专题20相似三角形（基础巩固练习） 解析版

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2021年中考数学 专题20 相似三角形（基础巩固练习，共40个小题）一、选择题（共20小题）：1.（2020秋•宝山区月考）已知线段b是线段a、c的比例中项，a＝3，c＝2，那么b的长度等于（　　）A． B．6 C． D．【答案】C【解析】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，∴b2＝ac，∵a＝3，c＝2，∴b2＝6，解得：b（负数舍去），故选：C．2.（2020•成都）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．【答案】D【解析】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴，∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴，∴DE，故选：D．3.（2020•营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且，则的值为（　　）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵DE∥AB，∴，∴的值为，故选：A．4.（2020•永州）如图，在△ABC中，EF∥BC，，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（　　）A． B．25 C．35 D．63【答案】B【解析】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴（）2＝（）2，∴S△AEFS△ABC．∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21，∴S△ABC＝25．故选：B．5.（2020•玉林）一个三角形木架三边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（　　）A．一种 B．两种 C．三种 D．四种【答案】B【解析】解：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的木条上截下两段长分别为xcm，ycm（x+y≤120），由于长60cm的木条不能与75cm的一边对应，否则x+y＞120cm，当长60cm的木条与100cm的一边对应，则，解得：x＝45，y＝72；当长60cm的木条与120cm的一边对应，则，解得：x＝37.5，y＝50．∴有两种不同的截法：把120cm的木条截成45cm、72cm两段或把120cm的木条截成37.5cm、50cm两段．故选：B．6.（2020•大庆）已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（　　）A．10或5+2 B．15 C．10 D．15+3【答案】A【解析】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意；当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似，不合题意舍去当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：2，故m+n＝5+2；当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：，故m+n＝10；故选：A．7.（2020•铜仁市）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）A．3 B．2 C．4 D．5【答案】A【解析】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，∵△FHB∽△EAD，∴2，即2，解得，EA＝3，故选：A．8.（2019•沈阳）已知△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，若AD＝10，A'D'＝6，则△ABC与△A'B'C'的周长比是（　　）A．3：5 B．9：25 C．5：3 D．25：9【答案】C【解析】解：∵△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'是它们的对应中线，AD＝10，A'D'＝6，∴△ABC与△A'B'C'的周长比＝AD：A′D′＝10：6＝5：3．故选：C．9.（2019•西藏）如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是（　　）A．1：4 B．1：3 C．1：2 D．2：1【答案】A【解析】解：由题意可知：DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DEBC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2，故选：A．10.（2020•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD＝1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5【答案】C【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，OA：OD＝1：2，∴△ABC与△DEF的位似比是1：2．∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：C．11.（2020•潍坊）如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）A．21 B．28 C．34 D．42【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴，∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．故选：C．12.