广东省深圳市南山区中考数学一模试卷

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广东省深圳市南山区中考数学一模试卷
　
一.选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）
1．（3分）﹣2015的倒数是（　　）
A．2015 B．﹣2015 C．﹣ D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2=a4 B．2a2﹣a2=2 C．a2•a3=a6 D．（2a）3=8a3
3．（3分）2015年春运第一天，某市海陆空铁共发送旅客228100人次，迎来春运客流量的首次高峰，将这个数据精确到万位，用科学记数法表示为（　　）
A．0.23×106 B．2.2×104 C．22.8×104 D．2.3×105
4．（3分）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图为（　　）

A． B． C． D．
5．（3分）已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（　　）
A．方差是8.02 B．中位数是9 C．众数是5 D．极差是9
6．（3分）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．120°
7．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）

A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA
10．（3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（　　）
同学
甲
乙
丙
丁
放出风筝线长
140m
100m
95m
90m
线与地面夹角
30°
45°
45°
60°
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
11．（3分）下列命题中，正确的有（　　）
①平分弦的直径垂直于弦；
②三角形的三个顶点确定一个圆；
③圆内接四边形的对角相等；
④圆的切线垂直于过切点的半径；
⑤过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（3分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（　　）

A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）
　
二、填空题．（本题共4题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：﹣x2y+2xy﹣y=　　．
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣a=0有两个实数根，则a的取值范围是　　．
15．（3分）如图，ABCD为正方形，A，E，F，G在同一条直线上，并且AE=5厘米，EF=3厘米，那么FG=　　厘米．

16．（3分）如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y=﹣（x＜0）上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式为　　．

　
三、解答题（本体共7小题，其中第17小题5分，第18小题6分，第19小题6分，第20小题7分，第21小题9分，第22小题9分，第23小题10分，共52分）
17．（5分）计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．
18．（6分）先化简（﹣）÷，然后在﹣1，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
19．（6分）如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，，求AC•EF的值．

20．（7分）在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A﹣结伴步行、B﹣自行乘车、C﹣家人接送、D﹣其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）请补全扇形统计图，并在图中标出“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数；
（4）如果该校学生有2080人，请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人？

21．（9分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

22．（9分）如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，D为优弧AC上的一点，ED为⊙O的一条弦，交AB于点H，交AC于点F，过点C画⊙O的切线交ED的延长线于点P，且PC=PF．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）当点D为优弧AC的中点时，连接AD，若DF=3、AD=4，求EF的长及sin∠BED的值．

23．（10分）已知抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，（点B在点A的左侧）且A，B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（8，0），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q，交BD于点M．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？
（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
　

广东省深圳市南山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
　
一.选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分．每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）
1．（3分）﹣2015的倒数是（　　）
A．2015 B．﹣2015 C．﹣ D．
【解答】解：﹣2015的倒数是﹣．
故选：C．
　
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2+a2=a4 B．2a2﹣a2=2 C．a2•a3=a6 D．（2a）3=8a3
【解答】解：A、a2+a2=2a2，故本选项错误；
B、2a2﹣a2=a2，故本选项错误；
C、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；
D、（2a）3=8a3，故本选项正确．
故选D．
　
3．（3分）2015年春运第一天，某市海陆空铁共发送旅客228100人次，迎来春运客流量的首次高峰，将这个数据精确到万位，用科学记数法表示为（　　）
A．0.23×106 B．2.2×104 C．22.8×104 D．2.3×105
【解答】解：228100=2.3×105，
故选：D．
　
4．（3分）如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的主视图为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层最右边有一个正方形，最左边有一个正方形，中间没有没有正方形．
故选B．
　
5．（3分）已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（　　）
A．方差是8.02 B．中位数是9 C．众数是5 D．极差是9
【解答】解：∵，
∴S2=[（12﹣9）2+（5﹣9）2+（9﹣9）2+（5﹣9）2+（14﹣9）2]=13.2，故A正确；
中位数为9，故B错误；
众数为：5，故C错误；
极差为：14﹣5=9，故D错误；
故选A．
　
6．（3分）如图两平行线a、b被直线l所截，且∠1=60°，则∠2的度数为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．120°
【解答】解：∵a∥b，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=∠3=60°．
故选：C．

