专题10 二次函数背景下的与圆有关的问题-2022年中考数学复习压轴题突破之二次函数

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中考数学压轴题之二次函数
专题10 二次函数背景下的与圆有关的问题
【方法综述】圆和二次函数都是初中数学重点知识，是压轴题中的常见题目。而二次函数与圆的结合则常常是高难度的压轴题。以二次函数为背景的问题中，圆的知识常常以圆的基本知识、与圆有关的位置关系、构造圆和隐形圆为考察内容。解答要点是结合相关知识，对于已知条件进行数形结合。
【典例示范】
类型一 圆的基本性质应用
例1：（2018-2019学年湖南省长沙市天心区）如图，在直角坐标系中，抛物线y=a（x-52）2+98与⊙M交于A，B，C，D四点，点A，B在x轴上，点C坐标为（0，-2）．
（1）求a值及A，B两点坐标；
（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当∠CPD为锐角时，请求出m的取值范围；
（3）点E是抛物线的顶点，⊙M沿CD所在直线平移，点C，D的对应点分别为点C′，D′，顺次连接A，C′，D′，E四点，四边形AC′D′E（只要考虑凸四边形）的周长是否存在最小值？若存在，请求出此时圆心M′的坐标；若不存在，请说明理由．

针对训练
1．（江苏省无锡市锡山区）已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＜0)的图像与x轴的负半轴和正半轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，直线BC与它的对称轴交于点F，且CF：FB＝1：3．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)若△COB的内心I在对称轴上，求这个二次函数的关系式；
(3)在(2)的条件下，Q(m，0)是x轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连接CN，将△CMN沿直线CN翻折，M的对应点为M′，是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2018-2019学年北京市燕山区九年级（上)期末数学试卷）对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q和图形G，给出如下定义：点P，Q都在图形G上，且将点P的横坐标与纵坐标互换后得到点Q，则称点P，Q是图形G的一对“关联点”．例如，点P（1，2）和点Q（2，1）是直线y＝﹣x+3的一对关联点．
（1）请写出反比例函数y＝6x的图象上的一对关联点的坐标：　 　；
（2）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C（0，﹣1）．点A，B是抛物线y＝x2+bx+c的一对关联点，直线AB与x轴交于点D（1，0）．求A，B两点坐标．
（3）⊙T的半径为3，点M，N是⊙T的一对关联点，且点M的坐标为（1，m）（m＞1），请直接写出m的取值范围．

3．（浙江省杭州市余杭区2019届九年级上学期期末考试）如图，已知点B的坐标是(-2,0)，点C的坐标是(8,0)，以线段BC为直径作⊙A，交y轴的正半轴于点D，过B、C、D三点作抛物线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连结BD，CD，点E是BD延长线上一点，∠CDE的角平分线DF交⊙A于点F，连结CF，在直线BE上找一点P，使得ΔPFC的周长最小，并求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点G，使得∠GFC=∠DCF，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2018年广东省广州市中考数学试卷）已知抛物线y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．
（1）证明：该抛物线与x轴总有两个不同的交点；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，A，B，C三点都在⊙P上．
①试判断：不论m取任何正数，⊙P是否经过y轴上某个定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由；
②若点C关于直线x=-m2的对称点为点E，点D（0，1），连接BE，BD，DE，△BDE的周长记为l，⊙P的半径记为r，求lr的值．
5．（人教版数学2018年秋九年级上学期第22章《二次函数》解答题综合练习）如图，在平面直角坐标系中，以点M（2，0）为圆心的⊙M与y轴相切于原点O，过点B（﹣2，0）作⊙M的切线，切点为C，抛物线y=-33x2+bx+c经过点B和点M．
（1）求这条抛物线解析式；
（2）求点C的坐标，并判断点C是否在（1）中抛物线上；
（3）动点P从原点O出发，沿y轴负半轴以每秒1个单位长的速度向下运动，当运动t秒时到达点Q处．此时△BOQ与△MCB全等，求t的值．

6．（湖北省武汉市东西湖区2019届九年级第一学期期中）已知抛物线 C1：y＝ax2 过点（2，2）
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图，△ABC 的三个顶点都在抛物线C1 上，且边 AC 所在的直线解析式为y＝x+b，若 AC 边上的中线 BD 平行于 y 轴，求AC2BD的值；
(3)如图，点 P 的坐标为（0，2），点 Q 为抛物线上C1 上一动点，以 PQ 为直径作⊙M，直线 y＝t 与⊙M 相交于 H、K 两点是否存在实数 t，使得 HK 的长度为定值？若存在，求出 HK 的长度；若不存在，请说明理由．

7．（浙江省湖州市南浔区2017-2018学年九年级上学期期末）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，如图1，直角三角板△MON中，OM=ON=3，OQ=1，直线l过点N和点N，抛物线y=ax2+233x+c过点Q和点N．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线y=ax2+233x+c上的一个动点．
①初步尝试
若点P在y轴右侧的该抛物线上，如图2，过点P作PA⊥y轴于点A，问：是否存在点P，使得以N、P、A为顶点的三角形与△ONQ相似．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
②深入探究
若点P在第一象限的该抛物线上，如图3，连结PQ，与直线MN交于点G，以QG为直径的圆交QN于点H，交x轴于点R，连结HR，求线段HR的最小值．

