专题03 二次函数背景下的图形变换-2022年中考数学复习压轴题突破之二次函数

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中考数学压轴题之二次函数
【方法综述】
本类型主要研究二次函数背景下的图形变换。因为图形的平移、折叠和旋转是许多数学问题进行命题的基础，因此这类问题大量存在，并且和其它问题相交织。
二次函数背景下的图形变换主要分成两类：
一个是二次函数图象的图形变换，此类问题在解决二次函数图象平移时可以采用顶点式表示抛物线顶点的变化，从而降低因图形变换函数关系式的表示难度。
另一类，是以二次函数为背景的几何图形变换。对于此类问题首先要掌握每一种图形变换的性质，并应用这些性质结合已知条件构成方程解决问题。
【典例示范】
类型一、二次函数为背景的平移变换
例1：（2018年中考专题训练）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为.

（1）求抛物线的解析式；
（2）将绕点顺时针旋转后，点落在点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；[来源:学&科&网]
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为.（2）平移后的抛物线解析式为：.（3）点的坐标为或.

（2）∵,，∴，，
可得旋转后点的坐标为，
当时，由得，
可知抛物线过点，
∴将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点，
则平移后的抛物线解析式为：；
（3）∵点在上，可设点坐标为，
将配方得，
∴其对称轴为，学科*网
①当时，如图①，

∵，
∴，
∵，
此时，
∴点的坐标为；

针对训练
1．（山东济南模拟）如图1，已知二次函数y=mx2+3mx﹣m的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），顶点D和点B关于过点A的直线l：y=﹣x﹣对称．
（1）求A、B两点的坐标及二次函数解析式；
（2）如图2，作直线AD，过点B作AD的平行线交直线1于点E，若点P是直线AD上的一动点，点Q是直线AE上的一动点．连接DQ、QP、PE，试求DQ+QP+PE的最小值；若不存在，请说明理由：
（3）将二次函数图象向右平移个单位，再向上平移3个单位，平移后的二次函数图象上存在一点M，其横坐标为3，在y轴上是否存在点F，使得∠MAF=45°？若存在，请求出点F坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（﹣，0），B（，0）；抛物线解析式y=x2+x﹣；（2）12；（3）（0，），（0，﹣）

∵直线y=﹣x﹣ 与x轴所成锐角为30°，且D，B关于y=﹣x﹣对称，
∴∠DAB=60°，且D点横坐标为﹣，
∴D（﹣，﹣3），学&科网
∴﹣3=m﹣m﹣m，
∴m=，
∴抛物线解析式y=x2+x﹣；


根据对称性可得PQ=P'Q，PE=EP'=P'E'，
∴DQ+PQ+PE=DQ+P'Q+P'E'，
∴当D，Q，E'三点共线时，DQ+PQ+PE值最小，
即DQ+PQ+PE最小值为DE'，
∵D（﹣，﹣3），E'（，3），
∴DE'=12，学科*网
∴DQ+PQ+PE最小值为12；

∵A（﹣，0），M（3，3），
∴E（3﹣3，3+），
∴直线AE解析式：y=x+，
∴F（0，），
若以AM为直角边，点M是直角顶点，在AM上方作等腰直角△AME，
同理可得：F（0，﹣）.学科*网
2.（云南腾冲期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过两点．
（1）求此抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为，将直线沿轴向下平移两个单位得到直线，直线与抛物线的对称轴交于点，O求直线的解析式；
（3）在（2）的条件下，求到直线距离相等的点的坐标．
【答案】（1）y=（2）y=x（3）M（，0）、A（0，2）、（0，-2）、（，0）

依题意,可得 且直线过原点，
设直线的解析式为y=kx,则
解得
所以直线l的解析式为

可证均为等边三角形，可求得：
① 所以点的坐标为
②点与点A重合,所以点的坐标为(0,2)，
③点 与点A关于x轴对称,所以点的坐标为(0,−2)，
④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，
且
所以点的坐标为 学科&网
综合所述，到直线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：