　
7．（3分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
故选B．
　
8．（3分）某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，
∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1，
∵在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，
∴遇到黄灯的概率为1﹣﹣=；
故选：D．
　
9．（3分）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）

A．AB=AC B．BD=CD C．∠B=∠C D．∠BDA=∠CDA
【解答】解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；
B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；
C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；
D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．
故选：B．
　
10．（3分）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是（　　）
同学
甲
乙
丙
丁
放出风筝线长
140m
100m
95m
90m
线与地面夹角
30°
45°
45°
60°
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：如图，
甲中，AC=140m，∠C=30°，AB=140×sin30°=70m；
乙中，DF=100m，∠D=45°，DE=100×sin45°=50≈70.71m；
丙中，GI=95m，∠I=45°，GH=95×sin45°=≈67.18m；
丁中，JL=90m，∠L=60°，JK=90×sin60°=45≈77.9m．
可见JK最大，故选D．

　
11．（3分）下列命题中，正确的有（　　）
①平分弦的直径垂直于弦；
②三角形的三个顶点确定一个圆；
③圆内接四边形的对角相等；
④圆的切线垂直于过切点的半径；
⑤过圆外一点所画的圆的两条切线长相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以①错误；
三角形的三个顶点确定一个圆，所以②正确；
圆内接四边形的对角互补，所以③错误；
圆的切线垂直于过切点的半径，所以④正确；
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等，所以⑤正确．
故选C．
　
12．（3分）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（　　）

A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4）
【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，
∵四边形AOBC是矩形，
∴AC∥OB，AC=OB，
∴∠CAF=∠BOE=∠CHO，
在△ACF和△OBE中，
，
∴△CAF≌△BOE（AAS），
∴BE=CF=4﹣1=3，
∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，
∴∠AOD=∠OBE，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△AOD∽△OBE，
∴，
即，
∴OE=，
即点B（，3），
∴AF=OE=，
∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）=﹣，
∴点C（﹣，4）．
故选：B．

　
二、填空题．（本题共4题，每小题3分，共12分）
13．（3分）分解因式：﹣x2y+2xy﹣y=　﹣y（x﹣1）2　．
【解答】解：原式=﹣y（x2﹣2x+1）
=﹣y（x﹣1）2．
故答案为：﹣y（x﹣1）2．
　
14．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x﹣a=0有两个实数根，则a的取值范围是　a≥﹣4　．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣a=0有两个实数根，
∴△=42﹣4（﹣a）≥0，
∴a≥﹣4．
故答案为a≥﹣4．
　
15．（3分）如图，ABCD为正方形，A，E，F，G在同一条直线上，并且AE=5厘米，EF=3厘米，那么FG=　　厘米．

【解答】解：由ABCD为正方形，得AD∥BG，AB∥CD，
∴△AED∽△GEB，
∴=，
由△AEB∽△FED得
=，
∴，
∴=（厘米）．

　
16．（3分）如图，点A（a，1）、B（﹣1，b）都在双曲线y=﹣（x＜0）上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式为　y=x+1　．

【解答】解：分别把点A（a，1）、B（﹣1，b）代入双曲线y=﹣得a=﹣2，b=2，则点A的坐标为（﹣2，1）、B点坐标为（﹣1，2），
作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点坐标为（﹣2，﹣1），D点坐标为（1，2），
连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形PABQ的周长最小，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把C（﹣2，﹣1），D（1，2）分别代入，
解得，
所以直线CD的解析式为y=x+1．
故答案为：y=x+1．

　
三、解答题（本体共7小题，其中第17小题5分，第18小题6分，第19小题6分，第20小题7分，第21小题9分，第22小题9分，第23小题10分，共52分）
17．（5分）计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．
【解答】解：原式=4﹣4+1﹣
=1﹣2
=﹣1．
　
18．（6分）先化简（﹣）÷，然后在﹣1，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【解答】解：原式=•=x+1，
当x=2时，原式=3．
　
19．（6分）如图，将平行四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在点G处，
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）连接AC，若平行四边形ABCD的面积为8，，求AC•EF的值．

