广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷

这是一份广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷
　
一、
1．（3分）如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为（　　）

A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．m D．m
2．（3分）如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（　　）

A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
3．（3分）在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（　　）

A．60° B．55° C．45° D．30°
4．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（　　）

A． B． C．1 D．1.5
5．（3分）如图，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，连接AN，BM，交于点P，连接DN，CM，交于点Q，则以下结论错误的是（　　）

A．AP=PN B．NQ=QD
C．四边形PQNM是矩形 D．△ABN是等边三角形
6．（3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（　　）

A．16 B．17 C．18 D．19
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2，则平行四边形ABCD的周长是（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8
8．（3分）已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是（　　）

A．4 B．2 C．1 D．
　
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
9．（3分）如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正确的结论是　　．（把你认为正确结论的序号都填上）．

10．（3分）如图，平面直角坐标系中正方形ABCD，已知A（1，0），B（0，3），则sin∠COA=　　．

11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E．若BC=8，△AOE的面积为20，则sin∠BOE的值为　　．

12．（3分）（1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为　　．
（2）如图，矩形ABCD中，E．F分别是AD和CD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，则BC的长为　　．
（3）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，BC=4，则DF的长为　　．

　
三、解答题（共6小题，满分39分）
13．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

14．（12分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

15．（9分）在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

16．如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．

18．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．

19．（10分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，并且OA、OC的长满足：|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1与x轴交于点D，求直线BB1的解析式．
（3）在直线AC上是否存在点P使PB1+PD的值最小？若存在，请找出点P的位置，并求出PB1+PD的最小值；若不存在，请说明理由．
（4）在直线AC上是否存在点P使|PD﹣PB|的值最大？若存在，请找出点P的位置，并求出|PD﹣PB|最大值．

　

广东省深圳市宝安区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
　
一、
1．（3分）如图，某地夏季中午，当太阳移至房顶上方偏南时，光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m，要在窗子外面上方安装水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板的宽度AC为（　　）

A．1.8tan80°m B．1.8cos80°m C．m D．m
【解答】解：∵光线与地面成80°角，∴∠ACB=80°．
又∵tan∠ACB=，
∴AC=．
故选D．
　
2．（3分）如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（　　）

A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
【解答】解：如图所示，作BD⊥CA于D点．
∵∠BAC=150°，
∴∠DAB=30°，
∵AB=20米，
∴BD=20sin30°=10米，
∴S△ABC=×30×10=150（米2）．
已知这种草皮每平方米a元，
所以一共需要150a元．
故选C．

　
3．（3分）在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（　　）

A．60° B．55° C．45° D．30°
【解答】解：如图，连接AC，
∵AE⊥BC，点E是BC的中点，
∴AB=AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAE=30°，
同理可得∠CAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=30°+30°=60°．
故选A．

　
4．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（　　）

A． B． C．1 D．1.5
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC=90°，AD=BC=2，CD=AB=，OA=OC=AC，
∴AC==，
∴OA=，
∵OE⊥AC，
∴∠AOE=90°，
∴∠AOE=∠ADC，
又∵∠OAE=∠DAC，
∴△AOE∽△ADC，
∴，
即，
∴AE=1.5；
故选：D．
　
5．（3分）如图，M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，且AD=2AB，连接AN，BM，交于点P，连接DN，CM，交于点Q，则以下结论错误的是（　　）

A．AP=PN B．NQ=QD
C．四边形PQNM是矩形 D．△ABN是等边三角形
【解答】解：连接MN，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵M，N分别是平行四边形ABCD的对边AD，BC的中点，
∴AM=AD，BN=BC，
∴AM∥BN，AM=BN，
∴四边形ABNM是平行四边形，
∴AP=PN；
同理NQ=QD；
∴A、B正确；
∵AM∥CN，AM=CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴AN∥MC，
同理：BM∥ND，
∴四边形MPNQ是平行四边形，
∵AD=2AB，
∴AB=AM，
∴四边形ABNM是菱形，
∴AN⊥BM，
∴∠MPN=90°，
∴四边形MPNQ是矩形；
∴C正确，D不正确；
故选：D．

　
6．（3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（　　）

A．16 B．17 C．18 D．19
【解答】解：如图，
设正方形S1的边长为x，
∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，
∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，
∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，
∴AC=BC=2CD，
又∵AD=AC+CD=6，
∴CD==2，
∴EC2=22+22，即EC=2；
∴S1的面积为EC2=2×2=8；
∵∠MAO=∠MOA=45°，
∴AM=MO，
∵MO=MN，
∴AM=MN，
∴M为AN的中点，
∴S2的边长为3，
∴S2的面积为3×3=9，
∴S1+S2=8+9=17．
故选B．

　
7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45°，且AE+AF=2，则平行四边形ABCD的周长是（　　）

