初中数学北师大版七年级下册第五章 生活中的轴对称综合与测试单元测试课堂检测

北师大版初中数学七年级下册第五单元《生活中的抽对称》单元测试卷（困难）

考试范围：第五章；考试时间：100分钟；总分120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 在的正方形网格中，将三个小正方形涂色，如图所示，若移动其中一个涂色小正方形到空白方格中，与其余两个涂色小正方形重新组合，使得新构成的图案是一个轴对称图形，则这样的移法共有   

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

2. 下列图形：线段、角、正方形、圆，其中是轴对称图形个数的为

A.  B.  C.  D.

3. 下列美丽的图案中，不是轴对称图形的是

A.   B.  
C.  D.

4. 如图是一纸条的示意图，第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为；第次对折，使，两点重合后再打开，折痕为已知，则纸条原长为．

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在中，是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点，连接，若，，则点到的距离为

A.  B.  C.  D.

6. 和按如图所示的位置摆放，顶点、、在同一直线上，，，将沿着翻折，得到，将沿着翻折，得，点、的对应点、与点恰好在同一直线上，若，，则的长度为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，中，，，，点是上一动点，于，于，在点的运动过程中，线段的最小值为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形，那么涂法共有几种

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有    

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10. 如图所示，钻石型网格由边长都为个单位长度的等边三角形组成，其中已经涂黑了个小三角形阴影部分表示，请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形．满足题意的涂色方式有    种．

A.  B.  C.  D.

11. 如图，直线与相交，且锐角夹角为，点在锐角的内部，小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，，如此继续，得到一系列的点，，，，若与重合，则的可以是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，，点是内的定点且，若点，分别是射线，上异于点的动点，则周长的最小值是   

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，，为上一点，，点是上的一动点，，垂足为点，则的最小值为______．

14. 如图，已知正方形边长为，点在边上，且，点，分别是边，上的动点均不与顶点重合，则四边形的周长的最小值是               ．
    
     

15. 如图，中，，，将折叠，使点落在的中点处，折痕分别交边，于点，，则______．
    
    
     

16. 将边长为的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为，，第次对折后得到的图形面积为，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）

17. 如图所给图形分别为正三角形、正方形、正五边形、正六边形．

分别说出它们各有几条对称轴．

分别画出各图形的所有对称轴．

通过你自己作图与思考，你发现了哪些规律试着写出几条．






 

18. 同一平面内，我们把正多边形任意边的两顶点都构成等腰三角形的点称为这个正多边形的幸运点，把正边形幸运点的个数记作小明同学在学习了轴对称这一章之后，发现正多边形都是轴对称图形，决定运用轴对称的知识探究一下，请与小明同学一起完成下面的探究
    
    如图，在正五边形中，点是其对称点的交点，显然是这个正五边形的一个幸运点，______度，在对称轴与交于上另一点点与点之间也是一个幸运点，则______度，______
    如图，为正方形的对称轴
    请在直线画出这个正方形的幸运点
    ______
    ______．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，在中，分别以、为边作等边三角形、，与相交于点．
    吗？为什么？
    如果要使和全等，那么还需要添加什么条件？在此条件下，整个图形是轴对称图形吗？此时是多少度？
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知点在外，，，射线与的边交于点，，垂足为，．
    如图，求证：；
    如图，已知，，点在线段，且，点，分别是射线、上的动点，在点，运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由．

21. 已知，为射线上一定点，，为射线上一动点，连接，满足，均为锐角．点在线段上与点，不重合，满足，点关于直线的对称点为，连接，．
    依题意补全图；
    求的度数用含的代数式表示；
    若，点在的延长线上，满足，连接，写出一个的值，使得，并证明．

22. 如图，等边三角形中，是边延长线上一点，延长至，使，于．
    试说明：．

23. 如图，，，试说明：
     

平分．






 

24. 如图所示，
    写出顶点的坐标；
    作关于轴对称的，并写出的坐标；
    若点与点关于轴对称，求的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】如图所示，一共有种移法．

