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广东省深圳市潜龙中学九年级（上）期末数学模拟试卷
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这是一份广东省深圳市潜龙中学九年级（上）期末数学模拟试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省深圳市潜龙中学九年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）一元二次方程﹣x2+4x=0的根是（ ）
A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=4 C．x1=0，x2=﹣4 D．x1=1，x2=﹣4
2．（3分）如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
4．（3分）如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）m．
A．8.8 B．10 C．12 D．14
5．（3分）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=
6．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
7．（3分）小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
9．（3分）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．（3分）如图，已知点A是直线y=x与反比例函数y=（k＞0，x＞0）的交点，B是y=图象上的另一点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）已知抛物线y=x2﹣4与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线l1，l2，其中l1的顶点为点B，l2的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．无法计算
二、填空题（每小题3分，共12分．）请把答案填在答题卷相应的表格里．
13．（3分）某小区共有学生200人，随机抽查50名学生，其中有30人看中央电视台的晚间新闻．在该小区随便问一位学生，他看中央电视台晚间新闻的概率大约是 ．
14．（3分）将抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线的函数表达式为 ．
15．（3分）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为 m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）
16．（3分）如图，一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A，B两点，AB=4，则k= ．
三、解答题（本题共7小题，共52分）
17．（5分）计算：tan30°﹣cos245°．
18．（5分）解方程：x2﹣5x+6=0．
19．（8分）已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．
（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．
20．（8分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
21．（8分）钓鱼岛自古以来是中国领土，如图，我国海监船正在钓鱼岛A附近海域执法，当巡航至B处时，得知正东方向的C处有一艘渔船出故障，于是我海监船立刻以25海里/小时向正东方向进行救援．已知钓鱼岛A位于B处的北偏东30°方向上，钓鱼岛A位于C处的北偏东45°方向上，且AB=20海里．
（1）渔船在C处故障时，与钓鱼岛A距离AC是多少海里？（结果保留根号）
（2）求经过多少小时海监船能到达C处救援渔船？（=1.732，结果要精确到0.1）
22．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（10分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．
广东省深圳市潜龙中学九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）一元二次方程﹣x2+4x=0的根是（ ）
A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=4 C．x1=0，x2=﹣4 D．x1=1，x2=﹣4
【解答】解：方程分解得：﹣x（x﹣4）=0，
可得x=0或x﹣4=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选A
2．（3分）如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从几何体的上面看所得到的图形是两个同心圆，
故选：C．
3．（3分）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：D．
4．（3分）如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）m．
A．8.8 B．10 C．12 D．14
【解答】解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，
若设旗杆高x米，
则，
∴x=12．
故选C．
5．（3分）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=
【解答】解：设平均每天涨x．
则90%（1+x）2=1，
即（1+x）2=，
故选B．
6．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（2.5，5）
故选：B．
7．（3分）小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为．
故选：A．
8．（3分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【解答】解：A、根据菱形的性质和矩形的判定，知正确；
B、根据正方形的判定，知正确；
C、根据正方形的判定，知必须在平行四边形的基础上，故错误；
D、根据等边三角形的判定，知正确．
故选C．
9．（3分）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选C．
10．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴=，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴=，
∴BE=8，
故选D．
