专题18三角形及全等三角形（基础巩固练习） 解析版

这是一份专题18三角形及全等三角形（基础巩固练习） 解析版，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年中考数学 专题18 三角形及全等三角形（基础巩固练习，共40个小题）一、选择题（共20小题）：1．（2020•徐州）若一个三角形的两边长分别为3cm、6cm，则它的第三边的长可能是（　　）A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm【答案】C【解析】解：设第三边长为xcm，根据三角形的三边关系可得：6﹣3＜x＜6+3，解得：3＜x＜9，故选：C．2.（2020•大连）如图，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是（   ）A．50° B．60°C．70° D．80°【答案】D【解析】解：∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B，∠A＝60°，∠B＝40°，∴∠C＝80°，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C＝80°，故选：D．3.（2020•沈阳）如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为（　　）A．65° B．55° C．45° D．35°【答案】B【解析】解：∵AC⊥CB，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝180°﹣90°﹣∠BAC＝90°﹣35°＝55°，∵直线AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD＝55°，故选：B．4.（2020•锦州）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠ADC的度数是（　　）A．80° B．90° C．100° D．110°【答案】C【解析】解：∵∠A＝30°，∠B＝50°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°（三角形内角和定义）．∵CD平分∠ACB，∴∠BCD∠ACB100°＝50°，∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝50°+50°＝100°．故选：C．5.（2020•眉山）一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（　　）A．∠α+∠β＝180°B．B．∠α+∠β＝225°C．C．∠α+∠β＝270°D．D．∠α＝∠β【答案】B【解析】解：如图，在四边形ABCD中，且∠1＝∠α，∠2＝∠β，∵∠A+∠1+∠C+∠2＝360°，∴∠α+∠β＝360°﹣90°﹣45°＝225°．故选：B．6．（2020•宿迁）在△ABC中，AB＝1，BC，下列选项中，可以作为AC长度的是（　　）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】解：∵在△ABC中，AB＝1，BC，∴1＜AC1，∵1＜21，41，51，61，∴AC的长度可以是2，故选项A正确，选项B、C、D不正确；故选：A．7.（2020•淄博）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AC⊥BC，若∠B＝50°，则∠DCA等于（　　）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】C【解析】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵∠B＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，∵CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB＝40°．故选：C．8.（2020•永州）如图，已知AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，能直接判断△ABC≌△DCB的方法是（　　）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA【答案】A【解析】解：∵AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SAS），故选：A．9.（2020•鄂州）如图，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＜OC，∠AOB＝∠COD＝36°．连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①∠AMB＝36°，②AC＝BD，③OM平分∠AOD，④MO平分∠AMD．其中正确的结论个数有（　　）个．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】解：∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中， ∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，故②正确；∵∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OBD＝∠OAC+∠AOB，∴∠AMB＝∠AOB＝36°，故①正确；作OG⊥AM于G，OH⊥DM于H，如图所示，则∠OGA＝∠OHB＝90°，∵△AOC≌△BOD，∴OG＝OH，∴MO平分∠AMD，故④正确；假设MO平分∠AOD，则∠DOM＝∠AOM，在△AMO与△DMO中，，∴△AMO≌△DMO（ASA），∴AO＝OD，∵OC＝OD，∴OA＝OC，而OA＜OC，故③错误；正确的个数有3个；故选：B．10.