专题21锐角三角函数及解直角三角形（基础巩固练习）解析版

这是一份专题21锐角三角函数及解直角三角形（基础巩固练习）解析版，共30页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学 专题21 锐角三角函数及解直角三角形（基础巩固练习，共40个小题）一、选择题（共15小题）：1.（2020•陕西）如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：由勾股定理得：AC，∵S△ABC＝3×33.5，∴，∴，∴BD，故选：D．2.（2019秋•龙岩期末）如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（　　）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】解：如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE∠ACB＝30°，∴∠AEF＝30°，∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴EG＝EF＝2，在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；方法二、∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵EC＝CD，∴∠CED＝∠CDE∠ACB＝30°，∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，∴BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，∴BE＝DE，∠BFD＝90°，∴BE＝2EF＝4＝DE，∴DF＝DE+EF＝6；故选：D．3.（2020•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，则cosB（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，∴BC，∴cosB．故选：C．4.（2020•杭州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（　　）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴sinB，即b＝csinB，故A选项不成立，B选项成立；tanB，即b＝atanB，故C选项不成立，D选项不成立．故选：B．5．（2019•无锡）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA，BC＝4，则AB长为（　　）A．6 B． C． D．2【答案】A【解析】解：如图所示：∵sinA，BC＝4，∴sinA，解得：AB＝6．故选：A．6.（2020•玉林）sin45°的值是（　　）A． B． C． D．1【答案】B【解析】解：sin45°．故选：B．7.（2020•鸡西）如图，在△ABC中，sinB，tanC＝2，AB＝3，则AC的长为（　　）A． B． C． D．2【答案】B【解析】解：过A作AD⊥BC于D，则∠ADC＝∠ADB＝90°，∵tanC＝2，sinB，∴AD＝2DC，AB＝3AD，∵AB＝3，∴AD＝1，DC，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC，故选：B．8.（2019•营口）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，AD∥BC，BCAD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝90°，∠BAC+∠EAD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠ADB+∠EAD＝90°，∴∠BAC＝∠ADB，∴△ABC∽△DAB，∴，∵BCAD，∴AD＝2BC，∴AB2＝BC×AD＝BC×2BC＝2BC2，∴ABBC，在Rt△ABC中，tan∠BAC；故选：C．9.（2019•湘西州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC，则BC的长是（　　）A．10 B．8 C．4 D．2【答案】D【解析】解：∵∠C＝90°，cos∠BDC，设CD＝5x，BD＝7x，∴BC＝2x，∵AB的垂直平分线EF交AC于点D，∴AD＝BD＝7x，∴AC＝12x，∵AC＝12，∴x＝1，∴BC＝2；故选：D．10.（2019•长沙）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CDBD的最小值是（　　）A．2 B．4C．5 D．10【答案】B【解析】解：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∵tanA2，设AE＝a，BE＝2a，则有：100＝a2+4a2，∴a2＝20，∴a＝2或﹣2（舍弃），∴BE＝2a＝4，∵AB＝AC，BE⊥AC，CM⊥AB，∴CM＝BE＝4（等腰三角形两腰上的高相等），∵∠DBH＝∠ABE，∠BHD＝∠BEA，∴sin∠DBH，∴DHBD，∴CDBD＝CD+DH，∴CD+DH≥CM，∴CDBD≥4，∴CDBD的最小值为4．方法二：作CM⊥AB于M，交BE于点D，则点D满足题意．通过三角形相似或三角函数证得BD＝DM，从而得到CDBD＝CM＝4．故选：B．11.（2020•广西）如图，要测量一条河两岸相对的两点A，B之间的距离，我们可以在岸边取点C和D，使点B，C，D共线且直线BD与AB垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则AB的长约为（　　）（参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）A．15m B．30m C．35m D．40m【答案】B【解析】解：设AB＝xm，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝45°，∴AB＝BD＝xm，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝56.3°，且tan∠ACB，∴BCx，由BC+CD＝BD得x+10＝x，解得x＝30，∴AB的长约为30m，故选：B．12.（2020•济南）如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（　　）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）A．2.6m B．2.8m C．3.4m D．4.5m【答案】B【解析】解：∵FD⊥EB，AC⊥EB，∴DF∥AC，∵AF∥EB，∴四边形ACDF是平行四边形，∵∠ACD＝90°，∴四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，∴AC＝AB•sin43°≈1.6×0.7＝1.12（m），∴DF＝AC＝1.12（m），在Rt△DEF中，∵∠FDE＝90°，∴tan∠E，∴DE2.8（m），故选：B．13.（2020•长春）比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示，设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线AC的夹角为∠A，过点B向垂直中心线AC引垂线，垂足为点D．通过测量可得AB、BD、AD的长度，利用测量所得的数据计算∠A的三角函数值，进而可求∠A的大小．下列关系式正确的是（　　）A．sinA B．cosA C．tanA D．