专题23菱形、矩形、正方形（基础巩固练习）解析版

这是一份专题23菱形、矩形、正方形（基础巩固练习）解析版，共55页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学 专题23 菱形、矩形、正方形
（基础巩固练习，共50个小题）
一、选择题（共20小题）：
1.（2020•日照）已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为（　　）
A．83 B．8 C．43 D．23
【答案】D
【解析】解：如图，∵两邻角度数之比为1：2，两邻角和为180°，
∴∠ABC＝60°，∠BAD＝120°，
∵菱形的周长为8，
∴边长AB＝2，
∴菱形的对角线AC＝2，BD＝2×2sin60°＝23，
∴菱形的面积=12AC•BD=12×2×23=23．故选：D．
2.（2020•西藏）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　）

A．∠ADB＝90° B．OA＝OB C．OA＝OC D．AB＝BC
【答案】D
【解析】解：A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意；故选：D．
3.（2020•锦州）如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E．PF⊥AB于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE+PF的值为（　　）

A．4 B．245 C．6 D．485
【答案】B
【解析】解：连结BP，如图，
∵四边形ABCD为菱形，菱形ABCD的周长为20，
∴BA＝BC＝5，S△ABC=12S菱形ABCD＝12，
∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，
∴12×5×PE+12×5×PF＝12，
∴PE+PF=245，故选：B．
4.（2020•南通）下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故选：D．
5.（2020•宁夏）如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG＝（　　）

A．13 B．10 C．12 D．5
【答案】B
【解析】解：连接BD，交AC于点O，如图：
∵菱形ABCD的边长为13，点E、F分别是边CD、BC的中点，
∴AB∥CD，AB＝BC＝CD＝DA＝13，EF∥BD，
∵AC、BD是菱形的对角线，AC＝24，∴AC⊥BD，AO＝CO＝12，OB＝OD，
又∵AB∥CD，EF∥BD，∴DE∥BG，BD∥EG，
∴四边形BDEG是平行四边形，∴BD＝EG，
在△COD中，∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，
∴OB＝OD=132-122=5，∴BD＝2OD＝10，∴EG＝BD＝10；故选：B．
6.（2020•贵港）如图，点E，F在菱形ABCD的对角线AC上，∠ADC＝120°，∠BEC＝∠CBF＝50°，ED与BF的延长线交于点M．则对于以下结论：①∠BME＝30°；②△ADE≌△ABE；③EM＝BC；④AE+BM=3EM．其中正确结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，
∠DCE＝∠BCE=12∠BCD＝30°，
∵∠BFE＝∠BCE+∠CBF＝30°+50°＝80°，
∴∠EBF＝180°﹣∠BEC﹣∠BFE＝180°﹣50°﹣880°＝50°，
在△CDE和△CBE中，CD=CB∠DCE=∠BCECE=CE，∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴∠DEC＝∠BEC＝50°，∴∠BEM＝∠DEC+∠BEC＝100°，
∴∠BME＝180°﹣∠BEM﹣∠EBF＝180°﹣100°﹣50°＝30°，故①正确；
在△ADE和△ABE中，AD=AB∠DAE=∠BAEAE=AE，
∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正确；
∵∠EBC＝∠EBF+∠CBF＝100°，
∴∠BEM＝∠EBC，
在△BEM和△EBC中，∠BEM=∠EBC∠BME=∠ECB=30°BE=EB，∴△BEM≌△EBC（AAS），
∴BM＝EC，EM＝BC，故③正确；
连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，AC⊥BD，
∵∠DCO＝30°，∴OD=12CD=12BC，OC=3OD，∴OC=32BC，
∴AC＝2OC=3BC，
∵BM＝EC，EM＝BC，∴AE+BM＝AE+EC＝AC=3BC=3EM，故④正确，
正确结论的个数是4个，故选：D．
7.（2020•荆门）如图，菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C
【解析】解：∵E，F分别是AD，BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=12AB＝5，∴AB＝10，
∵四边形ABD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，
∴菱形ABCD的周长＝4AB＝40；故选：C．
8.（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴且AD＝4，∠A＝60°，将菱形ABCD绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（　　）

