初中数学北师大版九年级下册1 二次函数导学案

待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（基础）

【学习目标】

1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；

2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．

【要点梳理】

要点一、用待定系数法求二次函数解析式

1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：

    (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；

    (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；

    (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，

或，其中a≠0；

    第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；

    第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；

    第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．

要点诠释：

在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．

【典型例题】

类型一、用待定系数法求二次函数解析式

1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.

【答案与解析】

本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：

解得　　

∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.

【总结升华】若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式：y=ax2+bx+c (a≠0).

举一反三：

【变式】（2020秋•岳池县期末）已知二次函数图象过点O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6），求函数的解析式和对称轴．

【答案与解析】

解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

把O（0，0）、A（1，3）、B（﹣2，6）各点代入上式得

解得，

∴抛物线解析式为y=2x2+x；

∴抛物线的对称轴x=﹣=﹣=﹣．

 2．（2020•巴中模拟）已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），且经过点N（2，3），求此二次函数的解析式．

【答案与解析】

解：已知抛物线的顶点坐标为M（1，﹣2），

设此二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，

把点（2，3）代入解析式，得：

a﹣2=3，即a=5，

∴此函数的解析式为y=5（x﹣1）2﹣2．

【总结升华】本题已知顶点，可设顶点式.

举一反三：

【变式】在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与轴的另一个交点的坐标.

【答案】（1）．

（2）令，得，解方程，得，．

∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．

∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．

平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为.

3．（2020•丹阳市校级模拟）抛物线的图象如图，则它的函数表达式是　            　．当x　              　时，y＞0．

【思路点拨】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交点式用待定系数法得到二次函数的解析式．y＞0时，求x的取值范围，即求抛物线落在x轴上方时所对应的x的值．

【答案】y=x2﹣4x+3．x＜1，或x＞3

【解析】

解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），

由“交点式”，得抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），

将（0，3）代入，

3=a（0﹣1）（0﹣3），

解得a=1．

故函数表达式为y=x2﹣4x+3．

由图可知当x＜1，或x＞3时，y＞0．

【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

类型二、用待定系数法解题

4．已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．

    (1)求二次函数解析式；

    (2)求△ABC的面积．

【答案与解析】

(1)设抛物线解析式为(a≠0)，将(3，5)代入得，

∴  ．

∴  ．

     即．

(2)由(1)知C(0，8)，

∴  ．

【总结升华】此题容易误将(3，5)当成抛物线顶点．将抛物线解析式设成顶点式．