3．（陕西省西安市模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2平移，使平移后的抛物线经过点A（–3，0）、B（1，0）．
(1)求平移后的抛物线的表达式．
(2)设平移后的抛物线交y轴于点C，在平移后的抛物线的对称轴上有一动点P，当BP与CP之和最小时，P点坐标是多少？
(3)若y=x2与平移后的抛物线对称轴交于D点，那么，在平移后的抛物线的对称轴上，是否存在一点M，使得以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似？若存在，求点M坐标；若不存在，说明理由．

【来源】陕西省西安市西安铁一2017-2018学年九年级下第五次模拟考试数学试卷

（2）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，与y轴的交点C（0，﹣3），
则点C关于直线x=﹣1的对称点C′（﹣2，﹣3），
如图1，

连接B，C′，与直线x=﹣1的交点即为所求点P，
由B（1，0），C′（﹣2，﹣3）可得直线BC′解析式为y=x﹣1，
则，
解得，
所以点P坐标为（﹣1，﹣2）；

∴∠DOE=∠ODE=45°，∠BOD=135°，OD=，
∵BO=1，
∴BD=，
∵∠BOD=135°，
∴点M只能在点D上方，
∵∠BOD=∠ODM=135°，
∴当或时，以M、O、D为顶点的三角形△BOD相似，
①若，则，解得DM=2，
此时点M坐标为（﹣1，3）；
②若，则，解得DM=1，
此时点M坐标为（﹣1，2）；学科*网
综上，点M坐标为（﹣1，3）或（﹣1，2）．
4．（聊城市2018年中考）如图，已知抛物线与轴分别交于原点和点，与对称轴交于点.矩形的边在轴正半轴上，且，边，与抛物线分别交于点，.当矩形沿轴正方向平移，点，位于对称轴的同侧时，连接，此时，四边形的面积记为；点，位于对称轴的两侧时，连接，，此时五边形的面积记为.将点与点重合的位置作为矩形平移的起点，设矩形平移的长度为.

（1）求出这条抛物线的表达式；
（2）当时，求的值；
（3）当矩形沿着轴的正方向平移时，求关于的函数表达式，并求出为何值时，有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）y=-x2+2x．（2）．（3）S=-t2+t-，当t=时，S有最大值，最大值是．

（2）当t=0时，点B的坐标为（1，0），点N的坐标为（1，），

∴BN=，OB=1，
∴S△OBN=BN•OB=．学科*网
（3）①当0＜t≤4时（图1），点A的坐标为（t，0），点B的坐标为（t+1，0），
∴点M的坐标为（t，-t2+2t），点N的坐标为（t+1，-（t+1）2+2（t+1）），
∴AM=-t2+2t，BN=-（t+1）2+2（t+1），
∴S=（AM+BN）•AB=×1×[-t2+2t-（t+1）2+2（t+1）]，
=-t2+t+，
=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=4时，S取最大值，最大值为；

∴S=（5-t）（-t2+2t+5）+（t-4）[5-（t+1）2+2（t+1）]，
=（t3-3t2+5t+25）+（-t3+t2+t-），
=-t2+t-，学&科网
=-（t-）2+，
∵-＜0，
∴当t=时，S取最大值，最大值为．
∵=＜，
∴当t=时，S有最大值，最大值是．
5．（南充市期末）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有两个不动点．

【答案】（1）y=x2﹣1；（2））△ABM为直角三角形，理由详见解析；（3）当m＜时，平移后的抛物线总有两个不动点．

解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣1；学&科网
（2）△ABM为直角三角形．理由如：
由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），
∴AM=，AB=，BM=，
∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，
∴△ABM为直角三角形；
6．（沈阳市沈河区2018年中考二模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于（2，0）、（1，0），与y轴交于C，直线l1经过点C且平行于x轴，与抛物线的另一个交点为D，将直线l1向下平移t个单位得到直线l2，l2与抛物线交于A、B两点．

（1）求抛物线解析式及点C的坐标；
（2）当t=2时，探究△ABC的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点M（m，0）在x轴上自由运动，过M作MN⊥x轴，交直线BC于P，交抛物线于N，若三个点M、N、P中恰有一个点是其他两个点连线段的中点（三点重合除外），则称M、N、P三点为“共谐点”，请直接写出使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值．
【答案】（1）点C的坐标为（0，﹣1）；（2）△ABC为直角三角形，理由见解析；（3）使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值为或或或．