A．（0，23） B．（2，﹣4）
C．（23，0） D．（0，23）或（0，﹣23）
【答案】D
【解析】解：根据菱形的对称性可得：当点C旋转到y轴负半轴时，
A、B、C均在坐标轴上，如图，
∵∠BAD＝60°，AD＝4，
∴∠OAD＝30°，
∴OD＝2，
∴AO=AD2-OD2=42-22=23=OC，
∴点C的坐标为（0，-23），
同理：当点C旋转到y轴正半轴时，
点C的坐标为（0，23），
∴点C的坐标为（0，23）或（0，-23），故选：D．
9.（2020•毕节市）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，连接EF，若AB＝6cm，BC＝8cm．则EF的长是（　　）

A．2.2cm B．2.3cm C．2.4cm D．2.5cm
【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
∴由勾股定理得：AC=AB2+BC2=62+82=10（cm），
∴BD＝10cm，DO＝5cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF是△AOD的中位线，
∴EF=12OD＝2.5cm，故选：D．
10.（2020•广州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）

A．485 B．325 C．245 D．125
【答案】C
【解析】解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面积为48，AC=AB2+BC2=10，
∴AO＝DO=12AC＝5，
∵对角线AC，BD交于点O，∴△AOD的面积为12，
∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12=12AO×EO+12DO×EF，
∴12=12×5×EO+12×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，
∴EO+EF=245，故选：C．
11.（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，
∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，
∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，
∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，故选：C．
12.（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（　　）

A．66° B．60° C．57° D．48°
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝90°，
由折叠的性质得：∠BA'E＝∠A＝90°，∠A'BE＝∠ABE，
∴∠A'BE＝∠ABE=12（90°﹣∠DBC）=12（90°﹣24°）＝33°，
∴∠A'EB＝90°﹣∠A'BE＝90°﹣33°＝57°；故选：C．
13.（2020•威海）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（　　）

A．四边形DEBF为平行四边形 B．若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形
C．若AE＝5，则四边形DEBF为菱形 D．若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形
【答案】D
【解析】解：∵O为BD的中点，∴OB＝OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴∠CDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB，
∴△FDO≌△EBO（AAS），∴OE＝OF，
∴四边形DEBF为平行四边形，故A选项不符合题意，
若AE＝3.6，AD＝6，∴AEAD=3.66=35，
又∵ADAB=610=35，∴AEAD=ADAB，
∵∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，
∴∠AED＝∠ADB＝90°．∴四边形DEBF为矩形．故B选项不符合题意，
∵AB＝10，AE＝5，∴BE＝5，
又∵∠ADB＝90°，∴DE=12AB＝5，
∴DE＝BE，∴四边形DEBF为菱形．故C选项不符合题意，
∵AE＝3.6时，四边形DEBF为矩形，AE＝5时，四边形DEBF为菱形，
∴AE＝4.8时，四边形DEBF不可能是正方形．
故选项D符合题意．故选：D．
14.（2019•鄂尔多斯）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED为（　　）

A．15° B．35° C．45° D．55°
【答案】C
【解析】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
在等边△ABE中，AB＝AE，∠BAE＝∠AEB＝60°，
在△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝∠BAD+∠BAE＝90°+60°＝150°，
所以，∠AED=12（180°﹣150°）＝15°，
所以∠BED＝∠AEB﹣∠AED＝60°﹣15°＝45°．故选：C．
15.（2019•包头）如图，在正方形ABCD中，AB＝1，点E，F分别在边BC和CD上，AE＝AF，∠EAF＝60°，则CF的长是（　　）