【解答】（1）证明：∵将▱ABCD纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，
∴AO=CO，∠AOF=∠COE=90°，AD=BC，FG=DF，
在△AOF和△COE中．
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴EO=FO，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴平行四边形AECF是菱形，
（2）解：∵▱ABCD与菱形AECF同高，，
∴▱ABCD与菱形AECF的面积的比为：3：2，
∵平行四边形ABCD的面积为8，
∴菱形AECF的面积为，
∵AC⊥EF，
∴菱形AECF的面积为：×AC×EF=，
∴AC•EF=．

　
20．（7分）在以“关爱学生、安全第一”为主题的安全教育宣传月活动中，某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A﹣结伴步行、B﹣自行乘车、C﹣家人接送、D﹣其他方式，并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次抽查的学生人数是多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）请补全扇形统计图，并在图中标出“自行乘车”对应扇形的圆心角的度数；
（4）如果该校学生有2080人，请你估计该校“家人接送”上学的学生约有多少人？

【解答】解：（1）根据题意得：30÷25%=120（人），
则本次抽查的学生人数是120人；

（2）“结伴步行”的人数为120﹣（42+30+18）=30（人），
补全统计图，如图所示：


（3）“结伴步行”所占的百分比为×100%=25%；“自行乘车”所占的百分比为×100%=35%，
“自行乘车”在扇形统计图中占的度数为360°×35%=126°，补全扇形统计图，如图所示；

（4）估计该校“家人接送”上学的学生约有2080×25%=520（人）．
　
21．（9分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．
（1）若花园的面积为192m2，求x的值；
（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．

【解答】解：（1）∵AB=x，则BC=（28﹣x），
∴x（28﹣x）=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12或16；

（2）∵AB=xm，
∴BC=28﹣x，
∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28﹣15=13，
∴6≤x≤13，
∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
　
22．（9分）如图，已知AB，AC分别是⊙O的直径和弦，D为优弧AC上的一点，ED为⊙O的一条弦，交AB于点H，交AC于点F，过点C画⊙O的切线交ED的延长线于点P，且PC=PF．
（1）求证：AB⊥ED；
（2）当点D为优弧AC的中点时，连接AD，若DF=3、AD=4，求EF的长及sin∠BED的值．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵PC为⊙O的切线，
∴∠OCP=∠FCP+∠OCF=90°，
∵PC=PF，
∴∠PCF=∠PFC，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∵∠CFP=∠AFH，
∴∠AFH+∠OAC=90°，
∴∠AHF=90°，
即：AB⊥ED．

（2）连接AE．
∵点D是弧AC中点，
∴∠DAF=∠DEA，
∵∠ADE=∠ADE，
∴△DAF∽△DEA，
∴AD：ED=FD：AD，
∴AD2=DE•DF．
∴DE===，
∴EF=DE﹣DF=，
∵∠DAB=∠BED，
∴sin∠BED=sin∠DAB===．

　
23．（10分）已知抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A，B两点，（点B在点A的左侧）且A，B两点的坐标分别为（﹣2，0）、（8，0），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线L交抛物线于点Q，交BD于点M．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OB上运动时，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？
（3）在（2）的结论下，试问抛物线上是否存在点N（不同于点Q），使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴交于A（﹣2，0），B（8，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；
（2）∵C（0，﹣4）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则，
解得k=﹣，b=4．
∴直线BD的解析式为y=﹣x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，﹣m+4），点Q的坐标为（m，m2﹣m﹣4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（﹣m+4）﹣（ m2﹣m﹣4）=4﹣（﹣4）．
化简得：m2﹣4m=0，
解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形；
（3）要使三角形BCN的面积等于三角形BCQ的面积，
N点到BC的距离与Q到BC的距离相等；所以过M或Q点的斜率为的 直线与抛物线的交点即为所求
M（4，2），Q（4，﹣6）
设直线l：y=x+b
①当直线l过Q点时，
可求l：y=x﹣8
联立抛物线方程，x2﹣x﹣4=x﹣8；解得x1=x2=4（与Q重合，舍去）
②当直线过M点时，可求，
l：y=，
联立抛物线方程，x2﹣x﹣4=x；解得x1=4+，x2=4﹣，代入直线方程，求得
N1（4+4，2+2），N2（4﹣4，2﹣2），
故符合条件的N的坐标为N1（4+4，2+2），N2（4﹣4，2﹣2）．