所以x1=2,x2=﹣1.
故选D.
4.(3分)下面四个几何体中,主视图与俯视图不同的共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解答】解:圆柱的主视图是矩形,俯视图是圆,它的主视图与俯视图不同;
圆锥的主视图是等腰三角形,俯视图式圆,它的主视图与俯视图不同;
球体的三视图均为圆,故它的主视图和俯视图相同;
正方体的三视图均为正方形,故它的主视图和俯视图也相同;
所以主视图与俯视图不同的是圆柱和圆锥,故选B.
5.(3分)抛物线y=2(x﹣1)2+1的顶点坐标是( )
A.(1,1) B.(1,﹣1) C.(﹣1,1) D.(﹣1,﹣1)
【解答】解:∵抛物线y=2(x﹣1)2+1,
∴抛物线的顶点坐标为(1,1).
故选A.
6.(3分)口袋里有除颜色不同外其它都相同的红、蓝、白三种颜色的小球共30个,摸到红球的概率是,摸到蓝球的概率是,则袋子里有白球( )个.
A.15 B.10 C.5 D.6
【解答】解:因为摸到红球的概率是,摸到蓝球的概率是,
所以红球的个数为,蓝球的个数为,
所以袋子里有白球有30﹣15﹣10=5.
故选C.
7.(3分)华为手机营销按批量投入市场,第一次投放20000台,第三次投放80000台,每次按相同的增长率投放,设增长率为x,则可列方程( )
A.20000(1+x)2=80000
B.20000(1+x)+20000(1+x)2=80000
C.20000(1+x2)=80000
D.20000+20000(1+x)+20000(1+x)2=80000
【解答】解:设增长率为x,由题意得
20000(1+x)2=80000.
故选:A.
8.(3分)如图,某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶,在A处观测到楼H在北偏东60°方向上,行驶1小时后到达B处,此时观测到楼H在北偏东30°方向上,那么该车继续行驶( )分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置.
A.60 B.30 C.15 D.45
【解答】解:作HC⊥AB交AB的延长线于C,
由题意得,∠HAB=60°,∠ABH=120°,
∴∠AHB=30°,
∴BA=BH,
∵∠ABH=120°,
∴∠CBH=60°,又HC⊥AB,
∴∠BHC=30°,
∴BC=BH,
∴BC=AB,
则该车继续行驶30分钟可使汽车到达离楼H距离最近的位置,
故选:B.
9.(3分)如图,在△ABC中,D、E分别是线段AB、AC的中点,则△ABC与△ADE的面积之比为( )
A.1:2 B.1:4 C.4:1 D.2:1
【解答】解:∵D、E分别为AB、AC的中点,
∴BC=2DE,DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴△ABC与△ADE的面积之比=()2=4:1.
故选C.
10.(3分)身高1.8米的人在阳光下的影长是1.2米,同一时刻一根旗杆的影长是6米,则它的高度是( )
A.10米 B.9米 C.8米 D.10.8米
【解答】解:设旗杆的高度约为hm,
∵同一时刻物高与影长成正比,
∴=,
解得:h=9(米).
故选:B.
11.(3分)如图,直线y=1与抛物线y=x2﹣2x相交于M、N两点,则M、N两点的横坐标是下列哪个方程的解?( )
A.x2﹣2x+1=0 B.x2﹣2x﹣1=0 C.x2﹣2x﹣2=0 D.x2﹣2x+2=0
【解答】解:把y=1代入抛物线y=x2﹣2x得,x2﹣2x=1,
即x2﹣2x﹣1=0.
故选B.
12.(3分)如图,点A、B在反比例函数y=的图象上,过点A、B作x轴的垂线,垂足分别是M、N,射线AB交x轴于点C,若OM=MN=NC,四边形AMNB的面积是3,则k的值为( )
A.2 B.4 C.﹣2 D.﹣4
【解答】解:∵点A、B在反比例函数y的图象上,
∴S△AOM=|k|,
∵OM=MN=NC,
∴AM=2BN,
∴S△AOM=S△AOC,S△ACM=4S△BCN,S△ACM=2S△AOM,
∵四边形AMNB的面积是3,
∴S△BCN=1,
∴S△AOM=2,
∴|k|=4,
∵反比例函数y=的图象在第二四象限,
∴k=﹣4,
故选D.