（2020秋•重庆期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（　　）①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH是△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG是△ABE的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG是△ABD的边AD上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH为△ACD的边AD上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH是△ACF的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B．11.（2020•吉林）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　）A．85° B．75° C．65° D．60°【答案】B【解析】解：如图所示，∠α＝∠E+∠ACB＝30°+45°＝75°，故选：B．12.（2020•湖北）将一副三角尺按如图摆放，点E在AC上，点D在BC的延长线上，EF∥BC，∠B＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠F＝60°，则∠CED的度数是（　　）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】A【解析】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，∴∠ACB＝45°．∵∠EDF＝90°，∠F＝60°，∴∠DEF＝30°．∵EF∥BC，∴∠EDC＝∠DEF＝30°，∴∠CED＝∠ACB﹣∠EDC＝45°﹣30°＝15°．故选：A．13.（2020秋•滦南县期末）如图，已知AC＝DB，下列四个条件：①∠A＝∠D；②∠ABD＝∠DCA；③∠ACB＝∠DBC；④∠ABC＝∠DCB．其中能使△ABC≌△DCB的有（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【解析】解：根据SAS，条件③，可以使得△ABC≌△DCB，故选：A．14.（2020秋•天河区期末）如图，AE∥DF，AE＝DF．添加下列的一个选项后．仍然不能证明△ACE≌△DBF的是（　　）A．AB＝CD B．EC＝BF C．∠E＝∠F D．EC∥BF【答案】B【解析】解：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，A、根据SAS，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．B、SSA不能判定三角形全等，本选项符合题意．C、根据ASA，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．D、根据AAS，可以推出△ACE≌△DBF，本选项不符合题意．故选：B．15.（2020秋•五华区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为（　　）A．2 B．5 C．8 D．11【答案】C【解析】解：∵E为BC的中点，∴BE＝EC，∵AB∥CD，在△BEF与△CED中，，∴△BEF≌△CED（AAS）∴EF＝DE，BF＝CD＝3，∴AF＝AB+BF＝8，∵AE⊥DE，EF＝DE，∴AF＝AD＝8，故选：C．16.（2020秋•江汉区期末）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C，D，使BC＝CD．再作出BF的垂线DE，使A，C，E三点在一条直线上，通过证明△ABC≌△EDC，得到DE的长就等于AB的长，这里证明三角形全等的依据是（　　）A．HL B．SAS C．SSS D．ASA【答案】D【解析】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：D．17.（2020秋•莒南县期末）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D，下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（　　）个．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】解：在△AEF和△ABC中，，∴△AEF≌△ABC（SAS），∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠C＝∠EFA，∴∠EAB＝∠FAC，∠AFC＝∠C，∴∠EFA＝∠AFC，即FA平分∠EFC．又∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，∴∠BFE＝∠FAC．故①②③④正确．故选：D．18.（2020•黄州区校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：①AF＝BC；②∠DEB＝45°，③AE＝CE+2BD，④若∠CAE＝30°，则1，正确的有（　　）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】解：∵AE⊥BC，∴∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∵∠AFD＝∠CFE，∴∠DAF＝∠DCB，∵AD＝DC，∴△ADF≌△CDB，∵AF＝BC，DF＝DB，故①正确，∴∠DFB＝∠DBF＝45°，取BF的中点O，连接OD、OE．∵∠BDF＝∠BEF＝90°，∴OE＝OF＝OB＝OD，∴E、F、D、B四点共圆，∴∠DEB＝∠DFB＝45°，故②正确，如图1中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N，易证△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形，∴MF＝BN，EM＝EN，∴EF+EB＝EM﹣FM+EN+NB＝2EM＝2DN，∵AE﹣CE＝BC+EF﹣EC＝EF+BE＝2DN＜2BD，∴AE﹣CE＜2BD，即AE＜EC+2BD，故③错误，如图2中，作DM⊥AE于M，DN⊥BC于N．