A．2 B．4 C．4 D．8
【解答】解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=45°，
∴∠C=180°﹣90°﹣90°﹣45°=135°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=180°﹣∠C=45°，
∴AB=AE，AD=AF，
∴AB+AD=（AE+AF）=×2=4，
∴平行四边形ABCD的周长是：4×2=8．
故选D．
　
8．（3分）已知，如上右图，动点P在函数y=（x＞0）的图象上运动，PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，线段PM、PN分别与直线AB：y=﹣x+1相交于点E，F，则AF•BE的值是（　　）

A．4 B．2 C．1 D．
【解答】解：作FG⊥x轴，
∵P的坐标为（a，），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐标为（0，），M点的坐标为（a，0），
∴BN=1﹣，
在直角三角形BNF中，∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形），
∴NF=BN=1﹣，
∴F点的坐标为（1﹣，），
同理可得出E点的坐标为（a，1﹣a），
∴AF2=（1﹣1+）2+（）2=，BE2=（a）2+（﹣a）2=2a2，
∴AF2•BE2=•2a2=1，即AF•BE=1．
故选C．

　
二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）
9．（3分）如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE．有下列四个结论：
①△CEF与△DEF的面积相等；
②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；
④AC=BD．
其中正确的结论是　①②④　．（把你认为正确结论的序号都填上）．

【解答】解：设点D的坐标为（x，），则F（x，0）．
由函数的图象可知：x＞0，k＞0．
∴S△DFE=DF•OF=|xD|•||=k，
同理可得S△CEF=k，
故S△DEF=S△CEF．
若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF．
①由上面的解题过程可知：①正确；
②∵CD∥EF，即AB∥EF，∴△AOB∽△FOE，故②正确；
③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；
④法一：∵CD∥EF，DF∥BE，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∴S△DEF=S△BED，
同理可得S△ACF=S△ECF；
由①得：S△DBE=S△ACF．
又∵CD∥EF，BD、AC边上的高相等，
∴BD=AC，④正确；
法2：∵四边形ACEF，四边形BDEF都是平行四边形，
而且EF是公共边，
即AC=EF=BD，
∴BD=AC，④正确；
因此正确的结论有3个：①②④．
　
10．（3分）如图，平面直角坐标系中正方形ABCD，已知A（1，0），B（0，3），则sin∠COA=　　．

【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，
∵A（1，0），B（0，3），
∴OA=1，OB=3，
在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，
∵∠ABO+∠CBE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ABO=∠BCE，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA=BE=1，CE=OB=3，
∴OE=OB+BE=3+1=4，
在Rt△OCE中，OC===5，
∵CE⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴CE∥x轴，
∴∠OCE=∠COA，
∴sin∠COA=sin∠OCE==．
故答案为：．

　
11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E．若BC=8，△AOE的面积为20，则sin∠BOE的值为　　．

【解答】解：如图，

连接EC．
由题意可得，OE为对角线AC的垂直平分线，
∴CE=AE，S△AOE=S△COE=5，
∴S△AEC=2S△AOE=20．
∴AE•BC=20，又BC=8，
∴AE=5，
∴EC=5．
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE==3．
∵∠AEO+∠EAO=90°，∠AEO=∠BOE+∠ABO，
∴∠BOE+∠ABO+∠EAO=90°，又∠ABO=90°﹣∠OBC=90°﹣（∠BCE+∠ECO）
∴∠BOE+[90°﹣（∠BCE+∠ECO）]+∠EAO=90°，
化简得：∠BOE﹣∠BCE﹣∠ECO+∠EAO=0，
∵OE为AC中垂线，
∴∠EAO=∠ECO．
代入上式得：∠BOE=∠BCE．
∴sin∠BOE=sin∠BCE==．
故答案为：．
　
12．（3分）（1）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为　2　．
（2）如图，矩形ABCD中，E．F分别是AD和CD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，则BC的长为　2　．
（3）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，BC=4，则DF的长为　　．

【解答】解：（1）如图1，过点E作EM⊥BC于M，交BF于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°，AD=BC，
∵∠EMB=90°，
∴四边形ABME是矩形，
∴AE=BM，
由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，
∴EG=BM，
∵∠ENG=∠BNM，
在△ENG与△BNM中，
，
∴△ENG≌△BNM（AAS），
∴NG=NM，
∴CM=DE，
∵E是AD的中点，
∴AE=ED=BM=CM，
∵EM∥CD，
∴BN：NF=BM：CM，
∴BN=NF，
∴NM=CF=，
∴NG=，
∵BG=AB=CD=CF+DF=3，
∴BN=BG﹣NG=3﹣=，
∴BF=2BN=5
∴BC==2．
故答案为：=2．
（2）解：如图2，连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=1，
由折叠的性质可得AE=GE，
∴GE=DE，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，

∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴GF=DF=1，
∴BF=BG+GF=AB+DF=2+1=3，
在Rt△BCF中，
BC==2．
故答案为：2．
（3）解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG，
∵在矩形ABCD中，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°，
在Rt△EDF和Rt△EGF中，
，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF（HL），
∴DF=FG，
设DF=x，则CD=AB=x+1，BF=2x+1，
∴12+42=（2x+1）2，
解得：x=；
故答案为：．