（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
∵t=2，直线l1：y=﹣1，
∴直线l2：y=﹣3．
当y=﹣3时，﹣x2+x﹣1=﹣3，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴点A的坐标为（﹣1，﹣3），点B的坐标为（4，﹣3）．
∵点C的坐标为（0，﹣1），
∴AC=，BC=，AB=5．
∵AC2+BC2=25=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC为直角三角形．
（3）设直线BC的解析式为y=kx+d（k≠0），
将B（4，﹣3）、C（0，﹣1）代入y=kx+d，得：
，解得：，
∴直线BC的解析式为y=﹣x﹣1．
∵点M的坐标为（m，0），
∴点N的坐标为（m，﹣m2+m﹣1），点P的坐标为（m，﹣m﹣1）．
②当点N为中点时，有0﹣（﹣m2+m﹣1）=﹣m2+m﹣1﹣（﹣m﹣1），
整理得：2m2﹣7m+2=0，[来源:学科网]
解得：m1=，m2=；学科&网
③当点P为中点时，有0﹣（﹣m﹣1）=﹣m﹣1﹣（﹣m2+m﹣1），
整理得：m2﹣5m﹣2=0，
解得：m3=，m4=．
综上所述：使得M、P、N三点为“共谐点”的m的值为或或或．
7．（2018培优提高单元检测）如图，、两点在一次函数与二次函数图象上．

求的值和二次函数的解析式．
请直接写出使时，自变量的取值范围．
说出所求的抛物线可由抛物线如何平移得到？
【来源】2018-2019学年度第一学期浙教版九年级数学上_第1-2章_二次函数和简单事件的概率_培优提高单元检测试题
【答案】 ；当时，；所求抛物线可由抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位而得到．

∴；
∵，抛物线开口向上，
∴，
∴当时，；
∵抛物线，
∴所求抛物线可由抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位而得到．
8．（2018年河南省商丘市中考数学一模）如图，抛物线y=ax2+bx﹣2与y轴的交点为A，抛物线的顶点为B（1，﹣3）．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）点P为x轴上一点，当三角形PAB的周长最小时，求出点P的坐标；
（3）水平移动抛物线，新抛物线的顶点为C，两抛物线的交点为D，当O，C，D在一条直线上时，请直接写出平移的距离．

【来源】【全国市级联考】2018年河南省商丘市中考数学一模试卷
【答案】(1) y=（x﹣1）2﹣3=x2﹣2x﹣2 (2) P（，0） (3) 平移距离为2或3

（2）∵A（0，﹣2），B（1，﹣3），
∴AB=，
∵△ABP的周长=PA+PB+AB=PA+PB+，
∴当PA+PB最小时，△ABP的周长最小;
作A点关于x轴的对称点A'（0，2），连接A'B,
设直线A'B解析式y=kx+b,
根据题意得：,
解得：k=﹣5，b=2
∴直线A'B的解析式y=﹣5x+2；
当y=0时，x=，
∴P（，0）；

∵C（1+m，﹣3，），O（0，0），
∴直线CO解析式y=x，
∵O，C，D三点共线，
∴=，
解得：m1=0（不合题意舍去），m2=﹣3，m3=2；
∴向右平移2个单位长度，或向左平移3个单位长度，O，C，D三点共线．
∴平移距离为2或3.
9．（吉林长春二模）已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1，）．
（1）求tan∠OPQ的值；
（2）将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′．
①求抛物线C′的解析式；
②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．
【答案】（1）1；（2）①y=x2﹣2x+，；②A（，）．．



②方法一：设点A（x0，y0），则y0=x02﹣2x0+①，
过点A作x轴的垂线，与直线Q′F相交于点N，则可设N（x0，n），

∴AN=y0﹣n，其中y0＞n，
连接FP，

∴FP=FK，有∠PFN=∠AFN，
∴∠ANF=∠AFN，则AF=AN，
∵A（x0，y0），F（1，），
∴AF2=（x0﹣1）2+（y0﹣）2=x02﹣2x0+1+y02﹣y0+=x02﹣2x0++y02﹣y0=（x02﹣2x0+）+y02﹣y0，②
∵y0=x02﹣2x0+①，学科*网
将①右边整体代换②得，AF2=（x02﹣2x0+）+y02﹣y0=y0+y02﹣y0=y02，
∵y0＞0，
∴AF=y0，
∴y0=y0﹣n，[来源:学+科+网Z+X+X+K]
∴n=0，
∴N（x0，0），