A．3+14 B．32 C．3-1 D．23
【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝1，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE=AFAB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴∠BAE＝∠DAF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE+∠DAF＝30°，
∴∠DAF＝15°，
在AD上取一点G，使∠GFA＝∠DAF＝15°，如图所示：
∴AG＝FG，∠DGF＝30°，
∴DF=12FG=12AG，DG=3DF，
设DF＝x，则DG=3x，AG＝FG＝2x，
∵AG+DG＝AD，
∴2x+3x＝1，
解得：x＝2-3，
∴DF＝2-3，
∴CF＝CD﹣DF＝1﹣（2-3）=3-1；故选：C．
16.（2019•河池）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF＝90°，
在△ABE和△BCF中，AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BFC＝∠AEB，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE＝∠AEB，∠BFC＝∠ABF，
故图中与∠AEB相等的角的个数是3．故选：C．
17.（2019•广元）如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E．使得∠CDE＝15°，连接BE并延长BE到F，使CF＝CB，BF与CD相交于点H，若AB＝1，有下列结论：①BE＝DE；②CE+DE＝EF；③S△DEC=14-312；④DHHC=23-1．则其中正确的结论有（　　）

A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】D
【解析】证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠DAC＝∠ACB＝∠ACD＝45°．
在△ABE和△ADE中，AB=AD∠BAC=∠DACAE=AE，∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG＝EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE．∴∠CBE＝∠CDE，
∵BC＝CF，∴∠CBE＝∠F，∴∠CBE＝∠CDE＝∠F．
∵∠CDE＝15°，∴∠CBE＝15°，∴∠CEG＝60°．
∵CE＝GE，∴△CEG是等边三角形．∴∠CGE＝60°，CE＝GC，
∴∠GCF＝45°，∴∠ECD＝GCF．
在△DEC和△FGC中，CE=GC∠ECD=∠GCFCD=CF，∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE＝GF．
∵EF＝EG+GF，∴EF＝CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，
根据勾股定理求出AC=2，
由面积公式得：12AD×DC=12AC×DM，∴DM=22，
∵∠DCA＝45°，∠AED＝60°，∴CM=22，EM=66，
∴CE＝CM﹣EM=22-66
∴S△DEC=12CE×DM=14-312，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE＝2ME=63，
∵△ECG是等边三角形，
∴CG＝CE=22-66，
∵∠DEF＝∠EGC＝60°，∴DE∥CG，
∴△DEH∽△CGH，∴DHHC=DECG=6322-66=3+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，故选：A．
18.（2019•孝感）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（　　）

A．135 B．125 C．195 D．165
【答案】A
【解析】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵AF＝DE＝1，∴DF＝CE＝3，∴BE＝CF＝5，
在△BCE和△CDF中，BC=CD∠BCE=∠CDFCE=DF，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，
cos∠CBE＝cos∠ECG=BCBE=CGCE，
∴45=CG3，CG=125，
∴GF＝CF﹣CG＝5-125=135，故选：A．
19.（2019•乐山）把边长分别为1和2的两个正方形按如图的方式放置．则图中阴影部分的面积为（　　）

A．16 B．13 C．15 D．14
【答案】A
【解析】解：如图，设BC＝x，则CE＝1﹣x易证△ABC∽△FEC
∴ABEF=BCCE=12=x1-x解得x=13
∴阴影部分面积为：S△ABC=12×13×1=16
故选：A．
20.（2018•鞍山）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE＝AF，AC与EF相交于点G．下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF＝EF；③当∠DAF＝15°时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF＝60°时，S△ABE=12S△CEF．其中正确的是（　　）