11．（3分）如图，已知点A是直线y=x与反比例函数y=（k＞0，x＞0）的交点，B是y=图象上的另一点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设点P的运动速度为v，
①由于点A在直线y=x上，
故点P在OA上时，四边形OMPN为正方形，
四边形OMPN的面积S=（vt）2，
②点P在反比例函数图象AB时，
由反比例函数系数几何意义，四边形OMPN的面积S=k；
③点P在BC段时，设点P运动到点C的总路程为a，
则四边形OMPN的面积=OC•（a﹣vt）=﹣t+，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
12．（3分）已知抛物线y=x2﹣4与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线l1，l2，其中l1的顶点为点B，l2的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．无法计算
【解答】解：∵y=x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
∴B（﹣2，0），C（2，0），
则BC=4．
又当x=0时，y=﹣4，
则A（0，﹣4），
故OA=4．
∴抛物线l1是由抛物线y=x2﹣4向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，抛物线l2是由抛物线y=x2﹣4向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，
∴S阴影=2S△ABC=2××4×4=16．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共12分．）请把答案填在答题卷相应的表格里．
13．（3分）某小区共有学生200人，随机抽查50名学生，其中有30人看中央电视台的晚间新闻．在该小区随便问一位学生，他看中央电视台晚间新闻的概率大约是 ．
【解答】解：根据题意，随机调查的有50人，其中30人看中央电视台的晚间新闻，
则在被调查的人中，看中央电视台晚间新闻的概率为 =，
根据用样本估计总体的方法，
可得在该小区随便问一学生，他（她）看中央电视台晚间新闻的概率也是 ．
故选答案为．
14．（3分）将抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线的函数表达式为 y=﹣2（x﹣1）2+3或y=﹣2x2+4x+1 ．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：（1，3）．可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k，代入得y=﹣2（x﹣1）2+3．
故答案是：y=﹣2（x﹣1）2+3或y=﹣2x2+4x+1．
15．（3分）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为 15.3 m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）
【解答】解：在Rt△ACD中，CD=21m，∠DAC=30°，
则AC=CD≈36.3m；
在Rt△BCD中，∠DBC=45°，
则BC=CD=21m，
故AB=AC﹣BC=15.3m．
故答案为：15.3．
16．（3分）如图，一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A，B两点，AB=4，则k= ．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条直线交于点C，
由直线y=x+3的特点可知，△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AB=4，
由题意得，x+3=，
x2+3x﹣k=0，
x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣k，
则|x1﹣x2|=4，
即（x1+x2）2﹣4x1x2=16，
∴9+4k=16，
解得，k=，
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共52分）
17．（5分）计算：tan30°﹣cos245°．
【解答】解：原式=×﹣（）2=1﹣=．
18．（5分）解方程：x2﹣5x+6=0．
【解答】解：由原方程，得
（x﹣3）（x﹣2）=0，
∴x﹣3=0，或x﹣2=0，
解得，x=3或x=2．
19．（8分）已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．
（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．
【解答】（1）答：四边形ABCD是菱形．
证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，
∴两个矩形全等，
∴AR=AS，
∵AR•BC=AS•CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴AD=AB=BC=CD=5，
∵BE=3，
∴AE=4，
∴DE=5+4=9，
∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．
20．（8分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
【解答】解：（1）∵一个口袋中有1个黑球和若干个白球，从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
∴假设白球有x个，
∴，
∴x=2．
∴口袋中白球的个数为2个；
（2）∵先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．
∴两次都摸到白球的概率为：．
21．（8分）钓鱼岛自古以来是中国领土，如图，我国海监船正在钓鱼岛A附近海域执法，当巡航至B处时，得知正东方向的C处有一艘渔船出故障，于是我海监船立刻以25海里/小时向正东方向进行救援．已知钓鱼岛A位于B处的北偏东30°方向上，钓鱼岛A位于C处的北偏东45°方向上，且AB=20海里．
（1）渔船在C处故障时，与钓鱼岛A距离AC是多少海里？（结果保留根号）
（2）求经过多少小时海监船能到达C处救援渔船？（=1.732，结果要精确到0.1）
【解答】解：（1）如图：作AD⊥BC于点D，
在直角三角形ABD中，BD=AB•sin30°=10海里，AD=AB•cos30°=30海里，
则在直角三角形ACD中，CD=AD•tan45°=30海里，AC=AB÷sin45°=30海里．
故与钓鱼岛A距离AC是30海里；
（2）BC=BD+CD=10+30=47.32海里，
47.32÷25≈1.9（小时）．
答：大约经过1.9小时海监船能到达C处救援渔船．
22．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500
