专题05 中考图形旋转问题-2022年中考数学专题拓展提高讲练

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1.考点解析旋转问题在近几年中考、竞赛试题中频频出现,这使得数学试题解题方法和技巧更加灵活多变。旋转变换是几何变换中基本变换，由于旋转变换只改变图形的位置,而不改变其形状大小, 这使得原来分散的已知条件和结论，通过旋转变换几何图形重新组合,产生新图形, 进而揭示条件与结论之间内在的联系,找出解题的途径。2.考点分类：考点分类见下表考点分类考点内容考点解析与常见题型常考热点正三角形旋转与中心对称选择题以及中心对称图形证明题，圆的旋转一般考点角度长度的计算，坐标的变化填空题中利用旋转求长度,三角函数冷门考点相似三角形相似与旋转1.旋转变换三要素有①___旋转中心______②____旋转角_________③_____旋转方向________  2.旋转的性质：① 旋转前后的图形__形状大小不变_____；② 对应点到旋转中心的距离 __相等____；③ 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于___旋转角____；   3.中心对称的性质：关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过__对称中心____,而且被___平分_________；关于中心对称的两个图形是___全等的___  4.中心对称图形：一个图形绕着定点___旋转180°_____后与__原图形__重合，这个图形成为中心对 称图形。这个定点叫做该图形的___对称中心_________。过该点的直线__平分_____该图形的面积。一、中考题型解析中考图形旋转问题在近几年的中考中出现的频率还是非常高的，一般以填空题或者解答题的形式出现，一般以角度的计算，或者求线段长度的问题为主，占4-6分左右，此类题目难度简单，在后面的解答题目的小问中也有可能出现，一般与中心对称图形一起出现的比较多，占分8分左右，难度中等，需要学生对旋转图形前后的变化有充分的认识与理解。       学￥#科网二、典例精析★考点一：旋转后求角的度数◆典例一：如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A′B′C′．若∠A=40°．∠B′=110°，则∠BCA′的度数是【    】A．110°     B．80°     C．40°      D．30°【考点】旋转的性质，三角形内角和定理。【总结】抓住旋转以后的旋转角相等，再根据三角形内角和180得出相应的数量关系◆典例二：如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是【    】A.25°              B.30°                 C.35°                  D. 40°【考点】旋转的性质。【解析】根据旋转的性质，旋转前后图形全等以及对应边的夹角等于旋转角，从而得出答案：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA－∠A′OB=45°－15°=30°。故选B。◆典例三：如图，小红做了一个实验，将正六边形ABCDEF绕点F顺时针旋转后到达A′B′C′D′E′F′的位置，所转过的度数是【    】A．60° 　　B．72°　　 C．108°　　 D．120° 【考点】旋转的性质，多边形内角和定理。★考点二：旋转与坐标转换◆典例一：平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(，1)，将OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，则点B的坐标为【    】  A.(1，)             B.( －1，)          C.(0，2)          D.(2，0)【考点】坐标与图形的旋转变换，勾股定理，特殊角的三角函数值，全等三角形的判定和性质。【解析】如图，作AC⊥x轴于C点，BD⊥y轴于D点，∵点A的坐标为（，1），∴AC=1，OC=。∴OA=。∴∠AOC=30°。∵OA绕原点按逆时针方向旋转30°得OB，∴∠AOB=30°，OA=OB。∴∠BOD=30°。∴Rt△OAC≌Rt△OBD（AAS）。∴DB=AC=1，OD=OC=。∴B点坐标为（1，）。故选A。【总结】解决旋转坐标问题，第一先在平面直角坐标系中画出旋转前后的图形，然后抓住特殊的旋转角度构造出直角三角形，利用直角三角形的定理，或者勾股定理来求出相关的线段长度，最终得出点坐标。◆典例二：如图，A(，1)，B(1，)．将△AOB绕点O旋转l500得到△A′OB′，，则此时点A的对应点A′的坐标为【    】．A．(－，－l)    B．(－2，0)   C．(－l，－)或（－2，0)   D．(－，－1)或(－2，0)【考点】坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。[来源:Z.xx.k.Com]★考点三：网格中的图形旋转问题◆典例一：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，三角形ABC的顶点均落在格点上．（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1．在网格中画出△A1B1C1；（2）求线段OA在旋转过程中扫过的图形面积；（结果保留π）（3）求∠BCC1的正切值．【考点】网格问题，旋转变换作图，勾股定理，扇形面积，锐角三角函数的定义。【答案】解：（1）画图如下：（2）由勾股定理得，，                 线段OA在旋转过程中扫过的图形为以OA为半径，为圆心角的扇形，　　　　　　     ∴。                 答：线段OA在旋转过程中扫过的图形面积为．　         （3）在Rt中，。        答：∠BCC1的正切值是。◆典例二：如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为【    】[来源:学科网]（A） （B） （C）7 （D）6【考点】旋转的性质，弧长的计算。【解析】根据图示知，∠BAB′=45°，∴的长为：。故选A。  学@#科网★考点四：旋转与等边三角形◆典例一：如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【    】A．①②③⑤    B．①②③④    C．①②③④⑤    D．①②③ 【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。点O旋转至O″点．易知△AOO″是边长为3的等边三角形，△COO″是边长为3、4、5的直角三角形。则。故结论⑤正确。综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选A。