二、填空题(本大题共有4小题,每小题3分,共12分)
13.(3分)二次函数y=ax2﹣2ax+3的对称轴是x= 1 .
【解答】解:∵二次函数y=ax2﹣2ax+3
∴此抛物线的对称轴为:x=﹣,
故答案为:1.
14.(3分)已知菱形的两条对角线长分别为10和24,则菱形的边长为 13 .
【解答】解:如图,BD=10,AC=24,
∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=AC=12,OB=BD=5,AC⊥BD,
∴AB==13,
故答案为:13.
15.(3分)二次函数y1=ax2+bx+c的图象与一次函数y2=kx+b的图象如图所示,当y2>y1时,根据图象写出x的取值范围 ﹣2<x<1 .
【解答】解:当y2>y1时,即一次函数y2=kx+b的图象在二次函数y1=ax2+bx+c的图象的上面,
可得x的取值范围是:﹣2<x<1.
故答案为:﹣2<x<1.
16.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=45°,∠D=30°,B、C、D在同一直线上,连接AD,若AB=,则sin∠CAD= .
【解答】解:∵在Rt△ABC中,∠B=90°,∠ACB=45°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∵AB=,
∴BC=AB=,AC=AB=.
∵在Rt△ABD中,∠B=90°,∠D=30°,AB=,
∴AD=2AB=2,BD=AB=3,
∴CD=BD﹣BC=3﹣.
过C点作CE⊥AD于E.
∵S△ACD=AD•CE=CD•AB,
∴CE===,
∴sin∠CAD===.
故答案为.
三、解答题(本大题共52分)
17.(5分)2cos60°﹣sin245°+(﹣tan45°)2016.
【解答】解:原式=2×﹣()2+(﹣1)2016=1﹣+1=.
18.(6分)解方程:2(x+1)2=x+1.
【解答】解:2(x+1)2=x+1
2(x+1)2﹣(x+1)=0,
(x+1)[2(x+1)﹣1]=0,
解得:x1=﹣1,x2=﹣.
19.(7分)小鹏和小娟玩一种游戏:小鹏手里有三张扑克牌分别是3、4、5,小娟有两张扑克牌6、7,现二人各自把自己的牌洗匀,小鹏从小娟的牌中任意抽取一张,小娟从小鹏的牌中任意抽取一张,计算两张数字之和,如果和为奇数,则小鹏胜;如果和为偶数则小娟胜.
(1)用列表或画树状图的方法,列出小鹏和小娟抽得的数字之和所有可能出现的情况;
(2)请判断该游戏对双方是否公平?并说明理由.
【解答】解:(1)画出树状图如下:
(2)此游戏公平,由树形图可知:小娟赢的概率==小鹏赢的概率.
20.(8分)如图,AD∥BC,AF平分∠BAD交BC于点F,BE平分∠ABC交AD于点E.求证:
(1)△ABF是等腰三角形;
(2)四边形ABFE是菱形.
【解答】证明:(1)∵AD∥BC,
∴∠AFB=∠EBF,
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠EBF,
∴∠AFB=∠ABF,
∴AB=AF,即△ABF是等腰三角形;
(2)由(1)得:AB=AF,
同理:AB=BE,
∴AF=BE,
∵AF∥BE,
∴四边形ABFE是平行四边形,
又∵AB=AF,
∴四边形ABFE是菱形.
21.(8分)某商场一种商品的进价为每件30元,售价为每件40元,每天可以销售48件,为尽快减少库存,商场决定降价促销.
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,求两次下降的百分率;
(2)经调查,若该商品每降价0.5元,每天可多销售4件,那么每天要想获得510元的利润,每件应降价多少元?
(3)在(2)的条件下,每件商品的售价为多少元时,每天可获得最大利润?最大利润是多少元?
【解答】解:(1)设每次降价的百分率为x.