A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【解析】解：①四边形ABCD是正方形，
∴AB═AD，∠B＝∠D＝90°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AE=AFAB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF
∵BC＝CD，
∴BC﹣BE＝CD﹣DF，即CE＝CF，
∵AE＝AF，
∴AC垂直平分EF．（故①正确）．
②设BC＝a，CE＝y，
∴BE+DF＝2（a﹣y）
EF=2y，
∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y＝（2-2）a时成立，（故②错误）．
③当∠DAF＝15°时，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF＝∠BAE＝15°，
∴∠EAF＝90°﹣2×15°＝60°，
又∵AE＝AF
∴△AEF为等边三角形．（故③正确）．
④当∠EAF＝60°时，设EC＝x，BE＝y，由勾股定理就可以得出：
(x+y)2+y2=(2x)2
∴x2＝2y（x+y）
∵S△CEF=12x2，S△ABE=12y(x+y)，
∴S△ABE=12S△CEF．（故④正确）．
综上所述，正确的有①③④，
故选：C．

二、填空题（共16小题）：
21.（2020•大连）如图，菱形ABCD中，∠ACD＝40°，则∠ABC＝　 　°．

【答案】100
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠BCD＝2∠ACD＝80°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣80°＝100°；故答案为：100．
22.（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD的面积为　 　．

【答案】4
【解析】解：∵OA＝1，OB＝2，∴AC＝2，BD＝4，
∴菱形ABCD的面积为12×2×4＝4．故答案为：4．
23.（2020•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为　 　．

【答案】22
【解析】解：设BE＝x，则CD＝2x，∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝CD＝2x，OB＝OD，AC⊥BD，
∵∠DAE＝∠DEA，
∴DE＝DA＝2x，
∴BD＝3x，
∴OB＝OD=32x，
∵OE+BE＝BO，
∴1+x=32x，解得x＝2，
即AB＝4，OB＝3，
在Rt△AOB中，OA=AB2-OB2=42-32=7，
在Rt△AOE中，AE=AO2+EO2=12+(7)2=22．
故答案为22．
24.（2020•无锡）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝　 　°．

【答案】115
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CA平分∠BCD，AB∥CD，
∴∠BAE+∠AEC＝180°，∠B+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B＝180°﹣50°＝130°，
∴∠ACE=12∠BCD＝65°，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝65°，
∴∠BAE＝180°﹣∠AEC＝115°；
故答案为：115．
25.（2019•广西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，则AH＝　 　．

【答案】245
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO＝4，AO＝CO，AC⊥BD，
∴BD＝8，
∵S菱形ABCD=12AC×BD＝24，
∴AC＝6，
∴OC=12AC＝3，
∴BC=OB2+OC2=5，
∵S菱形ABCD＝BC×AH＝24，
∴AH=245；
故答案为：245．
26.（2020•云南）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝210，则DE的长是　 　．
【答案】2343或83
【解析】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴BC=AC2-AB2=40-36=2，
∴AD＝2，
当点E在CD上时，
∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，
∴（6﹣DE）2＝DE2+4，
∴DE=83；
当点E'在AB上时，
∵CE'2＝BE'2+BC2＝E'A2，
∴AE'2＝（6﹣AE'）2+4，
∴AE'=103，
∴DE'=AD2+E′A2=4+1009=2343，
综上所述：DE=2343或83，
故答案为：2343或83．
27.（2020•菏泽）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，点P在对角线BD上，且BP＝BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为　 　．

【答案】317
【解析】解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴BD=AB2+AD2=13，
∵BP＝BA＝5，
∴PD＝BD﹣BP＝8，
∵BA＝BP，
∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠DQP，
∴∠DPQ＝∠DQP，
∴DQ＝DP＝8，
∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，
∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得
BQ=BC2+CQ2=153=317．故答案为：317．
28.（2019•徐州）如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若MN＝4，则AC的长为　 　．

【答案】16
【解析】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴BO＝2MN＝8．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD＝2BO＝16．
故答案为16．
29.（2019•通辽）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，且AE平分∠BAC，则AB的长为　 　．

【答案】833
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形；∴AO＝CO＝BO＝DO，
∵AE平分∠BAO
∴∠BAE＝∠EAO，且AE＝AE，∠AEB＝∠AEO，
∴△ABE≌△AOE（ASA）
∴AO＝AB，且AO＝OB
∴AO＝AB＝BO＝DO，
∴BD＝2AB，
∵AD2+AB2＝BD2，
∴64+AB2＝4AB2，
∴AB=833；故答案为：833．
30.（2018•达州）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，23）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为　 　．