将x0=代入y0=x2﹣2x0+，
∴y0=，
∴A（，）．学科&网
方法二：由①有，Q'（0，），F（1，），P（1，0），
∴直线FQ'的解析式为y=x+,①
∵FQ'⊥PK，P（1，0），
∴直线PK的解析式为y=x﹣，②
联立①②得出，直线FQ'与PK的交点M坐标为（，），
∵点P，K关于直线FQ'对称，
∴K（，），
∵F（1，），
∴直线FK的解析式为 y=x+③，
∵射线FK与抛物线C′：y=x2﹣2x+④相交于点A，
∴联立③④得，，,或（舍）,
∴A（，）．学科&网
10．（人教版数学九年级（上)第22章二次函数压轴题专项训练）已知抛物线L：y＝x2+bx﹣2与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．且点A的坐标是（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积；
（3）将抛物线向左或向右平移，得到抛物线L′，L′与x轴相交于A'、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A'B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

【答案】(1)y＝x2﹣x﹣2，顶点D的坐标为（，﹣）；(2)△ABC是直角三角形，△ABC的面积是5；(3)所有满足条件的抛物线的函数表达式是y＝，y＝，y＝．

(2)当y＝0时，0＝x2﹣x﹣2，解得，x1＝﹣1，x2＝4，当x＝0时，y＝﹣2，
则点A（﹣1，0），点B（4，0），点C（0，﹣2），
∴AB＝5，AC＝，BC＝2，
∵AB2＝AC2+BC2，学&科网
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积是：＝5；
(3)∵抛物线向左或向右平移，
∴平移后A′B′与平移前的AB的长度相等，
∴只要平移后过（0，﹣2）或过（0，2）即满足条件，
当向右平移时，
令y＝，当x＝0时，y＝＝2，得a＝，
此时y＝＝，
当向左平移时，
令y＝，当x＝0时，y＝＝±2，得m＝或m＝3，
当m＝时，y＝，当m＝3时，y＝﹣2，学&科网
由上可得，所有满足条件的抛物线的函数表达式是y＝，y＝，y＝﹣2．
类型二、二次函数为背景的折叠变换
例2．（吉林省长春市朝阳区东北师大附中2018年中考模拟）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点M是二次函数图象上一点，过点M作轴，如果二次函数的图象与关于l成轴对称，则称是关于点M的伴随函数如图2，在平面直角坐标系中，二次函数的函数表达式是，点M是二次函数图象上一点，且点M的横坐标为m，二次函数是关于点M的伴随函数．

若，
求的函数表达式．
点，在二次函数的图象上，若，a的取值范围为______．
过点M作轴，
如果，线段MN与的图象交于点P，且MP：：3，求m的值．
如图3，二次函数的图象在MN上方的部分记为，剩余的部分沿MN翻折得到，由和所组成的图象记为.以、为顶点在x轴上方作正方形直接写出正方形ABCD与G有三个公共点时m的取值范围．
【答案】 的函数表达式为， ；
或， 当或时，G与正方形ABCD有三个公共点．

轴，MP：：3，
∴，学&科网
当时，，，
当时，，，
故或；
分析图象可知：
当时，可知C1和G的对称轴关于直线对称，的顶点恰在AD上，此时G与正方形有2个公共点，
当时，G与正方形ABCD有三个公共点，
当时，直线MN与x轴重合，G与正方形有三个公共点，
当1＜m＜时，G与正方形ABCD有五个公共点，学科&网
当m＝时，G的顶点与点C(3,2)重合，且G对称轴左侧部分与正方形有三个公共点，
当＜m＜2时，G与正方形ABCD有四个个公共点，
当时，G过点且G对称轴左侧部分与正方形有两个公共点，
故当或时，G与正方形ABCD有三个公共点．
针对训练
1．（辽宁省本溪市2018年中考数学试卷）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．