40×(1﹣x)2=32.4,
解得x=10%或190%(190%不符合题意,舍去).
答:该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元,两次下降的百分率为10%;
(2)设每天要想获得510元的利润,且更有利于减少库存,则每件商品应降价y元,由题意,得
(40﹣30﹣y)(4×+48)=510,
解得:y1=1.5,y2=2.5,
∵有利于减少库存,
∴y=2.5.
答:要使商场每月销售这种商品的利润达到510元,且更有利于减少库存,则每件商品应降价2.5元;
(3)设每件商品应降价y元,获得利润为W,
由题意得,W=(40﹣30﹣y)(4×+48)=﹣8y2+32y+480=﹣8(y﹣2)2+512,
故每件商品的售价为38元时,每天可获得最大利润,最大利润是512元.
22.(9分)如图,一次函数y=k1x﹣1的图象经过A(0,﹣1)、B(1,0)两点,与反比例函数y=的图象在第一象限内的交点为M,若△OBM的面积为1.
(1)求一次函数和反比例函数的表达式;
(2)在x轴上是否存在点P,使AM⊥PM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
(3)x轴上是否存在点Q,使△QBM∽△OAM?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
【解答】解:(1)如图1,过点M作MN⊥x轴于点N,
∵一次函数y=k1x﹣1的图象经过A(0,﹣1)、B(1,0)两点,
∴0=k1﹣1,AO=BO=1,
解得:k1=1,
故一次函数解析式为:y=x﹣1,
∵△OBM的面积为1,BO=1,
∴M点纵坐标为:2,
∵∠OAB=∠MNB,∠OBA=∠NBM,
∴△AOB∽△MNB,
∴==,
则BN=2,
故M(3,2),
则xy=k2=6,
故反比例函数解析式为:y=;
(2)如图2,过点M作PM⊥AM,垂足为M,
∵∠AOB=∠PMB,∠OBA=∠MBP,
∴△AOB∽△PMB,
∴=,
由(1)得:AB==,BM==2,
故=,
解得:BP=4,
故P(5,0);
(3)如图3,∵△QBM∽△OAM,
∴=,
由(2)可得AM=3,
故=,
解得:QB=,
则OQ=,
故Q点坐标为:(,0).
23.(9分)已知△ABC是边长为4的等边三角形,BC在x轴上,点D为BC的中点,点A在第一象限内,AB与y轴的正半轴交与点E,已知点B(﹣1,0).
(1)点A的坐标: (1,2) ,点E的坐标: (0,) ;
(2)若二次函数y=﹣x2+bx+c过点A、E,求此二次函数的解析式;
(3)P是AC上的一个动点(P与点A、C不重合)连结PB、PD,设l是△PBD的周长,当l取最小值时,求点P的坐标及l的最小值并判断此时点P是否在(2)中所求的抛物线上,请充分说明你的判断理由.
【解答】解:(1)连接AD,如图1,
∵△ABC是边长为4的等边三角形,又B的坐标为(﹣1,0),BC在x轴上,A在第一象限,
∴点C在x轴的正半轴上,
∴C的坐标为(3,0),由中点坐标公式,得:D的坐标为(1,0).
显然AD⊥BC且AD=BD=2,
∴A的坐标是(1,2).
OE=AD,得E(0,);
(2)因为抛物线y=﹣x2+bx+c过点A、E,
由待定系数法得:c=,b=,
抛物线的解析式为y=﹣x2+x+;
(3)作点D关于AC的对称点D',
连接BD'交AC于点P,则PB与PD的和取最小值,
即△PBD的周长L取最小值,如图2.
∵D、D′关于直线AC对称,
∴DD′⊥AC,即∠D′DC=30°,
DF=,DD'=2,
求得点D'的坐标为(4,),
直线BD'的解析式为:y=x+,
直线AC的解析式为:y=﹣x+3,
求直线BD'与AC的交点可,得
点P的坐标(,).
此时BD'===2,
所以△PBD的最小周长L为2+2,
把点P的坐标代入y=﹣+x+成立,
所以此时点P在抛物线上.
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