易证△DMF≌△DNB，四边形DMEN是正方形，∴FM＝BN，EM＝EN＝DN，∴EF+EB＝EM﹣MF+EN+BN＝2EN＝2DN≤2BD，∵AE﹣EC＝ADF+EF﹣EC＝BC_EF﹣EC＝EF+BE≤2BD，∴AE≤EC+2BD，故③错误，如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．∵∠CAE＝30°，∠CAD＝45°，∠ADF＝90°，∴∠DAF＝15°，∠AFD＝75°，∵∠DFB＝45°，∴∠AFB＝120°，∴∠BFH＝60°，∵FH＝BF，∴△BFH是等边三角形，∴BF＝BH，∵BC⊥FH，∴FE＝EH，∴CF＝CH，∴∠CFH＝∠CHF＝∠AFD＝75°，∴∠ACH＝75°，∴∠ACH＝∠AHC＝75°，∴AC＝AH，∵AF+FB＝AF+FH＝AH，∴AF+BF＝AC，故④正确，故选：B．19.（2020秋•卢龙县期末）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（　　）A．3 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，∵EF＝2，∴AD＝AF+DF＝4+（3﹣2）＝5，故选：B．20.（2020秋•越秀区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5cm，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC，连接CF，使CF＝AB，若EF＝12cm，则下列结论不正确的是（　　）A．∠F＝∠BCF B．AE＝7cm C．EF平分AB D．AB⊥CF【答案】C【解析】解：∵EF⊥AC，∴∠AEF＝∠ACB＝90°，∴EF∥BC，∴∠F＝∠BCF，故A正确；∵EF⊥AC，∴∠FEC＝∠ACB＝90°，在Rt△ABC和Rt△FEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△FEC（HL），∴AC＝EF＝12cm，∵CE＝BC＝5cm，∴AE＝AC﹣CE＝7cm．故B正确；如果AE＝CE，∵EF∥BC，∴EG是△ABC的中位线，∴EF平分AB，而AE与CE不一定相等，∴不能证明EF平分AB，故C错误；∵Rt△ABC≌Rt△FEC，∴∠A＝∠F，∴∠A+∠ACD＝∠F+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴AB⊥CF，故D正确．∴结论不正确的是C．故选：C．二、填空题（共10小题）：21.（2019•大庆）如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG＝1，则AD＝　   　．【答案】3【解析】解：∵D、E分别是BC，AC的中点，∴点G为△ABC的重心，∴AG＝2DG＝2，∴AD＝AG+DG＝2+1＝3．故答案为3．22.（2019•哈尔滨）在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为　    　度．【答案】60或10【解析】解：分两种情况：①如图1，当∠ADC＝90°时，∵∠B＝30°，∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°；②如图2，当∠ACD＝90°时，∵∠A＝50°，∠B＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∴∠BCD＝100°﹣90°＝10°，综上，则∠BCD的度数为60°或10°；故答案为：60或10；23.（2020•江西）如图，AC平分∠DCB，CB＝CD，DA的延长线交BC于点E，若∠EAC＝49°，则∠BAE的度数为　     　．【答案】82°【解析】解：∵AC平分∠DCB，∴∠BCA＝∠DCA，又∵CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠B＝∠D，∴∠B+∠ACB＝∠D+∠ACD，∵∠CAE＝∠D+∠ACD＝49°，∴∠B+∠ACB＝49°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠ACB﹣∠CAE＝82°，故答案为：82°．24.（2020•齐齐哈尔）如图，已知在△ABD和△ABC中，∠DAB＝∠CAB，点A、B、E在同一条直线上，若使△ABD≌△ABC，则还需添加的一个条件是　            　．（只填一个即可）【答案】AD=AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）【解析】解：∵∠DAB＝∠CAB，AB＝AB，∴当添加AD＝AC时，可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC；当添加∠D＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC；当添加∠ABD＝∠ABC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC．故答案为AD＝AC（∠D＝∠C或∠ABD＝∠ABC等）．25.（2020秋•花都区期末）如图，D、C、F、B四点在同一条直线上，BC＝DF，AC⊥BD于点C，EF⊥BD于点F，如果要添加一个条件，使△ABC≌△EDF，你添加的条件是　                          　（注：只需写出一个条件即可）．【答案】AB＝ED或∠B＝∠D或DE∥AB或∠A＝∠E【解析】解：∵AC⊥BD于点C，EF⊥BD于点F，∴∠ACB＝∠EFD＝90°，∵BC＝DF，∴根据HL，可以添加AB＝ED，使得△ABC≌△EDF，根据SAS，可以添加∠B＝∠D或DE∥AB，使得△ABC≌△EDF，根据AAS，可以添加∠A＝∠E，使得△ABC≌△EDF，故答案为：AB＝ED或∠B＝∠D或DE∥AB或∠A＝∠E．26.（2020秋•潮州期末）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，AC＝AE，且∠CDA＝55°，则∠B＝　   　度．