所以y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500
=﹣5（x﹣80）2+4500
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．
23．（10分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．
【解答】解：（1）∵二次函数与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），
∴代入二次函数解析式可得，
解得，
∴二次函数表达式为y=﹣x2+x+2；
（2）设直线BC解析式为y=kx+b，
∵B（4，0），C（0，2），
∴代入可得，
解得，
∴直线BC解析式为y=﹣x+2，
设Q坐标为（m，0），则可知D点坐标为（m，﹣m+2），
又∵P点在抛物线上，
∴P点坐标为（m，﹣m2+m+2），
当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD=OC=2，
即|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|=2，即|﹣m2+2m|=2，
当﹣m2+2m=2时，解得m=2，则Q坐标为（2，0），
当﹣m2+2m=﹣2时，解得m=2±2，则Q坐标为（2+，0）或（2﹣，0），
综上可知Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）；
（3）设Q点坐标为（n，0），由（2）可知D为（n，﹣n+2），P点坐标为（n，﹣n2+n+2），
∴PD=﹣n2+2n=n（4﹣n），DQ=﹣n+2，
又∵OB=4，
∴BQ=4﹣n，
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，由勾股定理可求得BC=2，
∵OQ∥OC，
∴=，即=，解得BD=，
∵PE⊥BC，PQ⊥QB，
∴∠PED=∠BQD=90°，且∠PDE=∠BDQ，
∴△PED∽△BQD，
∴====，
即==，
解得PE=，DE=（），
∴S=PE•DE=××（）=（﹣n2+4n）2，
令t=﹣n2+4n=﹣（n﹣2）2+4，
∵P在直线BC上方，
∴0＜n＜4，
∴0＜t≤4，且当n=2时，t有最大值4，
此时P点坐标为（2，3），
∴当t=4时，Smax=×42=，
综上可知当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为=．
广东省深圳市潜龙中学九年级（上）期末数学模拟试卷
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）一元二次方程﹣x2+4x=0的根是（ ）
A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=4 C．x1=0，x2=﹣4 D．x1=1，x2=﹣4
2．（3分）如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
4．（3分）如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）m．
A．8.8 B．10 C．12 D．14
5．（3分）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=
6．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
7．（3分）小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
9．（3分）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．（3分）如图，已知点A是直线y=x与反比例函数y=（k＞0，x＞0）的交点，B是y=图象上的另一点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
12．（3分）已知抛物线y=x2﹣4与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线l1，l2，其中l1的顶点为点B，l2的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．无法计算
二、填空题（每小题3分，共12分．）请把答案填在答题卷相应的表格里．
13．（3分）某小区共有学生200人，随机抽查50名学生，其中有30人看中央电视台的晚间新闻．在该小区随便问一位学生，他看中央电视台晚间新闻的概率大约是 ．
14．（3分）将抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线的函数表达式为 ．
15．（3分）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为 m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）
16．（3分）如图，一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A，B两点，AB=4，则k= ．
三、解答题（本题共7小题，共52分）
17．（5分）计算：tan30°﹣cos245°．
18．（5分）解方程：x2﹣5x+6=0．
19．（8分）已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．
（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．
20．（8分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
21．（8分）钓鱼岛自古以来是中国领土，如图，我国海监船正在钓鱼岛A附近海域执法，当巡航至B处时，得知正东方向的C处有一艘渔船出故障，于是我海监船立刻以25海里/小时向正东方向进行救援．已知钓鱼岛A位于B处的北偏东30°方向上，钓鱼岛A位于C处的北偏东45°方向上，且AB=20海里．
（1）渔船在C处故障时，与钓鱼岛A距离AC是多少海里？（结果保留根号）
（2）求经过多少小时海监船能到达C处救援渔船？（=1.732，结果要精确到0.1）
22．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（10分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．
广东省深圳市潜龙中学九年级（上）期末数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（3分）一元二次方程﹣x2+4x=0的根是（ ）
A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=4 C．x1=0，x2=﹣4 D．x1=1，x2=﹣4
【解答】解：方程分解得：﹣x（x﹣4）=0，
可得x=0或x﹣4=0，
解得：x1=0，x2=4，
故选A