[来源:Zxxk.Com]◆典例二：如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后得到△ACE，则CE的长度为　 ▲ 　． 【考点】等边三角形的性质，旋转的性质。【解析】由在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，根据等边三角形三边相等的性质，即可求得 BD=BC= AB =2。由旋转的性质，即可求得CE=BD=2。★考点五：旋转过程中的路径问题◆典例一：如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为　 ▲ 　（结果用含有π的式子表示） ◆典例二：如图，将边长为cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动6次后，正方形的中心O经过的路线长是　 ▲ 　cm．（结果保留π）【考点】正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，弧长的计算。  学#2科网[来源:学#科#网Z#X#X#K]★考点六：旋转过程中的面积问题◆典例一：如图，在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积为    ▲    【考点】旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理求得AB=10，由旋转的性质可知AD=AD′，设AD=AD′=BE=x，则DE=10-2x，根据旋转90°可证△A′DE∽△ACB，利用相似比求x，再求△A′DE的面积： 在Rt△ABC中，∠C=900，AC=6，BC=8，由勾股定理求AB=。由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x，则DE=10-2x。∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，∴∠A′=∠A，∠A′DE=∠C=90°。∴△A′DE∽△ACB，∴，即，解得x=3。∴S△A′DE=DE×A′D=×（10-2×3）×3=6。 ◆典例二：如图，把一个斜边长为2且含有300角的直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转900到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是【    】 A．π        B．      C．     D．【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。【解析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA1、 BCD和△ACD 计算即可：1. 如图，两个边长相等的正方形ABCD和EFGH，正方形EFGH的顶点E固定在正方形ABCD的对称中心位置，正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转，设它们重叠部分的面积为S，旋转的角度为θ，S与θ的函数关系的大致图象是【    】A．B．C．D．【考点】旋转问题的函数图象，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质。2. 正方形绕其中心旋转一定的角度与原图形重合，则这个角至少为   ▲   度 ． 【考点】旋转对称图形，正方形的性质。【解析】∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，∴顶点处的周角被分成四个相等的角，360°÷4=90°。∴这个正方形绕着它的中心旋转90°的整数倍后，就能与它自身重合。∴这个角度至少是90°。3. 把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为    ▲    ．【考点】二次函数图象与几何变换，旋转的性质。【解析】∵二次函数y=（x﹣1）2+2顶点坐标为（1，2），∴绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2）。∴旋转后的新函数图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2。  学#@科网4. 两块大小一样斜边为4且含有30°角的三角板如图水平放置．将△CDE绕C点按逆时针方向旋转，当E点恰好落在AB上时，△CDE旋转了    ▲    度，线段CE旋转过程中扫过的面积为    ▲    ．【考点】旋转的性质，含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。5. 如图，两块相同的三角板完全重合在一起，∠A=30°，AC=10，把上面一块绕直角顶点B逆时针旋转到△A′BC′的位置，点C′在AC上，A′C ′与AB相交于点D，则C′D=     ▲     .【考点】旋转的性质，等边三角形的判定和性质，平行的判定，三角形中位线的判定和性质。【解析】∵∠A=30°，AC=10，∠ABC=90°，∴∠C=60°，BC=BC′=AC=5。 ∴△BCC′是等边三角形。∴CC′=5。∵∠A′C′B=∠C′BC=60°，∴C′D∥BC。∴DC′是△ABC的中位线。∴DC′=BC=。6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG的顶点F的坐标为(4，2)，将矩形OEFG[来源:学科网ZXXK]绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴上，得到矩形OMNP，OM与GF相交于点A．若经过点A的反比例函数的图象交EF于点B，则点B的坐标为     ▲     .7. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是　  ▲  　．【考点】坐标与图形的旋转变化。8.如图，在平面直角坐标系中，点A 在x上，△ABO是直角三角形，∠ABO=900，点B 的坐标为（－1，2），将△ABO绕原点O顺时针旋转900，得到△Al BlO，则过A1, B两点的直线解析式为    ▲    。【考点】勾股定理，旋转的性质， 待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。  学￥%科网【解析】设A（a，0），∵点B 的坐标为（－1，2），∴OA=－a，OB2=12＋22=5，AB2=（－1－a）2+22= a2+2 a+5。∵∠ABO=900，∴OA2= AB2＋OB2，即a2= a2+2 a+5+5，解得a=－5。即A（－5，0）。∵△ABO绕原点O顺时针旋转900，得到△Al BlO，∴Al（0，5）。