广东省深圳市龙岗区中考数学二模试卷

这是一份广东省深圳市龙岗区中考数学二模试卷，共22页。
深圳市龙岗区中考数学二模试卷
　
一.选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出4个选项，只有一个是正确）
1．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算错误的是（　　）
A．a2•a=a3 B．（ab）2=a2b2 C．（a2）3=a5 D．﹣a+2a=a
3．（3分）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米，将2500000用科学记数法表示应为（　　）
A．25×105 B．2.5×106 C．0.25×107 D．2.5×107
4．（3分）在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（　　）
A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定
C．甲和乙一样稳定 D．甲、乙稳定性没法对比
5．（3分）已知函数y=，则自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
6．（3分）如图，△ABC中，AC=5，cosB=，sinC=，则△ABC的面积为（　　）

A． B．12 C．14 D．21
7．（3分）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（　　）

A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
8．（3分）一家服装店将某种服装按进价提高50%后标价，又以八折销售，售价为360元，则每件服装的进价是（　　）
A．168元 B．300元 C．60元 D．400元
9．（3分）已知，一次函数y=kx+b的图象如图，下列结论正确的是（　　）

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
10．（3分）抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
11．（3分）如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（　　）

A．变长了1.5米 B．变短了2.5米 C．变长了3.5米 D．变短了3.5米
12．（3分）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②；③PA•PE=PB•PC．其中，正确结论的个数为（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
　
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根为x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值是　　．
14．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值为　　．
15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为　　．

16．（3分）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则Sn=　　（用含n的式子表示）．

　
三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）
17．（5分）计算：﹣22+2cos60°+．
18．（6分）先化简再求值：，x是不等式2x﹣3（x﹣2）≥1的一个非负整数解．
19．（7分）某校对该校七年级（1）班全体学生的血型做了一次全面调查，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）该校七年级（1）班有多少名学生．
（2）求出扇形统计图中“O型”血所对扇形的圆心角的度数．
（3）将条形统计图中“B型”血部分的条形图补充完整．

20．（8分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）
21．（8分）如图所示，已知正方形ABCD，直角三角形纸板的一个锐角顶点与点A重合，纸板绕点A旋转时，直角三角形纸板的一边与直线CD交于E，分别过B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．
（1）当点E在DC延长线时，如图①，求证：BF=DG﹣FG；
（2）将图①中的三角板绕点A逆时针旋转得图②、图③，此时BF、FG、DG之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论（不必证明）

22．（9分）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．
（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

23．（9分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

　

深圳市龙岗区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
　
一.选择题（本部分共12小题，每小题3分，共36分.每小题给出4个选项，只有一个是正确）
1．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．
故选：D．
　
2．（3分）下列计算错误的是（　　）
A．a2•a=a3 B．（ab）2=a2b2 C．（a2）3=a5 D．﹣a+2a=a
【解答】解：A、正确，符合同底数幂的乘法法则；
B、正确，符合积的乘方法则；
C、错误，（a2）3=a6；
D、正确，符合合并同类项的法则．
故选C．
　
3．（3分）青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米，将2500000用科学记数法表示应为（　　）
A．25×105 B．2.5×106 C．0.25×107 D．2.5×107
【解答】解：将2500000用科学记数法表示为2.5×106．
故选B．
　
4．（3分）在一次射击训练中，甲、乙两人各射击10次，两人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别是S甲2=1.2，S乙2=1.6，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的描述正确的是（　　）
A．甲比乙稳定 B．乙比甲稳定
C．甲和乙一样稳定 D．甲、乙稳定性没法对比
【解答】解：∵是S甲2=1.2，S乙2=1.6，
∴S甲2＜S乙2，
∴甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的是甲，
∴甲比乙稳定；
故选A．
　
5．（3分）已知函数y=，则自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x≥﹣1
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故选D．
　
6．（3分）如图，△ABC中，AC=5，cosB=，sinC=，则△ABC的面积为（　　）

A． B．12 C．14 D．21
【解答】解：作AD⊥BC于点D，
∵△ABC中，AC=5，cosB=，sinC=，
∴，得AD=3，∠B=45°，
∴tanB=，得BD=3，CD=，
∴==，
故选A．

　
7．（3分）如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（　　）

A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
【解答】解：连结PG、PH，如图，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，
∴AP=AG，BP=BH，
∴△PAB的周长=AP+AB+BP
=AG+AB+BH
=GH
=10cm．
故选B．

　
8．（3分）一家服装店将某种服装按进价提高50%后标价，又以八折销售，售价为360元，则每件服装的进价是（　　）
A．168元 B．300元 C．60元 D．400元
【解答】解：设每件服装进价为x元，由题意得：
（1+50%）x×80%=360，
解得：x=300．
故每件服装的进价是300元．
故选：B．
　
9．（3分）已知，一次函数y=kx+b的图象如图，下列结论正确的是（　　）