8．（人教版九年级数学上24章圆单元测试题）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A点坐标为(-8, 0)，B点坐标为(2, 0)，以AB为直径的圆P与y轴的负半轴交于点C．
（1）求图象经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）设M点为所求抛物线的顶点，试判断直线MC与⊙P的关系，并说明理由．

9．（2018-2019学年度人教版九年级（上) 第22章 二次函数 综合检测试卷）已知抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B（﹣3，0），过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0），连接CD．

（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点Q，使得CD平分∠ACQ，请求出点Q的坐标；
（3）在直线CD的下方的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交CD于点G，以NG为直径画圆在直线CD上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？
（4）一动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度沿C﹣A﹣D运动，在线段CD上还有一动点M，问是否存在某一时刻使PM+AM=4？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
10．（山东省日照市实验二中）如图，在平面直角坐标系中，点A(10, 0)，以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D，交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点．

(1)∠OBA=________°．
(2)求抛物线的函数表达式．
(3)若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？
类型二 与圆有关的位置关系
例2．（山东省济宁市嘉祥）如图，已知点A（2，0），以A为圆心作⊙A与y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A，抛物线与x轴的另一个交点为点C，抛物线的顶点为点E，如果CO=2BE，求此抛物线的解析式；
（2）过点C作⊙A的切线CD，D为切点，求此切线长；
（3）点F是切线CD上的一个动点，当△BFC与△CAD相似时，求出BF的长．


针对训练
1．（海南省海口市美兰区）如图，抛物线y=x2﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；
（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；
（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．

2．（吉林省四平市第三中学2019届九年级上学期期末）如图，⊙P的圆心P（m，n）在抛物线y＝12x2上．
（1）写出m与n之间的关系式；
（2）当⊙P与两坐标轴都相切时，求出⊙P的半径；
（3）若⊙P的半径是8，且它在x轴上截得的弦MN，满足0≤MN≤215时，求出m、n的范围．

3．（河北省沧州市盐山县2018届九年级上期期末）如图，抛物线y=12（x﹣3）2-32与x轴交于A、B两点（点A在B的左侧），与y轴交于C点，顶点D．
（1）求点A、B、D三点的坐标；
（2）连结CD交x轴于G，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，交抛物线对称轴于E，求出E点的纵坐标；
（3）以②中点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标．

4．（2018年北京市顺义区中考数学一模试卷）如图1，对于平面内的点P和两条曲线L1、L2给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与L1、L2交于Q1、Q2，总有PQ1PQ2是定值，我们称曲线L1与L2“曲似”，定值PQ1PQ2为“曲似比”，点P为“曲心”．
例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为r1、r2(都是常数)的两个同心圆C1、C2，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有O'MO'N=r1r是定值，所以同心圆C1与C2曲似，曲似比为r1r2，“曲心”为O'．
(1)在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx与抛物线y=x2、y=12x2分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
(3)在(1)、(2)的条件下，若将“y=12x2”改为“y=1mx2”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．

5．（浙教数学九年级上第一学期期末测试）如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4，1)的抛物线交y轴于点A，交x轴于B，C两点(点B在点C的左侧)，已知C点坐标为(6，0)．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)连结AB，过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切，先补全图形，再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明；
(3)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间．问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出△PAC的最大面积．

6．（辽宁省沈阳市2018年中考数学试卷）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．
（1）求抛物线C1的表达式；
（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；
（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；
（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．

7．（内蒙古鄂尔多斯市东胜区）如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是（5，4），⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A，B两点．
（1）请直接写出A，B，C三点的坐标，并求出过这三点的抛物线解析式；
（2）设（1）中抛物线解析式的顶点为E，
求证：直线EA与⊙M相切；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，且点P在x轴的上方，使△PBC是等腰三角形？
如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

8．（北师大版九年级下册期末综合练习题）如图，已知以E(3，0)为圆心，5为半径的☉E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A，B，C三点，顶点为F.
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
(3)已知M为抛物线上的一动点(不与C点重合)，试探究：①若以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；
②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与☉E的位置关系，并说明理由.

9．（昆明市校际合作学校2018年初三统一考试）如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,−1)的抛物线交y轴于A点,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知A点坐标为(0,3).
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积；
（3）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明.

10．（山东省淄博市淄川区2018届九年级第一次模拟）如图，二次函数y=﹣14x2+mx+n的图象经过点A（2，3），与x轴的正半轴交于点G（1+13，0）；一次函数y=kx+b的图象经过点A，且交x轴于点P，交抛物线于另一点B，又知点A，B位于点P的同侧．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若PA=3PB，求一次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使⊙C同时与x轴和直线AP都相切？如果存在，请求出点C的坐标；如果不存在，请说明理由．

类型三 构造圆与隐形圆
例3：（四川省成都）已知：如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D为顶点．
(1)求抛物线解析式及点D的坐标；
(2)若直线l过点D，P为直线l上的动点，当以A、B、P为顶点所作的直角三角形有.且只有三个时，求直线l的解析式；
(3)如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O顺时针旋转得到OE'，旋转角为α(0∘