【答案】（1）顶点D的坐标为(1，4)；（2）当时， S取得最大值，最大值为；（3）把P′坐标（）代入抛物线解析式，不成立，所以不在抛物线上．

（2）设直线解析式为：（），把两点坐标代入，
得
解得，
∴直线解析式为，[来源:学科网ZXXK]
，
∴，学……科网
，
∴当时，取得最大值，最大值为；
（3）当取得最大值，，，
∴，
∴四边形是矩形，
作点关于直线的对称点，连接，

，
解得，
∵，
∴，
由，可得，，
∴，
∴坐标；
法二：连接，交于点，分别过点作的垂线，垂足为，
易证，

∴，
设，则，
∴，，

2．（江西省赣州市2018届中考模拟）如图1，已知抛物线L1：y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在L1上任取一点P，过点P作直线l⊥x轴，垂足为D，将L1沿直线l翻折得到抛物线L2，交x轴于点M，N（点M在点N的左侧）．
（1）当L1与L2重合时，求点P的坐标；
（2）当点P与点B重合时，求此时L2的解析式；并直接写出L1与L2中，y均随x的增大而减小时的x的取值范围；
（3）连接PM，PB，设点P（m，n），当n= m时，求△PMB的面积．

【答案】（1）P（1，4）；（2）x≥5 ；（3）△PMB的面积为或3

（2）在抛物线L1中，令y=0，即-x2+2x+3=0
解得x1=-1，x2=3
当点P与点B重合时，此时P（3，0）
∴抛物线L2与抛物线L1关于直线x=3对称
∴抛物线L2的顶点为（5，4）学科&网
∵由抛物线对称性可知，抛物线L1和L2开口方向和大小相同．
∴抛物线L2和的解析式为y=-（x-5）2+4=-x2+10x-21
∴结合图象可知，当x≥5时，抛物线L1与抛物线L2中，y均随x的增大而减小
（3）当n=m时，-m2+2m+3=m
解得m1=-，m2=2
∴点P坐标为（-，-）或（2，3）
①如图1，

当点P坐标为（-，-）时，点D的坐标为坐标为（-，0）
∴DB=3-（-）=
∴MB=2BD=2×=9
∴S△PMB=•MB•PD＝×9×＝

∴S△PMB=•MB•PD＝×2×3＝3
综上所述当点n=m时，△PMB的面积为或3.
3．（2018赤峰市模拟）已知抛物线与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，0）（点B在点A的右侧），其对称轴是x=3，该函数有最小值是﹣2．
（1）求二次函数解析式；
（2）在图1上作平行于x轴的直线，交抛物线于C（x3，y3），D（x4，y4），求x3+x4的值；[来源:Zxxk.Com]
（3）将（1）中函数的部分图象（x＞x2）向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，如图2，在（2）中平行于x轴的直线取点E（x5，y5）、（x4＜x5），结合函数图象求x3+x4+x5的取值范围．

【答案】(1) y=（x﹣3）2﹣2．（2）x3+x4=6．（3）11＜x3+x4+x5＜9+2．
（2）由二次函数图象的对称性质得出当纵坐标相等时，x3+x4=6．
（3）由已知条件可知直线与图象“G”要有3个交点．
①当直线与x轴重合时，有2个交点，由二次函数图象的轴对称性质可求x3+x4+x5＞11．
②当直线经过y=（x﹣3）2﹣2的图象顶点时，有2个交点，由翻折可以得到翻折后函数图象为y=﹣（x﹣3）2+2．
令﹣（x﹣3）2+2=﹣2时，解得：x=3±2，其中x=3﹣2（舍去），∴x3+x4+x5＜9+2．
综上所述：11＜x3+x4+x5＜9+2．

4．（2018-2019学年度第一学期人教版五四制九年级数学第28章二次函数单元测试题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．

求这个二次函数的表达式．
连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
【答案】（1）；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为，四边形的面积的最大值为．
【解析】解：将、两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：；