sinA【答案】A【解析】解：在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，则sinA，cosA，tanA，因此选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．14.（2020•南充）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC＝（　　）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如图，过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理得，AB，AC3，∵S△ABCAC•BD3•BD1×3，∴BD，∴sin∠BAC．故选：B．15.（2020•重庆）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（　　）A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m【答案】B【解析】解：如图，过点D作DF⊥AB，垂足为F，作DE⊥BC交BC的延长线于点E，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45m，BC＝60m，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴，设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，又CD＝45，即5x＝45，∴x＝9，∴EC＝3x＝27（m），DE＝4x＝36（m）＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+27＝87（m）＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11（m），∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1（m），故选：B．二、填空题（共10小题）：16.（2020•宿迁）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC＝12，AD＝8，则DE的长为　  　．【答案】5【解析】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝6，∴∠ADB＝90°，∴AB10，∵AE＝EB，∴DEAB＝5，故答案为5．17.（2020•绥化）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是　 　．【答案】17【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB﹣AC＝2，BC＝8，∴AC2+BC2＝AB2，即（AB﹣2）2+82＝AB2，解得AB＝17．故答案为：17．18.（2020•桂林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是　   　．【答案】【解析】解：在Rt△ABC中，cosA，故答案为：．19.（2020•鄂尔多斯）计算：（）﹣2﹣3tan60°+（π）0＝　 　．【答案】10【解析】解：原式＝39﹣31＝10．故答案为：10．20.（2020•宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B，C为小路端点）和一棵小树（A为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，BC＝48米，则AC＝　 　米．【答案】48【解析】解：∵∠ABC＝60°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵BC＝48米，∴AC＝48米．故答案为：48．21.（2020•黔南州）如图所示，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8．连接AC，AC⊥CD，若sin∠ACB，则AD长度是　  　．【答案】10【解析】解：在Rt△ABC中，∵AB＝2，sin∠ACB，∴AC＝26．在Rt△ADC中，AD ＝10．故答案为：10．22.（2020•广西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sinA，点C关于直线AB的对称点为D，点E为边AC上不与点A，C重合的动点，过点D作BE的垂线交BC于点F，则的值为　   　．【答案】【解析】解：如图，设DF交AB于M，CD交AB于N，BE交DF于J．∵∠ACB＝90°，∴sinA，∴可以假设BC＝4k，AB＝5k，则AC＝3k，∵C，D关于AB对称，∴CD⊥AB，CN＝DN，∵S△ABCBC×ACAB×CN，∴CN＝DNk，∴CDk，∵∠FCD+∠DCA＝90°，∠DCA+∠A＝90°，∴∠DCF＝∠A，∵DF⊥BE，CD⊥AB，∴∠BJM＝∠DNM＝90°，∵∠BMJ＝∠DMN，∴∠D＝∠ABE，∴△DCF∽△BAE，∴．23.（2020•深圳）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB，，则　   　．【答案】【解析】解：如图，过点D作DM∥BC，交CA的延长线于点M，延长BA交DM于点N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴tan∠ACB，，又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴，设BC＝4a，由得，DM＝3a，∴AB＝2a，DNa，ANa，∴NB＝AB+AN＝2aaa，∴．故答案为：．24.（2020•赤峰）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部C的仰角是30°，测得底部B的俯角是60°，此时无人机与该建筑物的水平距离AD是9米，那么该建筑物的高度BC为　   　米（结果保留根号）．【答案】12【解析】解：根据题意可知：在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝9，∴CD＝AD•tan30°＝93，在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，AD＝9，∴BD＝AD•tan60°＝9，∴BC＝CD+BD＝3912（米）．答；该建筑物的高度BC为12米．故答案为：12．25．（2020•乐山）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C处测得扶梯顶端B的仰角为60°，A、C之间的距离为4m．则自动扶梯的垂直高度BD＝　  　m．（结果保留根号）【答案】2【解析】解：∵∠BCD＝∠BAC+∠ABC，∠BAC＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝∠BCD﹣∠BAC＝30°，∴∠BAC＝∠ABC，∴BC＝AC＝4，在Rt△BDC中，sin∠BCD，∴sin60°，∴BD＝2（m），故答案为：2．三、解答题（共15小题）：26.（2020•青海）计算：（）﹣1+|1tan45°|+（π﹣3.14）0．【答案】【解析】解：原式＝3+|1|+1﹣3＝3．27.（2020•呼伦贝尔）计算：（）﹣12cos60°﹣（π﹣1）0．【答案】0【解析】解：原式＝0，故答案为：0．28.（2020秋•龙口市期末）计算：tan60°•cos30°．【答案】【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．解：原式 ＝1．29.（2020秋•莱州市期末）计算：2sin45°．