【答案】（﹣23，6）
【解析】解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，
由题意得，OA＝6，AB＝OC＝23，
则tan∠BOA=ABOA=33，
∴∠BOA＝30°，
∴∠OBA＝60°，
由旋转的性质可知，∠B1OB＝∠BOA＝30°，
∴∠B1OH＝60°，
在△AOB和△HB1O，∠B1HO=∠BAO∠B1OH=∠ABOOB1=OB，
∴△AOB≌△HB1O，
∴B1H＝OA＝6，OH＝AB＝23，
∴点B1的坐标为（﹣23，6），故答案为：（﹣23，6）．
31.（2020•镇江）如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为　 　°．

【答案】135
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BAC＝45°，
∴∠2+∠BCP＝45°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BCP＝45°，
∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP，
∴∠BPC＝135°，故答案为：135．
32.（2020•张家界）如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是　 ．

【答案】2-1
【解析】解：方法一：正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，
∴EF＝CE＝1，
∴CF=2，
∴BF=2-1，
∵∠BFE＝45°，
∴阴影部分的面积=12×1×1-12×（2-1）2=2-1；
方法二：∵过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，
∵B在对角线CF上，
∴∠DCE＝∠ECF＝45°，EC＝1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB＝CN=22EC=22，
又BC＝AD＝CD＝CE，且CP＝CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴Rt△PEC≌Rt△PBC（HL），
∴PB＝PE，
又∠PFB＝45°，
∴∠FPB＝45°＝∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP＝x，则EP＝BP=2x，
∵MP+BP＝MB，
∴x+2x=22，解得x=2-22，
∴BP=2x=2-1，
∴阴影部分的面积=2S△PBC=2×12×BC×BP=1×(2-1)=2-1．
故答案为：2-1．
33.（2020•青岛）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G．若DE＝2，OF＝3，则点A到DF的距离为　 　．

【答案】455
【解析】解：解法一：∵在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝AF＝EF=12AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG=12DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴AE=AD2+DE2=42+22=25．
过A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∵AF＝DF，
∴∠ADF＝∠DAE，
∴△ADH∽△EAD，
∴AHDE=ADAE，
∴AH2=425，
∴AH=455，
即点A到DF的距离为455，
解法二：在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝DO，∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∵点F是AE的中点，
∴DF＝AF＝EF=12AE，
∴OF垂直平分AD，
∴AG＝DG，
∴FG=12DE＝1，
∵OF＝3，
∴OG＝2，
∵AO＝CO，
∴CD＝2OG＝4，
∴AD＝CD＝4，
∴DG＝2，
∴DF=DG2+FG2=4+1=5，
过A作AH⊥DF于H，
∴∠H＝∠ADE＝90°，
∴S△ADF=12DF•AH=12AD•FG，
∴AH=455，
故答案为：455．
34.（2020•枣庄）如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是　 　．

【答案】85
【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，
∵AE＝CF＝2，
∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，
∴四边形BEDF为菱形，
∴DE＝DF＝BE＝BF，
∵AC＝BD＝8，OE＝OF=8-42=2，
由勾股定理得：DE=OD2+OE2=42+22=25，
∴四边形BEDF的周长＝4DE＝4×25=85，
故答案为：85．
35.（2020•天水）如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为　 　．

【答案】（﹣1，5）
【解析】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．
∵四边形OEFG是正方形，
∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，
在△OGM与△EOH中，
∠OGM=∠EOHOG=EO∠GOM=∠OEH
∴△OGM≌△EOH（ASA）
∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3，
∴G（﹣3，2）．
∴O′（-12，52）．
∵点F与点O关于点O′对称，
∴点F的坐标为 （﹣1，5）．
故答案是：（﹣1，5）．


