压轴专题13击破类比、探究类综合题利器之相似知识14题

专题13 击破类比、探究类综合题利器之相似知识

模型一、A字形（手拉手）及其旋转

模型二、K字型及其旋转

1.如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，AB=BC=4，点 D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE，将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转，记旋转角为 α，BD，EC 所在直线相交所成的锐角为 β．

（1）问题发现

当 α=0°时，=    ，β=     

（2）拓展探究

试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）在△ADE 旋转过程中，当 DE∥AC 时，直接写出此时△CBE 的面积．

图1                     图2

2.如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8，AB=10，D，E 两点分别是 AC，CB 上的点，且 CD=6，DE∥AB，将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周，记旋转角为 α．

（1）问题发现

①当 α=0°时，=      ；

②当 α=90°时，=     ．

（2）拓展探究

请你猜想当△CDE 在旋转的过程中，是否发生变化？根据图2证明你的猜想．

（3）问题解决

在将△CDE 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，当 AD=2时，BE=   ，此时α=   ．

图1                      图2

3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．

（1）探究发现：

如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝      ；

（2）数学思考：

①如图2，若点E在线段AC上，则＝       （用含m，n的代数式表示）；

②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；

图1             图2                图3            备用图

4.如图1，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是边CD上的点，且CE＝4，过点E作CD的垂线，并在垂线上截取EF＝3，连接CF．将△CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a．

（1）问题发现

当a＝0°时，AF＝    ，BE＝      ，＝    ；

（2）拓展探究

试判断：当0°≤a°＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明．

（3）问题解决

当△CEF旋转至A，E，F三点共线时，直接写出线段BE的长．

图1                图2                   备用图

5.如图①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，. 点P是边BC上一个动点（不与B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD.

填空：①=        ;②∠ACD的度数为         .

（2）拓展探究

如图②，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，. 点P是边BC上一个动点（不与B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，连接CD. 请判断∠ACD与∠B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由.

（3）解决问题

如图③，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P是边BC上一动点（不与B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，连接CD. 请直接写出所有CD的长.

①                   ②                      ③

6.如图1，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为__________；

（2）深入探究：

如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸：

如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=，试求EF的长．

7.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连接EF．

（1）说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；

（2）如图②，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°）时，连接AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

（3）如图③，当△CEF绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜180°）时，延长FC交AB于点D，如果AD=6﹣2，求旋转角α的度数．

8.（1）问题发现：

如图1，在等边△ABC中，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF，连接CF．则AE与FC的数量关系是__________，∠ACF的度数为_________．

（2）拓展探究：

如图2，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，点D为BC边上一动点，DE∥AB交AC于点E，当∠ADF=∠ACF=90°时，求的值．

（3）解决问题：

如图3，在△ABC中，BC:AB=m，点D为BC的延长线上一点，过点D作DE∥AB交AC的延长线于点E，直接写出当∠ADF=∠ACF=∠ABC时的值．

           图1                     图2                      图3

9.（1）【问题发现】如图1，△ABC和△CEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EFC＝90°，点E与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为       ；

（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将△CEF绕点C旋转，连接BE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；

（3）【问题发现】当AB＝AC＝2，△CEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．

图1                        图2                       备用图

10.如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）问题提出：如图1，若AD＝AE，AB＝AC．

①∠ABD与∠ACE的数量关系为        ；

②∠BPC的度数为        ．

（2）猜想论证：如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，则（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若AB＝2，AD＝1，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，直接写出PB的长．

图1                  图2                 备用图

11.问题发现：

（1）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝k•AC（k＞1），D是AB上一点，DE∥BC，则BD，EC的数量关系为        ．

类比探究：

（2）如图2，将△AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜90°），连接CE，BD，请问（1）中BD，EC的数量关系还成立吗？说明理由.

拓展延伸：

（3）如图3，在（2）的条件下，将△AED绕点A继续旋转，旋转角为a（a＞90°）．直线BD，CE交于F点，若AC＝1，AB＝ ，则当∠ACE＝15°时，BF•CF的值为     ．

图1                            图2                        图3

12.已知，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，点 D 是直线 AB 上的动点，连接 CD，以 CD为边，在 CD 的左侧作等边△CDE，连接 EB

（1）问题发现：

如图(1)，当CD⊥AB 时，ED 和 EB 的数量关系是          .

（2）规律论证：

如图(2)当点D在线段 AB 上运动时，(1)中 ED，EB 的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图(2)加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由.

（3）拓展应用：

如图(3)当点 D 在直线 AB上运动时，若 AC=2，且△BCE 恰好为等腰直角三角形时， 请直接写出符合条件的 AD 的长.

图1                       图2                         图3

13.如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的一点，连结CF并延长交AB于点M，MN⊥CM交射线AD于点N．

（1）当F为BE中点时，求证：AM=CE；

（2）若，求的值.

14.如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想：

图1中，线段PM与PN的数量关系是       ，位置关系是        ；

（2）探究证明：

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：

把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

图1                           图2