专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定-2022年中考数学复习压轴题突破之二次函数

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中考数学压轴题之二次函数
【方法综述】
知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。它们的判定方法如下：
平行四边形的判定方法:
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
矩形判的定方法
有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
菱形判定方法
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四条边相等的四边形是矩形
正方形的判定方法
平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性
解答时常用的技巧：
（1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：
已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。
P（m，n）
B（c，d）
C（e，f）
A（a，b）
O

如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得
a+m=c+e，n+b=d+f
则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。
（2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。
（3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。
【典例示范】
类型一 平行四边形的存在性探究
例1：（河南省2019年中考数学模试题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C，且A（4，0），C（0，﹣3），对称轴是直线x=1．
（1）求二次函数的解析式；[来源:Z,xx,k.Com]
（2）若M是第四象限抛物线上一动点，且横坐标为m，设四边形OCMA的面积为s．请写出s与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面积最大；
（3）设点B是x轴上的点，P是抛物线上的点，是否存在点P，使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3；（2）当m=2时，s最大是9；（3）存在点P（2，﹣3）或P（1+，3）或P（1﹣，3）使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形．[来源:学&科&网]

解得．a=，b=﹣，c=﹣3，
∴二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣3．
（2）如图1所示：
设M（m，m2﹣m﹣3），|yM|=﹣m2+m+3，
∵S=S△OCM+S△OAM
∴S=×OC×m+×OA×|yM|=×3×m+×4×（﹣m2+m+3）
S =﹣m2+3m+6=﹣（m﹣2）2+9，
当m=2时，s最大是9．

解得：x=1+或x=1﹣．
综上所述，存在点P（2，﹣3）或P（1+，3）或P（1-，3）使得以A，B、C，P四点为顶点的四边形为平行四边形．
针对训练
1．（广东省湛江市第二十七中学2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图所示，已知抛物线y＝ax2（a≠0）与一次函数y＝kx+b的图象相交于A（﹣1，﹣1），B（2，﹣4）两点，点P是抛物线上不与A，B重合的一个动点，点Q是y轴上的一个动点．
（1）请直接写出a，k，b的值及关于x的不等式ax2＜kx﹣2的解集；
（2）当点P在直线AB上方时，请求出△PAB面积的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）是否存在以P，Q，A，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）a＝﹣1，k＝﹣1，b＝﹣2，x＜﹣1或x＞2；（2）△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）；（3）P的坐标为（﹣3，﹣9）或（3，﹣9）或（1，﹣1），Q的坐标为：Q（0，﹣12）或（0，﹣6）或（0，﹣4）．

（2）过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C．


＝
＝
＝．
∵＜0，，﹣1＜m＜2，
∴当时，S△APB 的值最大．
∴当时，，S△APB＝，
即△PAB面积的最大值为，此时点P的坐标为（，）
（3）存在三组符合条件的点，


2．（云南省弥勒市2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线与轴交、两点（点在点左侧），直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为2.

（1）求、两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；
（3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1），，。（2）。（3），，，.

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），
E（x，x2-2x-3），
∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，
∴当x=时，PE的最大值=；学科*网
（3）存在4个这样的点，分别是，，，.
①如图1，

连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；
②如图2，

AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③如图3，


同③可求出F的坐标为（4-，0）．
总之，符合条件的F点共有4个．
3．（湖北省枣阳市第三中学2019届九年级（上)期末检测试题）已知：正方形OABC的边OC、OA分别在x、y轴的正半轴上，设点B（4，4），点P（t，0）是x轴上一动点，过点O作OH⊥AP于点H，直线OH交直线BC于点D，连AD．
（1）如图1，当点P在线段OC上时，求证：OP＝CD；
（2）在点P运动过程中，△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似时，求t的值；
（3）如图2，抛物线y＝﹣x2+x+4上是否存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)见解析;(2) 综上，t1＝2，t2＝，t3＝;(3)见解析.