∵，
∴，
又∵，
∴
∴；
∴
解得，（不合题意，舍去），
∴点的坐标为
过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设，

设直线的解析式为：，
则，
解得：
∴直线的解析式为，
则点的坐标为；
当，

5．（扬州市广陵区2018年中考数学模拟）有一个二次函数满足以下条件：
①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；
②对称轴是x=3；
③该函数有最小值是﹣2．
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象x＞x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C（x3，y3）、D（x4，y4）、E（x5，y5）（x3＜x4＜x5），结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围．

【答案】（1）y=（x﹣3）2﹣2；（2）11＜x3+x4+x5＜9+2．

（2）如图所示：

由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点
1当直线与x轴重合时，有2个交点，由二次函数的轴对称性可求x3+x4=6，
∴x3+x4+x5＞11，
当直线过y=（x﹣3）2﹣2的图象顶点时，有2个交点，
由翻折可以得到翻折后的函数图象为y=﹣（x﹣3）2+2，
∴令（x﹣3）2+2=﹣2时，解得x=3+2或x=3﹣2（舍去）
∴x3+x4+x5＜9+2．学科&网
综上所述11＜x3+x4+x5＜9+2．
6．（北京市海淀区2018届九年级二模数学试题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于函数图象上横坐标之差为1的任意两点，，都成立，则称这个函数是限减函数，在所有满足条件的中，其最大值称为这个函数的限减系数．例如，函数，当取值和时，函数值分别为，，故，因此函数是限减函数，它的限减系数为．
（1）写出函数的限减系数；
（2），已知（）是限减函数，且限减系数，求的取值范围．
（3）已知函数的图象上一点，过点作直线垂直于轴，将函数的图象在点右侧的部分关于直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新函数的图象，如果这个新函数是限减函数，且限减系数，直接写出点横坐标的取值范围．
【答案】（1）2；（2）（3）
【解析】解：（1）函数的限减系数是2；
∴，与函数的限减系数不符.
∴．
若，（，）和（，）是函数图象上横坐标之差为1的任意两点，则，，
∵，且，
∴，当时，等号成立，故函数的限减系数．
∴的取值范围是．
（3）．
7．（九年级数学北师大版下册同步测试题）已知关于x一元二次方程x2-2(k+1)x+k2-2k-3=0有两个不相等的实数根
（1）求k取值范围；
（2）当k最小的整数时，求抛物线 y= x2-2(k+1)x+k2-2k-3的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线 y=x+m有三个不同公共点时m值．

【答案】(1) k＞-1;(2) 顶点坐标为（1，-4）, x轴相交于点（-1，0）和点（3，0）;(3) m=1或m=

(2)∵k>−1，且k取最小的整数，
∴k=0.
∴
(3)翻折后所得新图象如图所示，

平移直线y=x+m知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点，
①当直线位于时,此时过点A(−1,0)，
∴0=−1+m，即m=1.
②∵当直线位于时,此时与函数的图象有一个公共点
∴方程即有两个相等实根，
∴△=1−4(m−3)=0,即 学科&网
综上所述,m的值为1或
类型三一次函数与二次函数相结合的营销问题
例3：（无锡市惠山区锡山高中2018年中考数学一模）如图，平面直角坐标系中，直线l：y=x+m交x轴于点A，二次函数y=ax2﹣3ax+c（a≠0，且a、c是常数）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，与直线l交于点D，已知CD与x轴平行，且S△ACD：S△ABD=3：5．
（1）求点A的坐标；
（2）求此二次函数的解析式；
（3）点P为直线l上一动点，将线段AC绕点P顺时针旋转α°（0°＜α°＜360°）得到线段A'C'（点A，A'是对应点，点C，C'是对应点）．请问：是否存在这样的点P，使得旋转后点A'和点C'分别落在直线l和抛物线y=ax2﹣3ax+c的图象上？若存在，请直接写出点A'的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) A（﹣1，0）;(2) y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2;(3)见解析.
【解析】解：（1）

∵S△ACD：S△ABD=3：5．且△ACD和△ABD是等高的.
∴.
∴AB=5.
∵直线y=x+m与x轴交于A点，
∴A（﹣2m，0）.
∵点A，点B关于对称轴x=对称.
∴2×[﹣（﹣2m）]=5.
∴m=.
∴A（﹣1，0），且AB=5.
∴B（4，0）.