故选D．
 

2.【答案】
 

【解析】解：线段、角、正方形、圆，其中是轴对称图形的有：
线段、角、正方形、圆，共四个．
故选D．
根据轴对称图形的概念求解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的概念判断求解即可．
【解答】
解：是轴对称图形，故选项错误；
B.不是轴对称图形，故选项正确；
C.是轴对称图形，故选项错误；
D.是轴对称图形，故选项错误；
故选B．  

4.【答案】
 

【解析】解：根据翻折可知：，
，
，
，
，
，
解得．
答：纸条原长为．
故选：．
根据翻折可得，，，所以，进而可以解决问题．
本题考查了翻折变换，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

5.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，交于点，过点作于点，

，是边上的中点，
，
由翻折知，≌，垂直平分，
，，，
，
为等边三角形，
，
，
，
在中，
，，
，，
，
在中，
，
，
，
，
，
点到的距离为，
故选：．
连接，交于点，过点作于点，由翻折知，≌，垂直平分，证为等边三角形，利用解直角三角形求出，，，在中，利用勾股定理求出的长，在中利用面积法求出的长，则可得出答案．
本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．
 

6.【答案】
 

【解析】解：由翻折可知：，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在中，根据勾股定理，得
，
，
解得或舍去，
，，
．
故选：．
根据翻折的性质证明≌，可得，，然后根据勾股定理可以解决问题．
本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．
 

7.【答案】
 

【解析】解：如图：

，，
，
于，于，
，
，
、、、四点共圆，且直径为，
当时，的值最小四边形、、、四点共圆，是直径，是定值，故直径最小时，所对的弦最小，
在中，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
∽，
，
设，则，，，
取的中点，连接，则，
，
，
过作于，则，，
，
由勾股定理得：，
，
，即线段的最小值为．
故选：．
当时，线段的值最小，利用四点共圆的判定可得：、、、四点共圆，且直径为，得出，从而可得∽，，设，表示出和的长，代入比例式中，可求出的值．
本题考查了四点共圆，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的判断当时，线段的值最小是解题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了利用轴对称设计图案的知识有关知识，根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【解答】
解：选择一个正方形涂黑，使得个涂黑的正方形组成轴对称图形，

选择的位置有以下几种：处，处，处，处，处，选择的位置共有处．
故选D．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查的知识点是轴对称图形、轴对称的性质解题关键是根据题意作出与成轴对称的格点三角形先根据题意画出与成轴对称的格点三角形，然后数出与成轴对称的格点三角形的个数即可得出正确选项．

【解答】

解：在网格中作出与成轴对称的格点三角形如下图所示：

在此网格中与成对称的格点三角形一共有个．
故选B．

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可．
【解答】
解：如图所示，满足题意的涂色方式有种，

故选C．  

11.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了作图轴对称变换和规律探究问题，根据题意得出点的变化规律是解题关键．根据题意画出图形进而得出每对称次回到点，进而得出符合题意的答案．
【解答】
解：如图所示：

，，，，每对称次回到点，
，
与重合，则的可以是：．
故选A．  

12.【答案】
 

【解析】解：作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，如图，
则，，，，，
，，
此时周长最小，
作于，则，
，
，
，
．
故选：．
作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，如图，利用轴对称的性质得，，，，，所以，利用两点之间线段最短判断此时周长最小，作于，则，然后利用含度的直角三角形三边的关系计算出即可．
本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题作点关于的对称点，根据轴对称性找出点的位置，如图，根据三角函数求出，，再根据三角函数求出结论．
本题考查含直角三角形的性质、轴对称--最短路线问题及三角函数，正确确定点的位置是解题的关键．
【解答】
解：作点关于的对称点，过作于交于，
则的长即为的最小值，
连接交于，则，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：．  