（2020•天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m【答案】A【解析】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴，∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m，∴AC＝AB+BC＝14m，∴，解得，DC＝17.5，即建筑物CD的高是17.5m，故选：A．13.（2020•牡丹江）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F．若DF＝6，则线段EF的长为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝10，AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAF，∴△AFD∽△EBA，∴，∵DF＝6，∴AF，∴，∴AE＝5，∴EF＝AF﹣AE＝8﹣5＝3．故选：B．14.（2020•遂宁）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若AF＝2FD，则的值为（　　）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由AF＝2DF，可以假设DF＝k，则AF＝2k，AD＝3k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBG，∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G，∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k，∴CG＝CD+DG＝3k，∵AB∥DG，∴△ABE∽△CGE，∴，故选：C．15.（2020•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　）A．14 B．15 C．8 D．6【答案】A【解析】解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，∴∠ACE＝∠BCH＝45°，∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝180°∴B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线，∵DE∥AI∥BH，∴∠CEP＝∠CHQ，∵∠ECP＝∠QCH，∴△ECP∽△HCQ，∴，∵PQ＝15，∴PC＝5，CQ＝10，∵EC：CH＝1：2，∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，∵PQ⊥CR，CR⊥AB，∴CQ∥AB，∵AC∥BQ，CQ∥AB，∴四边形ABQC是平行四边形，∴AB＝CQ＝10，∵AC2+BC2＝AB2，∴5a2＝100，∴a＝2（负根已经舍弃），∴AC＝2，BC＝4，∵•AC•BC•AB•CJ，∴CJ4，∵JR＝AF＝AB＝10，∴CR＝CJ+JR＝14，故选：A．16.（2020•贵港）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD的长为（　　）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∵BC＝3，BD＝2，∴，∴BA，∴AD＝BA﹣BD2．故选：B．17.（2020•海南）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　）A．16 B．17 C．24 D．25【答案】A【解析】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．故选：A．18.（2020•广西）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【解析】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN＝90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN＝EH＝x，∵△AEF∽△ABC，∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），∵BC＝120，AD＝60，∴AN＝60﹣x，∴，解得：x＝40，∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．故选：B．19.（2019•赤峰）如图，D、E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE的长是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得，AE＝3，故选：C．20.（2019•安徽）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（　　）A．3.6 B．4 C．4.8 D．5【答案】B【解析】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，∴，∵EF⊥AC，∠C＝90°，∴∠EFA＝∠C＝90°，∴EF∥CD，∴△AEF∽△ADC，∴，∴，∵EG＝EF，∴DH＝CD，设DH＝x，则CD＝x，∵BC＝12，AC＝6，∴BD＝12﹣x，∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，∴EG∥AC∥DH，∴△BDH∽△BCA，∴，即，解得，x＝4，∴CD＝4，故选：B．二、填空题（共10小题）：21.（2020秋•浦东新区期末）如果线段a、b满足，那么的值等于　 　．【答案】【解析】解：∵，∴可设a＝5k，则b＝2k，∴．故答案为：．22.（2020•吉林）如图，AB∥CD∥EF．若，BD＝5，则DF＝　  　．【答案】10【解析】解：∵AB∥CD∥EF，∴，∴DF＝2BD＝2×5＝10．故答案为10．23.（2020秋•黄浦区期末）已知三角形的三边长为a、b、c，满足，如果其周长为36，那么该三角形的最大边长为　  　．【答案】16【解析】解：设k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵三角形的周长为36，∴a+b+c＝36，即2k+3k+4k＝36，解得k＝4，∴a＝8，b＝12，c＝16，即该三角形的最大边长为16．故答案为16．