（3）∵点A在直线l上，旋转后A'点落在直线l上，
∴点A与点A'重合，或者点A绕着点P旋转180°.
当点A与点A'重合时，A'（﹣1，0）.
当点A绕着点P旋转180°得到A'，点C绕着点P旋转180°得到C'
∴AP=A'P，CP=CP'.
如图2:

设C'（a，﹣a2+a+2）.
∵C（ 0，2），CP=CP'.
∴P（a，﹣a2+a+2）.
∵点P在直线l上，
∴﹣a2+a+2=a+.

∴P（，）.
∵AP=AP'.
∴A'（2﹣，）.学科*网
综上所述A'（2﹣，），（2+，），（﹣1，0）.
针对训练
1.（208宁波市江北中学）已知直线，抛物线．
当，时，求直线与抛物线的交点坐标；
当，时，将直线绕原点逆时针旋转后与抛物线交于，两点（点在点的左侧），求，两点的坐标；
若将中的条件“”去掉，其他条件不变，且，求的取值范围．
【答案】(1) 直线与抛物线的交点坐标是或；(2) ，；(3)．

∴旋转后的直线的解析式为，
解得或，
∴，；

2．（广西玉林市2018届九年级中考三模）如图，抛物线y=﹣+bx+c交x轴于点A（﹣2，0）和点B，交y轴于点C（0，3），点D是x轴上一动点，连接CD，将线段CD绕点D旋转得到DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l于F，连接DF．
（1）求抛物线解析式；
（2）若线段DE是CD绕点D顺时针旋转90°得到，求线段DF的长；
（3）若线段DE是CD绕点D旋转90°得到，且点E恰好在抛物线上，请求出点E的坐标．

【答案】(1) 抛物线解析式为y=﹣；(2) DF=3；(3) 点E的坐标为E1（4，1）或E2（﹣ ，﹣）或E3（ ，﹣）或E4（，﹣）．

（3）如图2，设点D的坐标为（t，0）．学科&网
∵点E恰好在抛物线上，且EH=OD，∠DHE=90°，∴由（2）知，△COD≌△DHE，∴DH=OC，EH=OD，分两种情况讨论：

综上所述：点E的坐标为E1（4，1）或E2（﹣，﹣）或E3（，﹣）或E4（，﹣）．
3．（华东师大版九年级数学下册第26章二次函数单元检测试卷）如图，在平面直角坐标系中，△CDE的顶点C点坐标为C（1，﹣2），点D的横坐标为，将△CDE绕点C旋转到△CBO，点D的对应点B在x轴的另一个交点为点A．
（1）图中，∠OCE等于∠_____；
（2）求抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点P，使S△PAE=S△CDE？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）BCD；（2）y=x2﹣x﹣；（3）存在；（1+，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，1）．

∵CD2=（1﹣）2+（﹣2﹣n）2 ， CB2=（1﹣m）2+22 ， DE2=（2﹣）2+n2 ，
∴（1﹣）2+（﹣2﹣n）2=（1﹣m）2+22 ， （2﹣）2+n2=m2 ，
∴m=3，n=﹣，
∴B（3，0），
设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
把B（3，0）代入得4a﹣2=0，解得a=，
∴抛物线解析式为y=（x﹣1）2﹣2，即y=x2﹣x﹣；

解方程t2﹣t﹣=1得t1=1+，t2=1﹣，此时P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）；
解方程t2﹣t﹣=﹣1得t1=1+，t2=1﹣，此时P点坐标为（1+，﹣1）或（1﹣，1）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（1+，1）或（1﹣，1）或（1+，﹣1）或（1﹣，1）．
4．（2018年浙江省温州市苍南县中考一模）如图，▱ABCD位于直角坐标系中，AB=2，点D（0，1），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴正半轴上的点A，B，CE⊥x轴于点E．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）将该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，且这时新抛物线交x轴于点M，N．
①求MN的长．
②点P是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得AQ，则OQ的最小值为　 　（直接写出答案即可）

