北师大版九年级下册第二章 二次函数1 二次函数学案设计

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）

【学习目标】

1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；

2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．

【要点梳理】

要点一、用待定系数法求二次函数解析式

1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：

    (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；

    (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；

    (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，

或，其中a≠0；

    第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；

    第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；

    第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．

要点诠释：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．

【典型例题】

类型一、用待定系数法求二次函数解析式

1. 已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.

图1

【答案与解析】

  设所求抛物线的解析式为（）.

由图象可知A，B，C的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.

解之，得

抛物线的解析式为

该抛物线的顶点坐标为.

【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围.

2. （2020•丹阳市校级模拟）形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为　           　．

【思路点拨】形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为y=﹣2（x﹣h）2+k，其中（h，k）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式．

【答案】y=﹣2x2﹣5．

【解析】

  解：∵形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，

设抛物线的关系式为y=﹣2（x﹣h）2+k，

将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=﹣2（x﹣0）2﹣5，即y=﹣2x2﹣5．

∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5．

【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．

3.  已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.

【答案与解析】

因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，

所以两交点的横坐标分别为： ，， 则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法：

解法：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a≠0)，把（2，0）代入得，

所以抛物线的函数关系式为；

解法：设抛物线的函数关系式为两点式：(a≠0)，

把（－1，4）代入得，

所以抛物线的函数关系式为：；

【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.

举一反三：

【变式】（2014•永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式　              ．

【答案】y=﹣x2﹣2x+　.

提示：设抛物线的解析式为y=a（x+2）2+，

将点（1，0）代入，得a（1+2）2+=0，

解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+，

∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+．

类型二、用待定系数法解题

4.（2020春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，

（1）求二次函数的解析式；

（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．

【答案与解析】

解：（1）由二次函数图象知，函数与x轴交于两点（﹣1，0），（3，0），

设其解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），

又∵函数与y轴交于点（0，2），

代入解析式得，

a×（﹣3）=2，

∴a=﹣，

∴二次函数的解析式为：，即；

（2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1，

当x=1时，y=﹣×2×（﹣2）=，

∴△ABP的面积S===．

【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.

【答案与解析】

(1)把A(2，0)，B(0，-6)代入

得  解得

∴ 这个二次函数的解析式为．

(2)∵ 该抛物线的对称轴为直线，

∴ 点C的坐标为(4，0)，

∴ AC＝OC-OA＝4-2＝2．

∴ ．

【总结升华】求△ABC的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解．(1)将A、B两点坐标分别代入解析式求出b，c的值．(2)先求出点C的坐标再求出△ABC的面积．

举一反三：

【变式】已知二次函数图象的顶点是，且过点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）求证：对任意实数，点都不在这个二次函数的图象上.

【答案】（1）；

（2）证明：若点在此二次函数的图象上，则． 

得．

△=，该方程无实根．

            所以原结论成立．