24.（2019•台州）如图，直线l1∥l2∥l3，A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D．设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC＝90°，BD＝4，且，则m+n的最大值为　 　．【答案】【解析】解：延长AB交l3于E，∵，易知，∵BD＝4，∴CE＝10，∵∠ABC＝90°，∴∠CBE＝90°，设m＝2x，n＝3x，构造以CE为直径的半圆，则点B在其弧上运动，易知BG≤B′G′＝5，即3x≤5，∴x，∵m+n＝5x，∴m+n的最大值为．故答案为：．25.（2020•盐城）如图，BC∥DE，且BC＜DE，AD＝BC＝4，AB+DE＝10．则的值为　．【答案】2【解析】解：∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴，即，∴AB•DE＝16，∵AB+DE＝10，∴AB＝2，DE＝8，∴，故答案为：2．26.（2020•锦州）如图，在△ABC中，D是AB中点，DE∥BC，若△ADE的周长为6，则△ABC的周长为　  　．【答案】12【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵D是AB的中点，∴，∴∵△ADE的周长为6，∴△ABC的周长为12，故答案为：12．27.（2020•上海）《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC为　 　米．【答案】7【解析】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴，∴AC＝7（米），故答案为：7．28.（2019•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E．若AC＝8，BC＝6，则线段DE的长度为　    　．【答案】【解析】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB10，∵DE垂直平分AB，∴∠DEA＝90°，AE5，∴∠DEA＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ACB，∴，即∴DE．故答案为：．29.（2020•大连）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，CE与BD相交于点F．设DE＝x，BF＝y，当0≤x≤8时，y关于x的函数解析式为　      　．【答案】【解析】解：在矩形 中，AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴，∵BD10，BF＝y，DE＝x，∴DF＝10﹣y，∴，化简得：，∴y关于x的函数解析式为：，故答案为：．30.（2020•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD⊥AB，垂足为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则DF的长为　     　．【答案】【解析】解：如图，过点F作FH⊥AC于H． 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB5，∵CD⊥AB，∴S△ABC•AC•BC•AB•CD，∴CD，AD，∵FH∥EC，∴，∵EC＝EB＝2，∴，设FH＝2k，AH＝3k，CH＝3﹣3k，∵tan∠FCH，∴，∴k，∴FH，CH＝3，∴CF，∴DF，故答案为．三、解答题（共10小题）：31.（2020•苏州）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝6，BC＝4，求DF的长．【答案】(1)见解析；(2).【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA；（2）∵E是BC的中点，BC＝4，∴BE＝2，∵AB＝6，∴AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DFA，∴，∴．32.（2020•上海）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE＝FD，AF的延长线交BC的延长线于点H，AE的延长线交DC的延长线于点G．（1）求证：△AFD∽△GAD；（2）如果DF2＝CF•CD，求证：BE＝CH．【答案】(1)见解析；(2)见解析.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF．∵AB∥CD，∴∠G＝∠BAE＝∠DAF，又∵∠D＝∠D，∴△AFD∽△GAD．（2）证明：∵DF2＝CF•CD，∴，∵AD∥BH，∴，∴，∵AD＝CD，∴CH＝DF，∵△ABE≌△ADF，∴BE＝DF，∴BE＝CH．33.（2019•张家界）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．（1）求证：BF＝CF；（2）若BC＝6，DG＝4，求FG的长．【答案】(1)见解析；(2)FG＝2.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EBF∽△EAD，∴，∴BFADBC，∴BF＝CF；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CF，∴△FGC∽△DGA，∴，即，解得，FG＝2．34.（2020•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【答案】(1)见解析；(2)①BE＝4；②S△ABC＝45.【解析】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴，解得：BE＝4；②∵，∴，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴（）2＝（）2，∴S△ABCS△EFC20＝45．35.（2019•荆门）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面高度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．