36.（2019•黑龙江）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2．连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则Sn＝　 　．

【答案】2n﹣2
【解析】解：∵四边形OAA1B1是正方形，
∴OA＝AA1＝A1B1＝1，
∴S1=12×1×1=12=21﹣2，
∵∠OAA1＝90°，
∴OA12＝12+12＝2，
∴OA1=2，
∴OA2＝A2A3=2OA1＝2，
∴A2B1＝2﹣1＝1，
∴S2=12×2×1＝1＝22﹣2，
同理可求：S3=12×2×2＝2＝23﹣2，S4＝4＝24﹣2，…，
∴Sn＝2n﹣2，
故答案为：2n﹣2．




三、解答题（共14小题）：
37.（2020•桂林）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）若BE=3，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．

【答案】(1)见解析；(2)菱形ABCD的面积＝23.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵点E，F分别是边AD，AB的中点，
∴AF＝AE，
在△ABE和△ADF中，AB=AD∠A=∠AAE=AF，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）解：连接BD，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是边AD的中点，
∴BE⊥AD，
∴∠ABE＝30°，
∴AE＝tan30°BE=33BE＝1，AB＝2AE＝2，
∴AD＝AB＝2，
∴菱形ABCD的面积＝AD×BE＝2×3=23．


38.（2020•连云港）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．
（1）求证：四边形BNDM是菱形；
（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．

【答案】(1)见解析；(2)菱形BNDM的周长＝52.
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DMO＝∠BNO，
∵MN是对角线BD的垂直平分线，
∴OB＝OD，MN⊥BD，
在△MOD和△NOB中，∠DMO=∠BNO∠MOD=∠NOBOD=OB，
∴△MOD≌△NOB（AAS），
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴四边形BNDM是菱形；
（2）解：∵四边形BNDM是菱形，BD＝24，MN＝10，
∴BM＝BN＝DM＝DN，OB=12BD＝12，OM=12MN＝5，
在Rt△BOM中，由勾股定理得：BM=OM2+OB2=52+122=13，
∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．
39.（2020•滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．

【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，∠EBP=∠EDQEB=ED∠BEP=∠DEQ，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）证明：如图所示：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
40.（2020•广西）如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接ED并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．
（1）求证：△ADE≌△BDF．
（2）若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE是矩形．

【答案】(1)见解析；(2)见解析.
【解析】证明：（1）∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDF中，AD=BD∠ADE=∠BDFDE=DF，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
（2）∵AD＝BD，DF＝DE，
∴四边形AFBE是平行四边形，
∵点D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∵∠ABE＝∠CBE，
∴∠DEB＝∠ABE，
∴DB＝DE，
∴AB＝EF，
∴平行四边形AFBE是矩形．
41.（2020•德阳）如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点．连接GC并延长至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE，连接CE．
（1）判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论．
（2）连接DF，若BC=3，求DF的长．

【答案】(1)四边形CEDG是菱形，理由见解析；(2)DF=3.
【解析】解：（1）四边形CEDG是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，
∴GB＝GC＝GD，
∵CF＝GC，
∴GB＝GC＝GD＝CF，
∵四边形DCFE是菱形，
∴CD＝CF＝DE，DE∥CG，
∴DE＝GC，
∴四边形CEDG是平行四边形，
∵GD＝GC，
∴四边形CEDG是菱形；
（2）如图所示：
方法1：∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，
∴△CDG是等边三角形，
∴CD＝BG，GCD＝∠DGC＝60°，
∴∠DCF＝∠BGC＝120°，
∴△BGC≌△DCF（SAS），
∴DF＝BC=3．
方法：2：过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，如图所示：
∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，
∴CH＝BH=12BC=32，△CDG是等边三角形，
∴∠GCD＝60°，
∴∠DCF＝180°﹣∠GCD＝180°﹣60°＝120°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∴∠GCH＝90°﹣60°＝30°，
∴CG=CHcos30°=3232=1，
∴CD＝1，
∵四边形DCFE是菱形，
∴DN＝FN，CN⊥DF，∠DCE＝∠FCE=12∠DCF=12×120°＝60°，
在Rt△CND中，DN＝CD•sin∠DCE＝1×sin60°＝1×32=32，
∴DF＝2DN＝2×32=3．
方法3：过点G作GH⊥BC于H，设DF交CE于点N，如图所示；
∵CD＝CF，GB＝GD＝GC＝CF，
∴CH＝BH=12BC=32，△CDG是等边三角形，
∴∠GDC＝60°，GD＝CD，
在Rt△BCD中，∵BC=3，∠GDC＝60°，
∴CD=33BC＝1，
∴GD＝1，
∵GD＝GC＝CF，
∴CD=12GF，
∴△GDF是直角三角形，
∴DF＝GD×tan∠DGC＝1×3=3．
42.（2020•大庆）如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．
（1）求证：四边形ANCM为平行四边形；
（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，求DM的长．