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了轴对称，利用轴对称确定、，连接得出、的位置是解题关键根据最短路径的求法，先确定点关于的对称点，再确定点关于的对称点，连接即可得出，的位置．

【解答】

解：如图所示：

作关于的对称点，点关于的对称点，连接，四边形的周长最小，
，，
，．
，

四边形的周长最小值．

故答案为．

15.【答案】
 

【解析】解：连接交于点，过点作于点，如图所示：

，，为线段的中点，
，，，，
．
将折叠，使点落在的中点处，折痕分别交边、于点、点，
．
，，
∽，
，
，
．
故答案为．
连接交于点，过点作于点，根据折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质可求出的长度．
本题考查了折叠的性质、勾股定理以及相似三角形的判定及性质，证明∽是解题的关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：由题意可得：，，，
，
，
，
令，
则，
，
即，
．
故答案为：．
根据题意，先写出前面几个对折后的图形的面积，然后再求所得式子的值．
本题考查了翻折变换，规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，表示出每部分的图形面积，发现所得式子的特点，用错位相减法得到答案．
 

17.【答案】解：分别有条、条、条、条对称轴．

略．

正边形有条对称轴，这些对称轴都相交于一点答案不唯一

【解析】见答案
 

18.【答案】       
 

【解析】解：由题意是正五边形的中心角，
，，
，
正五边形有条对称轴，每条对称轴上有两个幸运点，点重复，
，
故答案为，，；

如图，直线上的幸运点如图所示．

观察上图可知，正方形的幸运点共有个，，
故答案为．

如图观察图象可知，
故答案为．

根据正五边形的性质、幸运点的定义即可解决问题；
根据幸运点的定义画出图形即可解决问题；
幸运点在对称轴上，画出两条对称轴上的幸运点即可解决问题；
幸运点在对称轴上，画出三条对称轴上的幸运点即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正五边形、正方形、正三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考创新题目．
 

19.【答案】解：如图，，理由是：
、都是等边三角形，
，，，
，
即，
≌，
；
添加条件：，如图，
，，
，
≌；
由得：≌，
，
，
，
；
整个图形是轴对称图形，此时．
 

【解析】根据等边三角形的性质得：，，，所以，可以证明≌，则；
添加条件：，则两个等边三角形的条边相等，则和全等，并根据外角的性质可知：．
本题考查了等边三角形、轴对称、全等三角形的性质和判定，是常考题型，两个等边三角形能构建一对全等三角形，只需说明其夹角相等即可得出全等．
 

20.【答案】证明：如图，

作于，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
矩形是正方形，
，
；
如图，


作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于，于，
，，，，，，，
，
是等边三角形，
，
此时．
 

【解析】作，证明≌，再证明四边形是正方形，进而命题得证；
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于，于，证明是等边三角形，进一步得出的最小值．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”模型及变形模型．
 

21.【答案】解：图形，如图所示．


，关于对称，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
．

如图中，不妨设作于，于．

在中，，，
，，设，则，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
解得，
，
．
 

【解析】根据要求画出图形即可．
首先证明，再利用四边形内角和定理解决问题即可．
假设，求出的值即可．
本题属于几何变换综合题，考查了轴对称，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：如图，过点作，交的延长线于，所以，．

因为是等边三角形，

所以，．

所以是等边三角形．

所以．

所以．

因为，

所以，

因为，

所以．

在和中，

所以．

所以，即是等腰三角形．

又因为于，

所以为的中点．

所以．

【解析】略
 

23.【答案】解：如图，延长，交于点．

因为，

所以F.

又因为，

所以F.

所以．

因为，，

所以．

因为，

所以．

所以．

由知，，

所以．

所以．

因为，，

所以平分．

【解析】略
 

24.【答案】解：．
关于轴对称的如图所示；

如图，．

与关于轴对称，
可得：，，
．
 

【解析】根据点的坐标的定义写出坐标即可；
作出、、三点关于轴的对称点、、即可；
根据轴对称的性质求出、的值即可；
本题考查作图轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．