【答案】楼的高度OE为32米.【解析】解：令OE＝a，AO＝b，CB＝x，则由△GDC∽△EOC得，即，整理得：3.2+1.6b＝2.1a﹣ax①，由△FBA∽△EOA得，即，整理得：1.6b＝2a﹣ax②，将②代入①得：3.2+2a﹣ax＝2.1a﹣ax，∴a＝32，即OE＝32，答：楼的高度OE为32米．36.（2019•雅安）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过O，分别交AB、CD于点E、F，EF的延长线交CB的延长线于M．（1）求证：OE＝OF；（2）若AD＝4，AB＝6，BM＝1，求BE的长．【答案】(1)见解析；(2)BE＝1.【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，BC＝AD，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF；（2）解：过点O作ON∥BC交AB于N，则△AON∽△ACB，∵OA＝OC，∴ONBC＝2，BNAB＝3，∵ON∥BC，∴△ONE∽△MBE，∴，即，解得，BE＝1．37.（2019•凉山州）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M．连接CM交DB于N．（1）求证：BD2＝AD•CD；（2）若CD＝6，AD＝8，求MN的长． 【答案】(1)见解析；(2)MN.【解析】证明：（1）∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°，∴△ABD∽△BCD∴∴BD2＝AD•CD（2）∵BM∥CD∴∠MBD＝∠BDC∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA∴BM＝MD＝AM＝4∵BD2＝AD•CD，且CD＝6，AD＝8，∴BD2＝48，∴BC2＝BD2﹣CD2＝12∴MC2＝MB2+BC2＝28∴MC＝2∵BM∥CD；∴△MNB∽△CND∴，且MC＝2∴MN38.（2018•福建）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．【答案】(1)45°；(2)CG＝12.5.【解析】解：（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB＝90°，AD＝AB＝10，∴∠ABD＝45°，∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠BDF＝∠ABD＝45°； （2）方法1、由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA＝∠DFC＝∠ABC，∠ADE+∠DAB＝180°，∵∠DAB＝90°，∴∠ADE＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ADE＝∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴，∵AC＝8，AB＝AD＝10，∴AE＝12.5，由平移的性质得，CG＝AE＝12.5； 方法2、由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴S▱ABFE＝AE•AC＝AB•AD，由旋转知，AD＝AB＝10，∵AC＝8，∴AE×8＝10×10，∴AE＝12.5，由平移的性质得，CG＝AE＝12.5． 39.（2020•兰州）如图，在▱ABCD中，DE⊥AC于点O，交BC于点E，EG＝EC，GF∥AD交DE于点F，连接FC，点H为线段AO上一点，连接HD，HF．（1）判断四边形GECF的形状，并说明理由；（2）当∠DHF＝∠HAD时，求证：AH•CH＝EC•AD．【答案】(1)四边形GFCE是平行四边形；(2)见解析.【解析】解：（1）四边形GECF是菱形，∵EG＝EC，DE⊥AC，∴GO＝CO，∵GF∥AD，AD∥BC，∴GF∥BC，∴∠FGO＝∠ECO，∠GFO＝∠CEO，∴△GFO≌△CEO（AAS），∴GF＝EC，∴四边形GFCE是平行四边形，又∵EG＝EC，∴平行四边形GFCE是菱形；（2）∵∠DHC＝∠DAH+∠ADH＝∠DHF+∠FHC，∠DHF＝∠HAD，∴∠ADH＝∠FHC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAH＝∠ACB，∵四边形GFCE是菱形，∴CE＝CF，∠HCF＝∠ACB，∴∠HCF＝∠DAH，∴△ADH∽△CHF，∴，∴AH•CH＝AD•EC．  40.（2019•淄博）如图1，正方形ABDE和BCFG的边AB，BC在同一条直线上，且AB＝2BC，取EF的中点M，连接MD，MG，MB．（1）试证明DM⊥MG，并求的值．（2）如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB＝2α（0＜α＜90°），其它条件不变，问（1）中的值有变化吗？若有变化，求出该值（用含α的式子表示）；若无变化，说明理由．【答案】(1)=；(2)有变化，.【解析】（1）证明：如图1中，延长DM交FG的延长线于H．∵四边形ABDE，四边形BCFG都是正方形，∴DE∥AC∥GF，∴∠EDM＝∠FHM，∵∠EMD＝∠FMH，EM＝FM，∴△EDM≌△FHM（AAS），∴DE＝FH，DM＝MH，∵DE＝2FG，BG＝DG，∴HG＝DG，∵∠DGH＝∠BGF＝90°，MH＝DM，∴GM⊥DM，DM＝MG，连接EB，BF，设BC＝a，则AB＝2a，BE＝2a，BFa，∵∠EBD＝∠DBF＝45°，∴∠EBF＝90°，∴EFa，∵EM＝MF，∴BMEFa，∵HM＝DM，GH＝FG，∴MGDFa，∴．（2）解：（1）中的值有变化．理由：如图2中，连接BE，AD交于点O，连接OG，CG，BF，CG交BF于O′．∵DO＝OA，DG＝GB，∴GO∥AB，OGAB，∵GF∥AC，∴O，G，F共线，∵FGAB，∴OF＝AB＝DF，∵GF∥AC，AC∥OF，∴DE∥OF，∴OD与EF互相平分，∵EM＝MF，∴点M在直线AD上，∵GD＝GB＝GO＝GF，∴四边形OBFD是矩形，∴∠OBF＝∠ODF＝∠BOD＝90°，∵OM＝MD，OG＝GF，∴MGDF，设BC＝m，则AB＝2m，易知BE＝2OB＝2•2m•sinα＝4msinα，BF＝2BO°＝2m•cosα，DF＝OB＝2m•sinα，∵BMEF，GMDF＝m•sinα，∴．