【答案】(1)见解析；(2)DM=32.
【解析】（1）证明：∵在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，
∴AD∥BC，AO＝CO，
∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，
在△AOM和△CON中，∠OAM=∠OCN∠AMO=∠CNOAO=CO，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AM＝CN，
∵AM∥CN，
∴四边形ANCM为平行四边形；
（2）解：∵在矩形ABCD中，AD＝BC，
由（1）知：AM＝CN，
∴DM＝BN，
∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，
∴平行四边形ANCM为菱形，
∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，
∴在Rt△ABN中，根据勾股定理，得
AN2＝AB2+BN2，
∴（4﹣DM）2＝22+DM2，
解得DM=32．
43.（2019•鄂州）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当DE＝DF时，求EF的长．

【答案】(1)见解析；(2)EF=152.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO＝∠BEO，
又因为∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，
∴△DOF≌△BOE（ASA），
∴DF＝BE，
又因为DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵DE＝DF，四边形BEDF是平行四边形
∴四边形BEDF是菱形，
∴DE＝BE，EF⊥BD，OE＝OF，
设AE＝x，则DE＝BE＝8﹣x
在Rt△ADE中，根据勾股定理，有AE2+AD2＝DE2
∴x2+62＝（8﹣x）2，
解之得：x=74，
∴DE＝8-74=254，
在Rt△ABD中，根据勾股定理，有AB2+AD2＝BD2
∴BD=62+82=10，
∴OD=12 BD＝5，
在Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2 ﹣OD2＝OE2，
∴OE=(254)2-52=154，
∴EF＝2OE=152．
44.（2020•张家界）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线EF，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△DOE≌△BOF；
（2）若AB＝6，AD＝8，连接BE，DF，求四边形BFDE的周长．

【答案】(1)见解析；(2)四边形BFDE的周长=25.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DO＝BO，
∴∠EDO＝∠FBO，
又∵EF⊥BD，
∴∠EOD＝∠FOB＝90°，
在△DOE和△BOF中，∠EDO=∠FBODO=BO∠EOD=∠FOB=90°，
∴△DOE≌△BOF（ASA）；

（2）解：∵由（1）可得，ED∥BF，ED＝BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE是菱形，
根据AB＝6，AD＝8，设AE＝x，可得BE＝ED＝8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得：BE2＝AB2+AE2，
即（8﹣x）2＝x2+62，
解得：x=74，
∴BE=8-74=254，
∴四边形BFDE的周长=254×4=25．
45.（2019•宁波）如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上．
（1）求证：BG＝DE；
（2）若E为AD中点，FH＝2，求菱形ABCD的周长．

【答案】(1)见解析；(2)菱形ABCD的周长＝8.
【解析】解：（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴∠GFH＝∠EHF，
∵∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠DHE＝180°﹣∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG＝DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE＝ED，
∵BG＝DE，
∴AE＝BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG，
∵EG＝FH＝2，
∴AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝8．