2．（3分）如图所示的几何体为圆台，其俯视图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：从几何体的上面看所得到的图形是两个同心圆，
故选：C．
3．（3分）若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是（ ）
A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【解答】解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：D．
4．（3分）如图，为测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端与旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为（ ）m．
A．8.8 B．10 C．12 D．14
【解答】解：因为竹竿和旗杆均垂直于地面，所以构成两个相似三角形，
若设旗杆高x米，
则，
∴x=12．
故选C．
5．（3分）股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（ ）
A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=
【解答】解：设平均每天涨x．
则90%（1+x）2=1，
即（1+x）2=，
故选B．
6．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）
A．（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
【解答】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，
∵C（1，2），
∴点A的坐标为：（2.5，5）
故选：B．
7．（3分）小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：共4种情况，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为．
故选：A．
8．（3分）下列命题中，不正确的是（ ）
A．顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形
B．有一个角是直角的菱形是正方形
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
【解答】解：A、根据菱形的性质和矩形的判定，知正确；
B、根据正方形的判定，知正确；
C、根据正方形的判定，知必须在平行四边形的基础上，故错误；
D、根据等边三角形的判定，知正确．
故选C．
9．（3分）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故选C．
10．（3分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A、D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；
第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；
第三步，连接DE、DF．
若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，
∴AE=DE，AF=DF，
∴∠EAD=∠EDA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠EDA=∠CAD，
∴DE∥AC，
同理DF∥AE，
∴四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE=DF=AF，
∵AF=4，
∴AE=DE=DF=AF=4，
∵DE∥AC，
∴=，
∵BD=6，AE=4，CD=3，
∴=，
∴BE=8，
故选D．
11．（3分）如图，已知点A是直线y=x与反比例函数y=（k＞0，x＞0）的交点，B是y=图象上的另一点，BC∥x轴，交y轴于点C．动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C（图中“→”所示路线）匀速运动，终点为C，过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M，N．设四边形OMPN的面积为S，P点运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：设点P的运动速度为v，
①由于点A在直线y=x上，
故点P在OA上时，四边形OMPN为正方形，
四边形OMPN的面积S=（vt）2，
②点P在反比例函数图象AB时，
由反比例函数系数几何意义，四边形OMPN的面积S=k；
③点P在BC段时，设点P运动到点C的总路程为a，
则四边形OMPN的面积=OC•（a﹣vt）=﹣t+，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选：B．
12．（3分）已知抛物线y=x2﹣4与y轴交于点A，与x轴分别交于B、C两点，将该抛物线分别平移后得到抛物线l1，l2，其中l1的顶点为点B，l2的顶点为点C，则有这三条抛物线所围成的图形（图中阴影部分）的面积为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．无法计算
【解答】解：∵y=x2﹣4=（x+2）（x﹣2），
∴B（﹣2，0），C（2，0），
则BC=4．
又当x=0时，y=﹣4，
则A（0，﹣4），
故OA=4．
∴抛物线l1是由抛物线y=x2﹣4向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，抛物线l2是由抛物线y=x2﹣4向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，
∴S阴影=2S△ABC=2××4×4=16．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共12分．）请把答案填在答题卷相应的表格里．
13．（3分）某小区共有学生200人，随机抽查50名学生，其中有30人看中央电视台的晚间新闻．在该小区随便问一位学生，他看中央电视台晚间新闻的概率大约是 ．
【解答】解：根据题意，随机调查的有50人，其中30人看中央电视台的晚间新闻，
则在被调查的人中，看中央电视台晚间新闻的概率为 =，
根据用样本估计总体的方法，
可得在该小区随便问一学生，他（她）看中央电视台晚间新闻的概率也是 ．
故选答案为．
14．（3分）将抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得的抛物线的函数表达式为 y=﹣2（x﹣1）2+3或y=﹣2x2+4x+1 ．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，那么新抛物线的顶点为：（1，3）．可设新抛物线的解析式为y=（x﹣h）2+k，代入得y=﹣2（x﹣1）2+3．
故答案是：y=﹣2（x﹣1）2+3或y=﹣2x2+4x+1．