　
三、解答题（共6小题，满分39分）
13．（8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
（1）求证：四边形ADCE为矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．

【解答】（1）证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE=∠CAE，
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=180°=90°，
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC=∠CEA=90°，
∴四边形ADCE为矩形．

（2）当△ABC满足∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
理由：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=45°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD=∠ACD=45°，
∴DC=AD，
∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．
　
14．（12分）如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上．
（1）求证：CE=CF；
（2）若等边三角形AEF的边长为2，求正方形ABCD的周长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF．
又BC=DC，
∴BC﹣BE=DC﹣DF，即EC=FC
∴CE=CF，

（2）解：连接AC，交EF于G点，
∵△AEF是等边三角形，△ECF是等腰直角三角形，
∴AC⊥EF，
在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=×2=1，
∴EC=，
设BE=x，则AB=x+，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即（x+）2+x2=4，
解得x1=，x2=（舍去）
∴AB=+=，
∴正方形ABCD的周长为4AB=2+2．

　
15．（9分）在矩形ABCD中，DC=2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．
（1）求证：△DEC∽△FDC；
（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．

【解答】解：（1）∵∠DEC=∠FDC=90°，∠DCE=∠FCD，
∴△DEC∽△FDC．

（2）∵F为AD的中点，AD∥BC，
∴FE：EC=FD：BC=1：2，FB=FC，
∴FE：FC=1：3，
∴sin∠FBD=EF：BF=EF：FC=；
设EF=x，则FC=3x，
∵△DEC∽△FDC，
∴=，即可得：6x2=12，
解得：x=，
则CF=3，
在Rt△CFD中，DF==，
∴BC=2DF=2．
　
16．如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）．

【解答】解：作AE⊥CE于E，设大堤的高度为h，点A到点B的水平距离为a，

∵i=1：=，
∴坡AB与水平的角度为30°，
∴，即得h==10m，
，即得a=，
∴MN=BC+a=（30+10）m，
∵测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°，
∴，
解得：DN=MN•tan30°=（30+10）×=10+10≈27.32（m），
∴CD=DN+AM+h=27.32+1.7+10=39.02≈39.0（m）．
答：髙压电线杆CD的髙度约为39.0米．
　
18．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，试求CD的长．

【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC=12，
∴BC=AC=12
∵AB∥CF，
∴BM=BC×sin45°=12×=12
CM=BM=12，
在△EFD中，∠F=90°，∠E=30°，
∴∠EDF=60°，
∴MD=BM÷tan60°=4，
∴CD=CM﹣MD=12﹣4．

　
19．（10分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，并且OA、OC的长满足：|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）把△ABC沿AC对折，点B落在点B1处，AB1与x轴交于点D，求直线BB1的解析式．
（3）在直线AC上是否存在点P使PB1+PD的值最小？若存在，请找出点P的位置，并求出PB1+PD的最小值；若不存在，请说明理由．
（4）在直线AC上是否存在点P使|PD﹣PB|的值最大？若存在，请找出点P的位置，并求出|PD﹣PB|最大值．

【解答】解：（1）∵|OA﹣2|+（OC﹣6）2=0．
∴OA=2，OC=6，
∴A（0，2），C（6，0），
∵四边形OABC为矩形，
∴BC=OA=2，
∴B（6，2）；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A、C坐标代入可得，
解得，
∴直线AC的解析式为y=﹣x+2，
由折叠的性质可知AC⊥BB1，
∴可设直线BB1的解析式为y=x+m，
把B点坐标代入可得2=6+m，
解得m=﹣4，
∴直线BB1的解析式为y=x﹣4；
（3）由（2）可知B和B1关于直线AC对称，
如图1，连接BD交AC于点P，

则PB=PB1，
∴PD+PB=PD+PB1=BD，
∴此时PD+PB1最小，
由折叠的性质可知B1C=BC=OA=2，∠AOD=∠CB1D=90°，
在△AOD和△CB1D中，
，
∴△AOD≌△CB1D（AAS），
∴AD=DC，OD=DB1，
设OD=x，则DC=AD=6﹣x，且OA=2，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO2+OD2=AD2，即（2）2+x2=（6﹣x）2，解得x=2，
∴CD=AD=6﹣2=4，
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BD===2，
综上可知存在使PB1+PD的值最小的点P，PB1+PD的最小值为2；
（4）如图2，连接PB、PD、BD，
当p在点A时|PD﹣PB|最大，B与B1对称，|PD﹣PB|=|PD﹣PB1|，根据三角形三边关系|PD﹣PB1|小于或等于DB1，故|PD﹣PB1|的最大值等于DB1．
∵AB1=AB=6，
AD==4，
∴DB1=2，
∴在直线AC上，存在点P使|PD﹣PB|的值最大，最大值为：2．