专题08 二次函数背景下的与线段有关的最值探究-备战2022年中考数学压轴题之二次函数

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中考数学压轴题之二次函数
专题08 二次函数背景下的与线段有关的最值探究
【方法综述】
与线段有关的最值探究问题，是中考试卷中的常见问题。解答这些问题常涉及到的知识有：两点之间线段最小、垂线段最短、直径是最长的弦等。与之相关的数学模型有：最短路径问题、点到圆上的点的最短（长）距离问题。解答问题时，可以将这些问题应用于解题中。
【典例示范】
类型一 常规单线段的最值探究
例1：已知抛物线l1与l2形状相同，开口方向不同，其中抛物线l1：y=ax2-6ax-10交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，且AB=4，抛物线l2与l1交于点A与C(4,m)．
(1)求抛物线l1，l2的函数表达式；
(2)当x的取值范围是______时，抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；
(3)直线PQ//y轴，分别交x轴，l1，l2于点D(n,0)，P，Q，当12≤n≤5时，求线段PQ的最大值．

例2：如图，▱ABCD位于直角坐标系中，AB=2，点D（0，1），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴正半轴上的点A，B，CE⊥x轴于点E．
（1）求点A，B，C的坐标．
（2）将该抛物线向上平移m个单位恰好经过点D，且这时新抛物线交x轴于点M，N．
①求MN的长．
②点P是新抛物线对称轴上一动点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得AQ，则OQ的最小值为　 　（直接写出答案即可）

针对训练
1．二次函数y=m-1xm2+m-6x+9的图象与x轴交于点A和点B，以AB为边在x轴下方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）求出m的值并求出点A、点B的坐标．
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；
（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

2．在如图的平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+1（a＜0）与x轴交于点A和点B，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，顶点是D，且∠DAB＝45°．
（1）填空：点C的纵坐标是　 　（用含a、m的式子表示）；
（2）求a的值；
（3）点C绕O逆时针旋转90°得到点C′，当﹣12≤m≤52时，求BC′的长度范围．

3．已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B（3，0），且与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是y轴正半轴上的一个动点，连结DP，将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE，点P的对应点E恰好落在抛物线上，求出此时点P的坐标；
(3)点M（m，n）是抛物线上的一个动点，连接MD，把MD2表示成自变量n的函数，并求出MD2取得最小值时点M的坐标．

3．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，C在x轴的正半轴上，已知A（0，8）、C（10，0），作∠AOC的平分线交AB于点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交OA于点E．
（1）求点D的坐标；
（2）求证：△ADE≌△BCD；
（3）抛物线y＝25x2﹣245x+8经过点A、C，连接AC．探索：若点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作平行于y轴的直线交AC于点M．是否存在点P，使线段MP的长度有最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图1，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D（2，﹣3），且tan∠BAD=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结CD，求证：AD⊥CD；
（3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；
（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），A(-1,0)，B(3,0)，直线l与抛物线交于A，C两点，其中C点的横坐标为2。
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由。

6．如图1，抛物线l1：y=﹣x2+bx+3交x轴于点A、B，（点A在点B的左侧），交y轴于点C，其对称轴为x=1，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（5，0），交y轴于点D（0，﹣5）．
（1）求抛物线l2的函数表达式；
（2）P为直线x=1上一动点，连接PA、PC，当PA=PC时，求点P的坐标；
（3）M为抛物线l2上一动点，过点M作直线MN∥y轴（如图2所示），交抛物线l1于点N，求点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值．

8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是(3, 0)，点C的坐标是(0, -3)，动点P在抛物线上．

(1)b=________，c=________，点B的坐标为________；（直接填写结果）
(2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
(3)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
9．函数y=x2+bx+c的图像与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=OC．点D在函数图像上，CD//x轴，且CD=2，直线l 是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．
（1）求b、c 的值；
（2）如图①，连接BE，线段OC 上的点F 关于直线l 的对称点F′ 恰好在线段BE上，求点F的坐标；
（3）如图②，动点P在线段OB上，过点P 作x 轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由．

图 ①                                          图②
10．如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=a(x-h)2-4(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为(-3, 0)

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
类型二 最短路径模型的应用
例3．已知二次函数y=﹣x2+4x+m．
（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点A（6，0），与y轴交于点B，点p是二次函数对称轴上的一个动点，当PB+PA的值最小时，求p的坐标
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．

针对训练
1.如图，抛物线 y=12 x²+bx+c 与直线 y= 12x+3 交于 A，B 两点，点 A 在 y 轴上，抛物线交 x 轴于 C、D 两点，已知 C（-3，0）.
（1）求抛物线的解析式
（2)在抛物线对称轴 l 上找一点 M，使|MB 一 MD|的值最大。请求出点 M 的坐标及这个最大值.

2．如图，直线y=-x-2与抛物线分别交于点A、点B，且点A在y轴上，抛物线的顶点C的坐标为(3 ， 1)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是线段AB上一动点，射线PM∥x轴并与直线BC和抛物线分别交于点M、N，过点P作PE⊥x轴于点E，当PE与PM的乘积最大时，在y轴上找一点Q，使PQ-CQ的值最大，求PQ-CQ的最大值和此时Q的坐标；
(3)在抛物线上找一点D，使△ABD为直角三角形，求D点的坐标．

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-14x2+x+3交x轴于A,B两点，交y轴于点C，顶点为D，抛物线对称轴与x轴交点为E.
（1）求直线BD的解析式.
（2）点M(m,0)，N(m+2,0)为x轴上两点，其中2