压轴专题07圆中证明及存在性问题17题

专题07 圆中证明及存在性问题

1.如图，已知⊙A的半径为4，EC是圆的直径，点B是⊙A的切线CB上一个动点，连接AB交⊙A于点D，弦EF∥AB，连接DF，AF.

（1）求证：△ABC≌△ABF；

（2）当∠CAB=        时，四边形ADFE为菱形；

（3）当AB=       时，四边形ACBF为正方形.

2.如图，在△ABD中，AB＝AD，AB是⊙O的直径，DA、DB分别交⊙O于点E、C，连接EC，OE，OC．

（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC；

（2）填空：

①若AB＝2，则△AOE的最大面积为     ；

②当DA与⊙O相切时，若AB＝，则AC的长为     ．

3.如图，△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D， 与 CA 的延长线相交于点 E，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F．

（1）试说明 DF 是⊙O 的切线；

（2）①当∠C=       °时，四边形 AODF 为矩形；

②当 tanC=       时，AC=3AE．

4.如图，在△ABC中，AB=AC=4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，点P是AB的延长线上一点，且∠PDB=∠A，连接DE，OE．

（1）求证：PD是⊙O的切线．

（2）填空：①当∠P的度数为______时，四边形OBDE是菱形；

②当∠BAC=45°时，△CDE的面积为_________．

5.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D，直线 DC 与 AB 的延长线相交于点 P．

（1）求证：AC2=AD·AB．

（2）点 E 是∠ACB 所对的弧上的一个动点（不包括 A，B 两点），连接 EC交直径 AB 于点 F，∠DAP=64°．

①当∠ECB=      °时，△PCF 为等腰三角形；

②当∠ECB=      °时，四边形 ACBE 为矩形．

6.如图，△ABC 内接于⊙O，过点 B 的切线 BE∥AC，点 P 是优弧AC 上一动点（不与 A，C 重合），连接 PA，PB，PC，PB 交 AC 于 D．

（1）求证：PB 平分∠APC；

（2）当 PD=3，PB=4 时，求 AB 的长．

7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB交于点D，过D作⊙O的切线交CB于E.

（1）求证：EB=EC；

（2）若以点O、D、E、C为顶点的四边形是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由.

8.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）填空：①当∠CAB=　   　时，四边形AOED是平行四边形；②连接OD，在①的条件下探索四边形OBED的形状为　    　.

9.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，CD平分∠ACB交AB于点D，点O在AC上，以CO为半径的圆经过点D，AE切⊙O于E．

（1）求证：AD=AE．

（2）填空：

①当∠ACB=_______时，四边形ADOE是正方形；

②当BC=__________时，四边形ADCE是菱形．

10.如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数．

11.如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C，且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是劣弧AC上的一点，且弧BC=弧DF，连接AB，BC，CD．

求证：△CDE≌△ABC．

12.如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．

（1）求证：四边形OBCP是平行四边形；

（2）填空：

①当∠BOP＝      时，四边形AOCP是菱形；

②连接BP，当∠ABP＝       时，PC是⊙O的切线．

13.如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．

（1）求证：AC∥DE；

（2）连接AD、CD、OC．填空

①当∠OAC的度数为    时，四边形AOCD为菱形；②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为    ．

14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边上AC上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．

（1）求证：BD是⊙O的切线．

（2）若AB＝，E是半圆AGF上一动点，连接AE，AD，DE．

填空：

①当弧AE的长度是       时，四边形ABDE是菱形；

②当弧AE的长度是       时，△ADE是直角三角形．

15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AC为半径，作⊙A，交AB于点D，交CA的延长线于点E，过点E作AB的平行线交⊙A于点F，连接AF，BF，DF．

（1）求证：△ABC≌△ABF；

（2）填空：

①当∠CAB＝　   　°时，四边形ADFE为菱形；

②在①的条件下，BC＝　    　cm时，四边形ADFE的面积是6cm2．

16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径作⊙O，交AB于点D，E为AC的中点，连接DE.

（1）求证：DE为⊙O的切线；

（2）已知BC＝4．填空：

①当DE＝　      时，四边形DOCE为正方形；

②当DE＝　    　时，△BOD为等边三角形．

17.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC，分别交 AC，AB 的延长线于点 E，F．

（1）求证：EF 是⊙O 的切线．

（2）①当∠BAC 的度数为       时，四边形 ACDO 为菱形；

②若⊙O 的半径为 5，AC=3CE，则 BC 的长为        ．