【答案】（1）A（1，0），B（3，0），C（2，1）；（2）①MN＝；②

（2）由（1）知，抛物线的顶点C（2，1），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+1，
∵A（1，0）在抛物线上，
∴a（1﹣2）2+1=0，
∴a=﹣1，学科*网
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1，
①该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，设平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+1+m，
∵D（0，1），
∴﹣（﹣2）2+1+m=1，
∴m=4，
∴平移后的抛物线解析式为y=﹣（x﹣2）2+5，
令y=0，
∴0=﹣（x﹣2）2+5，
∴x=2±，
∴M（2+，0），N（2﹣，0），
∴MN=2；

∴Q3（0，﹣），
∴点Q3在直线Q1Q2上，
∴点Q的运动轨迹是直线Q1Q2，
∴当OQ⊥Q1Q2时，OD最短，
∵Q1Q3=2
∴OD最小==，
故答案为．

5．（北师大版九年级数学下册_第二章_二次函数_单元检测）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过，，顶点为．

求该抛物线的表达方式及点的坐标；
将中求得的抛物线沿轴向上平移个单位，所得新抛物线与轴的交点记为点．当时等腰三角形时，求点的坐标；
若点在中求得的抛物线的对称轴上，联结，将线段绕点逆时针转得到线段，若点恰好落在中求得的抛物线上，求点的坐标．
【答案】（1）；顶点坐标为；（2）坐标为；（3）的坐标为，．
【解析】
将，坐标分别代入抛物线解析式得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
∴顶点坐标为；


设，如图所示，过作轴，交轴于点，过作，垂足为，
易得，，，
∴，
∴，，
∵四边形为矩形，
∴，
①当时，，代入抛物线解析式得：，
解得：或（舍去）；
②当时，，代入抛物线解析式得：，
解得：（舍去）或，
综上①②得到或，学科*网
则的坐标为，．
6．（河南省2018届九年级中考数学二模）如图，直线AB的解析式为，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
求抛物线的解析式；
如图，当点P在第一象限内的抛物线上时，求面积的最大值，并求此时点P的坐标；
过点A作直线轴，过点P作于点H，将绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为；（2）当时，面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为；（3）P点坐标为或；

抛物线解析式为；

在中，，
当点落在x轴上，如图2，学&科网
绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x轴上
，，，
，
∽，
：：OB，即：：3，
，
，
，解得，舍去，此时P点坐标为；
当点落在y轴上，如图3，

7．（成都市郫都区2017-2018学年九年级下第二次诊断性检测数学）如图，顶点为C的抛物线y=ax2+bx（a＞0）经过点A和x轴正半轴上的点B，连接OC、OA、AB，已知OA=OB=2，∠AOB=120°．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；
（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．

【答案】(1) y=x2﹣x；（2）点P坐标为（0，）或（0，）；（3）.

将两点代入y=ax2+bx得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为：y=x2-x；
（2）如图，


（3）如图，取Q（，0）．连接AQ，QE′．

∵
，∠QOE′=∠BOE′，
∴△OE′Q∽△OBE′，
∴，
∴E′Q=BE′，学&科网
∴AE′+BE′=AE′+QE′，
∵AE′+E′Q≥AQ，
∴E′A+E′B的最小值就是线段AQ的长，最小值为．
9．（四川省凉山州2018年中考）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为.

（1）求抛物线的解析式；
（2）将绕点顺时针旋转后，点落在点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；
（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为.（2）平移后的抛物线解析式为：.（3）点的坐标为或.
【解析】分析：（1）利用待定系数法，将点A，B的坐标代入解析式即可求得；
（2）根据旋转的知识可得：A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，
可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2，可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1；

（2）∵,，∴，，
可得旋转后点的坐标为.
当时，由得，
可知抛物线过点.
∴将原抛物线沿轴向下平移1个单位长度后过点.
∴平移后的抛物线解析式为：.
（3）∵点在上，可设点坐标为，
将配方得，∴其对称轴为.由题得Ｂ１（0,1）．
①当时，如图①，

∵，
∴，
∴，
此时，
∴点的坐标为.