46.（2020•西宁）如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，CE，并延长CE交AD于点F．
（1）求证：△ABE≌△CBE；
（2）若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数．

【答案】(1)见解析；(2)∠DFE＝65°.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABE=∠CBE=∠ADB=12×90°=45°，
在△ABE和△CBE中，AB=CB∠ABE=∠CBEBE=BE(公共边)，
∴△ABE≌△CBE（SAS）；
（2）∵△ABE≌△CBE，
∴∠AEB＝∠CEB，
又∵∠AEC＝140°，
∴∠CEB＝70°，
∵∠DEC+∠CEB＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣∠CEB＝110°，
∵∠DFE+∠ADB＝∠DEC，
∴∠DFE＝∠DEC﹣∠ADB＝110°﹣45°＝65°．
47.（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：△BAE≌△CDE；
（2）求∠AEB的度数．

【答案】(1)见解析；(2)∠AEB＝15°.
【解析】（1）证明：∵△ADE为等边三角形，
∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，
∴∠EAB＝∠EDC＝150°，
在△BAE和△CDE中AB=DC∠EAB=∠EDCAE=DE，
∴△BAE≌△CDE（SAS）；
（2）∵AB＝AD，AD＝AE，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠EAB＝150°，
∴∠AEB=12（180°﹣150°）＝15°．
48.（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．

【答案】(1)见解析；(2)GE的长为：523，52.
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECM＝45°，
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME，
∵CD＝MN，
∴DM＝EN，
∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
在△DME和△ENF中
∠EDM=∠FENDM=EN∠DME=∠ENF，
∴△DME≌△ENF（ASA），
∴EF＝DE；
（2）解：如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，
∴ME＝NF，
∵四边形MNBC是矩形，
∴MC＝BN，
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
∴BN＝MC＝NF＝1，
∵∠EMC＝90°，
∴CE=2，
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，
∴CDAF=CGAG，
∴42=CGAG，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝42，
∵AC＝AG+GC，
∴AG=423，CG=823，
∴GE＝GC﹣CE=823-2=523；
如图2所示，
同理可得，FN＝BN，
∵AF＝2，AB＝4，
∴AN＝1，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝42，
∵AF∥CD，
∴△GAF∽△GCD，
∴AFCD=GAGC，
即24=AGAG+42，
解得，AG＝42，
∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，
∴AE=2，
∴GE＝GA+AE＝52．
综上所述：GE的长为：523，52．
49.（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．

【答案】(1)见解析；(2)OE＝5；BG＝2.
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；

（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE=12AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF=AE2-EF2=3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
50.（2018•北京）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：GF＝GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．

【答案】(1)见解析；(2)BH=2AE.
【解析】证明：（1）如图1，连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，
∵点A关于直线DE的对称点为F，
∴△ADE≌△FDE，
∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，
∴∠DFG＝90°，
在Rt△DFG和Rt△DCG中，
∵DF=DCDG=DG，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），
∴GF＝GC；
（2）BH=2AE，理由是：
证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE，
∵AD＝AB，
∴DM＝BE，
由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠ADC＝90°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴2∠2+2∠3＝90°，
∴∠2+∠3＝45°，
即∠EDG＝45°，
∵EH⊥DE，
∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形，
∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH，
∴∠1＝∠BEH，
在△DME和△EBH中，
∵DM=BE∠1=∠BEHDE=EH，
∴△DME≌△EBH（SAS），
∴EM＝BH，
Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE，
∴EM=2AE，
∴BH=2AE；
证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，
∴∠ENH＝90°，
由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH，
在△DAE和△ENH中，
∵∠A=∠ENH∠1=∠NEHDE=EH，
∴△DAE≌△ENH（AAS），
∴AE＝HN，AD＝EN，
∵AD＝AB，
∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，
∴AE＝BN＝HN，
∴△BNH是等腰直角三角形，
∴BH=2HN=2AE．