∵，
∴△AOP≌△OCD
∴OP＝CD．


∴△AOP≌△OCD；
∴OP＝CD＝﹣t，则：BD＝BC+CD＝4﹣t；
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，则有：
，得：，学科*网
解得：或（正值舍去）；
②当点P在线段OC上时，P（t，0），0＜t≤4，如图②；
因为OP＜OA、BD＜AB、OA＝AB，
若△AOP与以A、B、D为顶点的三角形相似，那么有：，所以OP＝BD，即：
t＝4﹣t，t＝2；
③当点P在点C右侧时，P（t，0），t＞4，如图③；
同①可求得；
综上，t1＝2，，．

②PC为平行四边形的边，则DQ∥PC，且QD＝PC；
若P（t，0）、D（4，t），则 PC＝QD＝|t﹣4|，Q（t，t）或（8﹣t，t）；
Q（t，t）时，，即：t2+2t﹣24＝0，
解得 t1＝4（舍）、t2＝﹣6；
Q（8﹣t，t）时，，即：t2﹣6t+8＝0，
解得 t1＝4（舍）、t2＝2．
综上可知，t1＝2，t2＝12，t3＝﹣6，t4＝﹣2．
∴存在点Q，使得以P、D、Q、C为顶点的四边形为平行四边形．

4．（广东省中山市2018-2019学年九年级（上)期末数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值；
（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE面积S的最大值是；（3）点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．

（2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m，
，得，
∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6，
∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），
∴设点P的坐标为（p，2p+6），
∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+，
∵﹣3＜p＜﹣1，
∴当p＝﹣时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝，
即△PAE面积S的最大值是；
（3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形，
∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上，
∴OA＝PQ，
∵点A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∴PQ＝3，
∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3），
∴，学科*网
解得，或（舍去），
当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4，
即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）．
5．（重庆市九龙坡区西彭三中2019届九年级（上)期末数学试题）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）点P在线段AB上运动的过程中，是否存在点Q，使得△BOD∽△QBM？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）已知点F（0，），点P在x轴上运动，试求当m为何值时以D、M、Q、F为顶点的四边形是平行四边形．

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点Q的坐标为（3，2）；（3）m＝﹣1或m＝3或m＝1+或1﹣时，四边形DMQF是平行四边形．

（2）如图所示：

∵当△BOD∽△QBM时，
则，
∵∠MBQ＝90°，
∴∠MBP+∠PBQ＝90°，
∵∠MPB＝∠BPQ＝90°，
∴∠MBP+∠BMP＝90°，
∴∠BMP＝∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴，学科*网
∴，
解得：m1＝3、m2＝4，
当m＝4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m＝3，点Q的坐标为（3，2）；

6．（北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+x+4．抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D两点．
(1)求A、B两点的坐标及直线l的函数表达式．
(2)将抛物线W沿x轴向右平移得到抛物线W′，设抛物线W′的对称轴与直线l交于点F，当△ACF为直角三角形时，求点F的坐标，并直接写出此时抛物线W′的函数表达式．
(3)如图2，连接AC，CB，将△ACD沿x轴向右平移m个单位（0＜m≤5），得到△A′C′D′．设A′C交直线l于点M，C′D′交CB于点N，连接CC′，MN．求四边形CMNC′的面积（用含m的代数式表示）．

【答案】（1）点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（7，0），y=﹣2x+4；(2) 点F的坐标为（5，﹣6），y=﹣x2+x；(3) 四边形CMNC′的面积为m2.

设直线l的表达式为y＝kx＋b，

解得
∴直线l的解析式为y＝﹣2x＋4；
(2)∵抛物线w向右平移，只有一种情况符合要求，
即∠FAC＝90°，如图.


(3)由平移可得：点C′，点A′，点D′的坐标分别为C′（m，4），A′（﹣3＋m，0），D′（2＋m，0），CC′∥x轴，C′D′∥CD，
可用待定系数法求得
直线A′C′的表达式为y＝x＋4﹣m，
直线BC的表达式为y＝﹣x＋4，学&科网
直线C′D′的表达式为y＝﹣2x＋2m＋4，
分别解方程组和
解得和

7．（2018-2019学年甘肃省庆阳市九年级（上)期末数学试卷）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，点A的坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）若m＝3，试证明△BQM是直角三角形；
（3）已知点F（0，），试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）详见解析；（3）当m＝3或﹣1时，四边形DMQF是平行四边形．
【解析】解：（1）函数与y轴交于点C（0，2），则抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+2，
将点A坐标代入上式得：﹣﹣b+2＝0，则b＝，
故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，
令y＝0，则x＝4或﹣1，即点B坐标为（4，0）；

（3）点P的坐标为（m，0），
则点Q坐标（m，﹣m2+m+2）、点M坐标（m， m﹣2），
当QM＝EF＝时，四边形DMQF是平行四边形，
则：QM＝﹣m2+m+2﹣m+2＝，
解得：m＝3或﹣1，学&科网
答：当m＝3或﹣1时，四边形DMQF是平行四边形．
8．（2018年四川省泸州市中考数学试卷）如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x轴上有一动点C(m,0)(0