15．（3分）如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为 15.3 m（精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，，1.73）
【解答】解：在Rt△ACD中，CD=21m，∠DAC=30°，
则AC=CD≈36.3m；
在Rt△BCD中，∠DBC=45°，
则BC=CD=21m，
故AB=AC﹣BC=15.3m．
故答案为：15.3．
16．（3分）如图，一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象相交于A，B两点，AB=4，则k= ．
【解答】解：过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条直线交于点C，
由直线y=x+3的特点可知，△ABC为等腰直角三角形，
∴BC=AB=4，
由题意得，x+3=，
x2+3x﹣k=0，
x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣k，
则|x1﹣x2|=4，
即（x1+x2）2﹣4x1x2=16，
∴9+4k=16，
解得，k=，
故答案为：．
三、解答题（本题共7小题，共52分）
17．（5分）计算：tan30°﹣cos245°．
【解答】解：原式=×﹣（）2=1﹣=．
18．（5分）解方程：x2﹣5x+6=0．
【解答】解：由原方程，得
（x﹣3）（x﹣2）=0，
∴x﹣3=0，或x﹣2=0，
解得，x=3或x=2．
19．（8分）已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN．
（1）将两个矩形叠合成如图10，求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若菱形ABCD的周长为20，BE=3，求矩形BEDG的面积．
【解答】（1）答：四边形ABCD是菱形．
证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE=BN，DE=DN，
∴两个矩形全等，
∴AR=AS，
∵AR•BC=AS•CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴AD=AB=BC=CD=5，
∵BE=3，
∴AE=4，
∴DE=5+4=9，
∴矩形BEDG的面积为：3×9=27．
20．（8分）一个口袋中有1个黑球和若干个白球，这些球除颜色外其他都相同．已知从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
（1）求口袋中白球的个数；
（2）如果先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．用列表法或画树状图法加以说明．
【解答】解：（1）∵一个口袋中有1个黑球和若干个白球，从中任意摸取一个球，摸得黑球的概率为．
∴假设白球有x个，
∴，
∴x=2．
∴口袋中白球的个数为2个；
（2）∵先随机从口袋中摸出一球，不放回，然后再摸出一球，求两次摸出的球都是白球的概率．
∴两次都摸到白球的概率为：．
21．（8分）钓鱼岛自古以来是中国领土，如图，我国海监船正在钓鱼岛A附近海域执法，当巡航至B处时，得知正东方向的C处有一艘渔船出故障，于是我海监船立刻以25海里/小时向正东方向进行救援．已知钓鱼岛A位于B处的北偏东30°方向上，钓鱼岛A位于C处的北偏东45°方向上，且AB=20海里．
（1）渔船在C处故障时，与钓鱼岛A距离AC是多少海里？（结果保留根号）
（2）求经过多少小时海监船能到达C处救援渔船？（=1.732，结果要精确到0.1）
【解答】解：（1）如图：作AD⊥BC于点D，
在直角三角形ABD中，BD=AB•sin30°=10海里，AD=AB•cos30°=30海里，
则在直角三角形ACD中，CD=AD•tan45°=30海里，AC=AB÷sin45°=30海里．
故与钓鱼岛A距离AC是30海里；
（2）BC=BD+CD=10+30=47.32海里，
47.32÷25≈1.9（小时）．
答：大约经过1.9小时海监船能到达C处救援渔船．
22．（8分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500
所以y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500
=﹣5（x﹣80）2+4500
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．
23．（10分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），点P是抛物线上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，交直线BC于点D．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标；
（3）如图2，当点P位于直线BC上方的抛物线上时，过点P作PE⊥BC于点E，设△PDE的面积为S，求当S取得最大值时点P的坐标，并求S的最大值．
【解答】解：（1）∵二次函数与x轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，2），
∴代入二次函数解析式可得，
解得，
∴二次函数表达式为y=﹣x2+x+2；
（2）设直线BC解析式为y=kx+b，
∵B（4，0），C（0，2），
∴代入可得，
解得，
∴直线BC解析式为y=﹣x+2，
设Q坐标为（m，0），则可知D点坐标为（m，﹣m+2），
又∵P点在抛物线上，
∴P点坐标为（m，﹣m2+m+2），
当P、D、O、C为顶点的四边形为平行四边形时，则有PD=OC=2，
即|﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）|=2，即|﹣m2+2m|=2，
当﹣m2+2m=2时，解得m=2，则Q坐标为（2，0），
当﹣m2+2m=﹣2时，解得m=2±2，则Q坐标为（2+，0）或（2﹣，0），
综上可知Q点坐标为（2，0）或（2+2，0）或（2﹣2，0）；
（3）设Q点坐标为（n，0），由（2）可知D为（n，﹣n+2），P点坐标为（n，﹣n2+n+2），
∴PD=﹣n2+2n=n（4﹣n），DQ=﹣n+2，
又∵OB=4，
∴BQ=4﹣n，
在Rt△OBC中，OC=2，OB=4，由勾股定理可求得BC=2，
∵OQ∥OC，
∴=，即=，解得BD=，
∵PE⊥BC，PQ⊥QB，
∴∠PED=∠BQD=90°，且∠PDE=∠BDQ，
∴△PED∽△BQD，
∴====，
即==，
解得PE=，DE=（），
∴S=PE•DE=××（）=（﹣n2+4n）2，
令t=﹣n2+4n=﹣（n﹣2）2+4，
∵P在直线BC上方，
∴0＜n＜4，
∴0＜t≤4，且当n=2时，t有最大值4，
此时P点坐标为（2，3），
∴当t=4时，Smax=×42=，
综上可知当P为（2，3）时，S有最大值，最大值为=．
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