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0
【解答】解：如图所示，一次函数y=kx+b的图象，y随x的增大而增大，所以k＞0，
直线与y轴负半轴相交，所以b＜0．
故选B．
　
10．（3分）抛物线y=（x+2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，3） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【解答】解：由于y=（x+2）2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．
故选：A．
　
11．（3分）如图，路灯OP距地面8米，身高1.6米的小明从距离灯的底部（点O）20米的点A处，沿OA所在的直线行走14米到点B处时，人影的长度（　　）

A．变长了1.5米 B．变短了2.5米 C．变长了3.5米 D．变短了3.5米
【解答】解：设小明在A处时影长为x，B处时影长为y．
∵AD∥OP，BC∥OP，
∴△ADM∽△OPM，△BCN∽△OPN，
∴=，=，
则=，
∴x=5；
=，
∴y=1.5，
∴x﹣y=3.5，
故变短了3.5米．
故选：D．

　
12．（3分）如图，正△ABC内接于⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于点E，有如下结论：①PA=PB+PC；②；③PA•PE=PB•PC．其中，正确结论的个数为（　　）

A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【解答】解：延长BP到D，使PD=PC，连接CD，可得∠CPD=∠BAC=60°，
则△PCD为等边三角形，
∵△ABC为正三角形，
∴BC=AC
∵∠PBC=∠CAP，∠CPA=∠CDB，
∴△APC≌△BDC（AAS）．
∴PA=DB=PB+PD=PB+PC，故①正确；
由（1）知△PBE∽△PAC，则=，=，+=+≠1，
∴②错误；
∵∠CAP=∠EBP，∠BPE=∠CPA
∴△PBE∽△PAC
∴
∴PA•PE=PB•PC，故③正确；
故选B．

　
二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0的两根为x1，x2，那么（1+x1）（1+x2）的值是　8　．
【解答】解：根据题意得x1+x2=4，x1x2=3，
所以（1+x1）（1+x2）=1+x1+x2+x1x2=1+4+3=8．
故答案为8．
　
14．（3分）若关于x的分式方程无解，则m的值为　1　．
【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得
x﹣1=m+3（x﹣2）．
m=﹣2x+5．
分式方程的增根是x=2，
将x=2代入，得
m=﹣2×2=5=1，
故答案为：1．
　
15．（3分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为　3　．

【解答】解：如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，
∴S四边形HAGO=S四边形CEOF=2×2=4，
∴xy=k+1=4，
解得k=3
故答案为3．

　
16．（3分）如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2，…，△Bn+1DnCn的面积为Sn，则Sn=　　（用含n的式子表示）．

【解答】解：n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，则B1，B2，B3，…Bn在一条直线上，作出直线B1B2．
∴S△AB1C1=×2×=，
∵∠B1C1B2=60°，
∴AB1∥B2C1，
∴△B1C1B2是等边△，且边长=2，
∴△B1B2D1∽△C1AD1，
∴B1D1：D1C1=1：1，
∴S1=，
同理：B2B3：AC2=1：2，
∴B2D2：D2C2=1：2，
∴S2=，
同理：BnBn+1：ACn=1：n，
∴BnDn：DnCn=1：n，
∴Sn=．
故答案为：．

　
三、解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）
17．（5分）计算：﹣22+2cos60°+．
【解答】解：原式=﹣4+3﹣2×+3
=﹣4+3﹣1+3
=1．
　
18．（6分）先化简再求值：，x是不等式2x﹣3（x﹣2）≥1的一个非负整数解．
【解答】解：原式=÷
=•
=•
=（2﹣x）（3﹣x）
=x2﹣5x+6，
解不等式得x≤5，
符合不等式解集的整数是0，1，2，3，4，5．
由题意知x≠3且x≠﹣2，
所以x可取0，1，2，4，5；
当x=0时，原式=6（答案不唯一）．
　
19．（7分）某校对该校七年级（1）班全体学生的血型做了一次全面调查，根据调查结果绘制了下列两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）该校七年级（1）班有多少名学生．
（2）求出扇形统计图中“O型”血所对扇形的圆心角的度数．
（3）将条形统计图中“B型”血部分的条形图补充完整．

【解答】解：（1）8÷16%=50（名）
答：该校七年级（1）班有50名学生．
（2）依题意有“O型”血占的百分比为：100%﹣32%﹣16%﹣12%=40%．
扇形统计图中“O型”血所对扇形的圆心角的度数40%×360°=×360°=144°．
（3）“B型”血部分的人数为50×32%=16人，补全条形统计图

　
20．（8分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y=﹣10x+500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本=进价×销售量）
【解答】解：（1）由题意，得：w=（x﹣20）•y=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）

（2）对于函数w=﹣10x2+700x﹣10000的图象的对称轴是直线．
又∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．∴当20≤x≤32时，W随着X的增大而增大，
∴当x=32时，W=2160
答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．