【答案】20【解析】解：∵DE⊥AB，∴∠C＝∠AED＝90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴∠EDA＝∠CDA＝55°，即∠CDE＝110°，∴∠BDE＝70°，∴∠B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣70°＝20°，故答案为：20．27.（2020秋•铁力市期末）如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，则∠DAE的度数为　    　．【答案】20°【解析】解：在△ABC中，∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣36°﹣76°＝68°．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD∠BAC68°＝34°．∵AE是△ABC的高，∴∠AEC＝90°．在△ACE中，∠AEC＝90°，∠C＝76°，∴∠CAE＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝180°﹣90°﹣76°＝14°．∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝34°﹣14°＝20°．故答案为：20°．28.（2020秋•沂南县期末）如图，在直角三角形ABC中，点P、Q分别是AC、BC边上的两个动点，MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，交AB于点M、N，MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，两条角平分线交于点R，则∠R＝　   　°．【答案】67.5°【解析】解：∵∠C+∠A+∠B＝180°，∠C+∠CPQ+∠CQP＝180°，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∠CPQ+∠CQP＝90°，∴∠APQ+∠BQP+∠CPQ+∠CQP＝360°，∴∠APQ+∠BQP＝270°，∵MP、NQ分别平分∠APQ和∠BQP，∴∠MPQ+∠NQP＝∠APM+∠BQN＝135°，∵∠MPQ+∠NQP+∠PMN+∠QNM＝360°，∴∠PMN+∠QNM＝225°，∵MR、NR又分别平分∠BMP和∠ANQ，∴∠NMR+∠MNR＝112.5°，∵∠NMR+∠MNR+∠R＝180°，∴∠R＝67.5°．故答案为67.5．29.（2020秋•肇源县期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E，若线段AE＝3，则四边形ABCD的面积是　   　．【答案】9【解析】解：过A点作AF⊥CD交CD的延长线于F点，如图，∵AE⊥BC，AF⊥CF，∴∠AEC＝∠CFA＝90°，而∠C＝90°，∴四边形AECF为矩形，∴∠2+∠3＝90°，又∵∠BAD＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABE和△ADF中，∵，∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF＝3，S△ABE＝S△ADF，∴四边形AECF是边长为3的正方形，∴S四边形ABCD＝S正方形AECF＝32＝9．故答案为：9． 30.（2020秋•西峰区期末）如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2cm，BE＝0.5cm，则DE＝　  　cm．【答案】1.5【解析】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠E＝∠ADC＝90°∴∠DAC+∠DCA＝90°∵∠ACB＝90°∴∠BCE+∠DCA＝90°∴∠DAC＝∠BCE在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE∴BE＝CD＝0.5（cm），EC＝AD＝2（cm）DE＝CE﹣CD＝1.5（cm），故答案为1.5三、解答题（共10小题）：31.（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．【答案】见解析。【解析】证明：连接AC，在△AEC与△AFC中，∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠CAE＝∠CAF，∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD．32.（2020•无锡）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）△ABF≌△DCE；（2）AF∥DE．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，∵BE＝CF，∴BE﹣EF＝CF﹣EF，即BF＝CE，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS）；（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC，∴∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE．33.（2020•温州）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE．（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．【答案】(1)见解析；(2)13.【解析】证明：（1）∵AB∥DE，∴∠BAC＝∠D，又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，∴△ABC≌△DCE（AAS）；（2）∵△ABC≌△DCE，∴CE＝BC＝5，∵∠ACE＝90°，∴AE13．34.（2020•黄石）如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．