【答案】【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．解：原式 ．30.（2020秋•崇明区期末）计算：tan60°sin245°．【答案】2【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．解：原式（）21 ＝2．31.（2020秋•普陀区期末）计算：cos30°﹣2sin245°．【答案】2【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．解：原式2×（）22 112．32.（2020秋•肇州县期末）计算：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°；（2）cos45°•sin60°．【答案】(1)3；(2).【解析】（1）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的加减混合运算法则计算；（2）把特殊角的三角函数值代入原式，根据二次根式的混合运算法则计算．解：（1）2sin30°一3tan45°•sin45°+4cos60°＝23×14＝12＝3；（2）cos45°•sin60° ．33.（2020•盐城）如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，求AB的长？【答案】AB的长为6【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA，∴∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD＝30°，又∵CD，∴BC3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB6．答：AB的长为6．34.（2020•西宁）如图1，通海桥是西宁市海湖新区地标建筑，也是我省首座大规模斜拉式大桥，通海桥主塔两侧斜拉链条在夜间亮灯后犹如天鹅之翼，优雅非凡．某数学“综合与实践”小组的同学利用课余时间按照如图2所示的测量示意图对该桥进行了实地测量，测得如下数据：∠A＝30°，∠B＝45°，斜拉主跨度AB＝260米．（1）过点C作CD⊥AB，垂足为D，求CD的长（取1.7）；（2）若主塔斜拉链条上的LED节能灯带每米造价800元，求斜拉链条AC上灯带的总造价是多少元？【答案】(1)CD＝91（米）；(2)斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元.【解析】解：（1）∵CD⊥AB于点D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，设CD＝x，在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴，即，∴，在Rt△BDC中，∠B＝45°，∴CD＝BD＝x，∵AB＝AD+BD．∴，∴，∴，∴CD＝91（米）．（2）在Rt△ADC中∠ADC＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2CD（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴AC＝182，∵LED节能灯带每米造价为800元，∴800×182＝145600（元），答：斜拉链条AC上的LED节能灯带造价是145600元．35.（2020•眉山）某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB，如图所示．在山脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°，向小山前进80米到达点E处，测得塔顶A的仰角为60°，求小山BC的高度．【答案】小山BC的高度为（10+40）米【解析】解：设BC为x米，则AC＝（20+x）米，由条件知：∠DBC＝∠AEC＝60°，DE＝80米．在直角△DBC中，tan60°，则DCx米．∴CE＝（x﹣80）米．在直角△ACE中，tan60°．解得x＝10+40．答：小山BC的高度为（10+40）米．36.（2020•吉林）如图，某班数学小组测量塔的高度，在与塔底部B相距35m的C处，用高1.5m的测角仪CD测得该塔顶端A的仰角∠EDA为36°．求塔AB的高度（结果精确到1m）．（参考数据：sin36°＝0.59，cos36°＝0.81，tan36°＝0.73）【答案】塔AB的高度约27m【解析】解：设AB与DE交于点F，如图所示：由题意得：DF⊥AB，BF＝CD＝1.5m，DF＝BC＝35m，在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，tan∠EDA，∴AF＝DF×tan36°≈35×0.73＝25.55（m），∴AB＝AF+BF＝25.55+1.5≈27（m）；答：塔AB的高度约27m．   37.（2020•通辽）从A处看一栋楼顶部的仰角为α，看这栋楼底部的俯角为β，A处与楼的水平距离AD为90m．若tanα＝0.27，tanβ＝2.73，求这栋楼高．【答案】这栋楼高BC为270米【解析】解：在Rt△ABD中，BD＝tanα•AD＝0.27×90＝24.3（米），在Rt△ACD中，CD＝AD•tanβ＝90×2.73＝245.7（米），∴BC＝BD+CD＝24.3+245.7＝270（米），答：这栋楼高BC为270米．38.（2020•凉山州）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：2R；（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．【答案】(1)见解析；(2)sin∠B.【解析】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，∴sinA＝sinE，∴2R，同理：2R，2R，∴2R；（2）解：由（1）得：，即2R，∴AB4，2R8，过B作BH⊥AC于H，∵∠AHB＝∠BHC＝90°，∴AH＝AB•cos60°＝42，CHBC＝2，∴AC＝AH+CH＝2（），∴sin∠B． 39.（2020•宜宾）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，楼AB高30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为45°．（1）求∠CAD的大小；（2）求楼CD的高度（结果保留根号）．【答案】(1)∠CAD＝75°；(2)CD＝（30+30）米.【解析】解：（1）过A作AE⊥CD于点E，则AB＝EC＝30米，AE＝BC＝30米，在Rt△AEC中，tan∠CAE，则∠CAE＝30°，则∠CAD＝30°+45°＝75°；（2）在Rt△AED中，DE＝AE＝30米，CD＝CE+ED＝（30+30）米．40.（2020•随州）如图，某楼房AB顶部有一根天线BE，为了测量天线的高度，在地面上取同一条直线上的三点C，D，A，在点C处测得天线顶端E的仰角为60°，从点C走到点D，测得CD＝5米，从点D测得天线底端B的仰角为45°，已知A，B，E在同一条垂直于地面的直线上，AB＝25米．（1）求A与C之间的距离；（2）求天线BE的高度．（参考数据：1.73，结果保留整数）【答案】(1)A与C之间的距离是30米；(2)天线BE的高度为27米.【解析】解：（1）由题意得，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝25米，∵CD＝5米，∴AC＝AD+CD＝25+5＝30（米），即A与C之间的距离是30米；（2）在Rt△ACE中．∠ACE＝60°，AC＝30米，∴AE＝30•tan60°＝30（米），∵AB＝25米，∴BE＝AE﹣AB＝（3025）米，∵1.73，∴BE≈1.73×30﹣25＝27米．即天线BE的高度为27米．