（3）取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000
解这个方程得：x1=30，x2=40．
∵a=﹣10＜0，抛物线开口向下．
∴当30≤x≤40时，w≥2000．
∵20≤x≤32
∴当30≤x≤32时，w≥2000．
设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000
∵k=﹣200＜0，
∴P随x的增大而减小．
∴当x=32时，P的值最小，P最小值=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
　
21．（8分）如图所示，已知正方形ABCD，直角三角形纸板的一个锐角顶点与点A重合，纸板绕点A旋转时，直角三角形纸板的一边与直线CD交于E，分别过B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．
（1）当点E在DC延长线时，如图①，求证：BF=DG﹣FG；
（2）将图①中的三角板绕点A逆时针旋转得图②、图③，此时BF、FG、DG之间又有怎样的数量关系？请直接写出结论（不必证明）

【解答】证明：（1）如图①，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠GAD，
在△ABF和△ADG中，
，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴BF=AG，AF=DG，
∵AG=AF﹣FG；
∴BF=DG﹣FG；
（2）如图②，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠DAG，
在△ABF和△ADG中，
，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴BF=AG，AF=DG，
∵AG=AF+FG；
∴BF=DG+FG；
如图③，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵B、D作直线AE的垂线，垂足分别为F、G．
∴∠AFB=∠DGA=90°，
∵∠BAF+∠GAD=90°，∠BAF+∠ABF=90°
∴∠ABF=∠DAG，
在△ABF和△ADG中，
，
∴△ABF≌△ADG（AAS），
∴BF=AG，AF=DG，
∵AG=FG﹣AF；
∴BF=FG﹣DG．
　
22．（9分）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．
（1）求∠COB的度数；
（2）求⊙O的半径R；
（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

【解答】解：（1）∵AE切⊙O于点E，
∴AE⊥CE，又OB⊥AT，
∴∠AEC=∠CBO=90°，
又∠BCO=∠ACE，
∴△AEC∽△OBC，又∠A=30°，
∴∠COB=∠A=30°；

（2）∵AE=3，∠A=30°，
∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3，
∵OB⊥MN，∴B为MN的中点，又MN=2，
∴MB=MN=，
连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，
∴OB==，
在△COB中，∠BOC=30°，
∵cos∠BOC=cos30°==，
∴BO=OC，
∴OC=OB=，
又OC+EC=OM=R，
∴R=+3，
整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，
解得：R=﹣23（舍去）或R=5，
则R=5；

（3）以EF为斜边，有两种情况，以EF为直角边，有四种情况，所以六种，
画直径FG，连接EG，延长EO与圆交于点D，连接DF，如图所示：

∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，
∴FD=5，
则C△EFD=5+10+5=15+5，
由（2）可得C△COB=3+，
∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．
∵EF=5，直径FG=10，可得出∠FGE=30°，
∴EG=5，
则C△EFG=5+10+5=15+5，
∴C△EFG：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1．
　
23．（9分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3）
∴点B的坐标为（4，﹣1）．
∵抛物线过A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点，
∴，解得：b=2，c=﹣1，
∴抛物线的函数表达式为：y=x2+2x﹣1．

（2）方法一：
i）∵A（0，﹣1），C（4，3），
∴直线AC的解析式为：y=x﹣1．
设平移前抛物线的顶点为P0，则由（1）可得P0的坐标为（2，1），且P0在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m﹣1），
则平移后抛物线的函数表达式为：y=（x﹣m）2+m﹣1．
解方程组：，
解得，
∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）．
过点P作PE∥x轴，过点Q作QF∥y轴，则
PE=m﹣（m﹣2）=2，QF=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2．
∴PQ==AP0．
若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为（即为PQ的长）．
由A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知，
△ABP0为等腰直角三角形，且BP0⊥AC，BP0=．
如答图1，过点B作直线l1∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l1的解析式为：y=x+b1，
∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得b1=﹣5，
∴直线l1的解析式为：y=x﹣5．
解方程组，得：，
∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）．

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为．
如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，﹣1）．
由A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知：
△AFP0为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为．
过点F作直线l2∥AC，交抛物线y=x2+2x﹣1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l2的解析式为：y=x+b2，
∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得b2=﹣3，
∴直线l2的解析式为：y=x﹣3．
解方程组，得：，
∴M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．

方法二：
∵A（0，1），C（4，3），
∴lAC：y=x﹣1，
∵抛物线顶点P在直线AC上，设P（t，t﹣1），
∴抛物线表达式：，
∴lAC与抛物线的交点Q（t﹣2，t﹣3），
∵一M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，P（t，t﹣1），
①当M为直角顶点时，M（t，t﹣3），，
∴t=1±，
∴M1（1+，﹣2），M2（1﹣，﹣2﹣），
②当Q为直角顶点时，点M可视为点P绕点Q顺时针旋转90°而成，
将点Q（t﹣2，t﹣3）平移至原点Q′（0，0），则点P平移后P′（2，2），
将点P′绕原点顺时针旋转90°，则点M′（2，﹣2），
将Q′（0，0）平移至点Q（t﹣2，t﹣3），则点M′平移后即为点M（t，t﹣5），
∴，
∴t1=4，t2=﹣2，
∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），
③当P为直角顶点时，同理可得M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+，﹣2+），M4（1﹣，﹣2﹣）．



ii）存在最大值．理由如下：
由i）知PQ=为定值，则当NP+BQ取最小值时，有最大值．

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′==．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为．
∴的最大值为=．