（1）求∠DAE的度数；（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．【答案】(1)30°；(2)见解析.【解析】解（1）∵AB∥DE，∠E＝40°，∴∠EAB＝40°，∵∠DAB＝70°，∴∠DAE＝30°；（2）证明：在△ADE与△BCA中，，∴△ADE≌△BCA（ASA），∴AD＝BC．35.（2020•常州）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD．（1）求证：∠E＝∠F；（2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数．【答案】(1)见解析；(2)60°.【解析】证明：（1）∵EA∥FB，∴∠A＝∠FBD，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝BD，在△EAC与△FBD中，，∴△EAC≌△FBD（SAS），∴∠E＝∠F；（2）∵△EAC≌△FBD，∴∠ECA＝∠D＝80°，∵∠A＝40°，∴∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，答：∠E的度数为60°．36.（2020•内江）如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【答案】(1)见解析；(2)70°.【解析】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AB＝CD； （2）解：∵△ABE≌△DCF，∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，∵∠B＝40°，∴∠C＝40°∵AB＝CF，∴CF＝CD，∴∠D＝∠CFD（180°﹣40°）＝70°．37.（2019•温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F．（1）求证：△BDE≌△CDF．（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．【答案】(1)见解析；(2)3.【解析】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）；（2）解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2，∴AB＝AE+BE＝1+2＝3，∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3． 38.（2018•宜昌）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．【答案】(1)65°；(2)25°.【解析】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∴∠CBD＝130°．∵BE是∠CBD的平分线，∴∠CBE∠CBD＝65°； （2）∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，∴∠CEB＝90°﹣65°＝25°．∵DF∥BE，∴∠F＝∠CEB＝25°．39.（2020•黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长．【答案】(1)全等；(2)BD；(3)S△ACD=；AD.【解析】解：（1）全等，理由是：∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△ACE≌△BCD（ SAS）；（2）如图3，由（1）得：△BCD≌△ACE，∴BD＝AE，∵△DCE是等边三角形，∴∠CDE＝60°，CD＝DE＝2，∵∠ADC＝30°，∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝30°+60°＝90°，在Rt△ADE中，AD＝3，DE＝2，∴AE，∴BD；（3）如图2，过A作AF⊥CD于F，∵B、C、E三点在一条直线上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE＝180°，∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠ACD＝60°，在Rt△ACF中，sin∠ACF，∴AF＝AC×sin∠ACF＝1，∴S△ACD，∴CF＝AC×cos∠ACF＝1，FD＝CD﹣CF＝2，在Rt△AFD中，AD2＝AF2+FD23，∴AD．40.（2020•常德）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，同理∠EDF＝60°，∴∠A＝∠EDF＝60°，∴AC∥DE，∴∠DMB＝∠ACB＝90°，∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM，∴，即M是BC的中点，∵EP＝CE，即E是PC的中点，∴ED∥BP，∴∠CBP＝∠DMB＝90°，∴△CBP是直角三角形，∴BEPC＝EP；②∵∠ABC＝∠DFE＝30°，∴BC∥EF，由①知：∠CBP＝90°，∴BP⊥EF，∵EB＝EP，∴EF是线段BP的垂直平分线，∴PF＝BF，∴∠PFE＝∠BFE＝30°；（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP，∴△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，∵QE＝DE，∠DEF＝90°∴EF是DQ的垂直平分线，∴QF＝DF，∵CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝60°，∴∠ADC＝60°，∴∠CDB＝120°，∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP，∴△FQP≌△FDB（SAS），∴∠QFP＝∠BFD，∵EF是DQ的垂直平分线，∴∠QFE＝∠EFD＝30°，∴∠QFP+∠EFP＝30°，∴∠BFD+∠EFP＝30°