题型07 圆锥曲线（真题回顾+押题预测 ） 2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型

这是一份题型07 圆锥曲线（真题回顾+押题预测 ） 2022年高考数学三轮冲刺之重难点必刷题型试卷主要包含了椭圆的标准方程和几何性质，抛物线的标准方程与几何性质等内容，欢迎下载使用。

考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程.
一、椭圆的标准方程和几何性质
焦半径公式：称到焦点的距离为椭圆的焦半径
① 设椭圆上一点，则（可记为“左加右减”）
② 焦半径的最值：由焦半径公式可得：焦半径的最大值为，最小值为
焦点三角形面积：（其中）
二 、双曲线的标准方程和几何性质
常用结论
1、过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为eq \f(2b2,a)，也叫通径．
2、与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t(t≠0)．
3、双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
4、若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
三、抛物线的标准方程与几何性质
焦半径公式：设抛物线的焦点为，，则
焦点弦长：设过抛物线焦点的直线与抛物线交于，则（，再由焦半径公式即可得到）
一．选择题（共6小题）
1．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为2，则p＝（ ）
A．1B．2C．22D．4
2．（2021•甲卷）点（3，0）到双曲线x216-y29=1的一条渐近线的距离为（ ）
A．95B．85C．65D．45
3．（2021•甲卷）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A．72B．132C．7D．13
4．（2021•乙卷）设B是椭圆C：x25+y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ）
A．52B．6C．5D．2
5．（2021•新高考Ⅰ）（压轴）已知F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（ ）
A．13B．12C．9D．6
6．（2021•乙卷）（压轴）设B是椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是（ ）
A．[22，1）B．[12，1）C．（0，22]D．（0，12]
二．多选题（共2小题）
（多选）7．（2021•新高考Ⅱ）已知直线l：ax+by﹣r2＝0与圆C：x2+y2＝r2，点A（a，b），则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
（多选）8．（2021•新高考Ⅰ）已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝32
D．当∠PBA最大时，|PB|＝32
三．填空题（共5小题）
9．（2021•乙卷）已知双曲线C：x2m-y2＝1（m＞0）的一条渐近线为3x+my＝0，则C的焦距为 ．
10．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则该双曲线的渐近线方程为 ．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为 ．
12．（2021•甲卷）已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为 ．
四．解答题（共4小题）
13．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），右焦点为F（2，0），且离心率为63．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2+y2＝b2（x＞0）相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|=3．
14．（2021•乙卷）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2＝1上点的距离的最小值为4．
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB为C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．
15．（2021•甲卷）抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：x＝1交C于P，Q两点，且OP⊥OQ．已知点M（2，0），且⊙M与l相切．
（1）求C，⊙M的方程；
（2）设A1，A2，A3是C上的三个点，直线A1A2，A1A3均与⊙M相切．判断直线A2A3与⊙M的位置关系，并说明理由．
16．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知点F1（-17，0），F2（17，0），点M满足|MF1|﹣|MF2|＝2．记M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|•|TB|＝|TP|•|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和．
一．选择题（共8小题）
1．已知圆C：x2+y2﹣2x+4y＝0关于直线3x﹣2ay﹣11＝0对称，则圆C中以(a2，-a2)为中点的弦长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知椭圆x225+y29=1上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（ ）
A．2B．4C．8D．32
3．已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)，直线l：y＝2x﹣2．若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则b＝（ ）
A．1B．2C．5D．4
4．设F是双曲线x24-y212=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（ ）
A．5B．5+43C．7D．9
5．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A（0，-3），若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MF|＝（ ）
A．43B．53C．23D．33
6．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|AB|＝8，则线段AB的中点M到直线x+1＝0的距离为（ ）
A．2B．4C．8D．16
7．已知椭圆E：x24+y2b2=1（0＜b＜2）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若|AF1|＝2|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为（ ）
A．x24+y23=1B．x24+3y22=1
C．x24+4y215=1D．x24+5y216=1
8．（压轴）设椭圆的方程为x22+y24=1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若直线方程为y＝2x+2，则|AB|=432
C．若直线方程为y＝x+1，则点M坐标为(13，43)
D．若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x+y﹣3＝0
二．多选题（共4小题）
（多选）9．以下四个命题表述正确的是（ ）
A．直线（3+m）x+4y﹣3+3m＝0（m∈R）恒过定点（﹣3，﹣3）
B．圆x2+y2＝4上有且仅有3个点到直线l：x﹣y+2=0的距离都等于1
C．曲线C1：x2+y2+2x＝0与曲线C2：x2+y2﹣4x﹣8y+m＝0恰有三条公切线，则m＝4
D．已知圆C：x2+y2＝1，点P为直线x4+y2=1上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点(14，12)
（多选）10．（压轴）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，长轴长为4，点P(2，1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A．离心率的取值范围为(0，12)
B．当离心率为24时，|QF1|的最大值为2+22
C．不存在点Q，使得QF→1⋅QF2→=0
D．4|QF1|+1|QF2|的最小值为94
（多选）11．（压轴）已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，AB，CD是经过点F的弦且AB⊥CD，直线AB的斜率为k，且k＞0，C，A两点在x轴上方，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．1AB+1CD=12p
B．若AF⋅BF=43p2，则k=33
C．OA→⋅OB→=OC→⋅OD→
D．四边形ACBD面积的最小值为16p2
（多选）12．（压轴）已知双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的右顶点、右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B，AQ→⋅AB→=AQ→⋅FB→，且BQ→=3FQ→，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l与x轴垂直
B．C的离心率为2+53
C．C的渐近线方程为y＝±459x
D．|FQ|＝|OF|（其中O为坐标原点）
三．填空题（共4小题）
13．椭圆x2m2+1+y2m2=1(m＞0)的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2=π3，则m＝ ．
14．已知抛物线C以坐标原点O为顶点，以(p2，0)为焦点，直线x﹣my﹣2p＝0与抛物线C交于两点A，B，直线AB上的点M（1，1）满足OM⊥AB，则抛物线C的方程为 ．
15．已知F1，F2是双曲线C：x2-y2b2=1的两个焦点，过F1作C的渐近线的垂线，垂足为P．若△F1PF2的面积为3，则C的离心率为 ．
16．（压轴）已知A，B是抛物线x2＝y上两动点，过A，B分别作抛物线的切线，若两切线交于点P，当∠APB＝90°时，点P的纵坐标为 ，△APB面积的最小值为 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（1，32），短轴一个端点到右焦点的距离为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围．
18．已知曲线C上的任意一点到两定点F1（﹣1，0）、F2（1，0）距离之和为4，直线l交曲线C于A，B两点，O为坐标原点．
（1）求曲线C的方程；
（2）若l不过点O且不平行于坐标轴，记线段AB的中点为M，求证：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；
（3）若直线l过点Q（0，2），求△OAB面积的最大值，以及取最大值时直线l的方程．
19．双曲线C：x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|．
（1）求C的离心率；
（2）若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF．
20．已知抛物线D：x2＝4y，过x轴上一点E（不同于原点）的直线l与抛物线D交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），与y轴交于C点．
（1）若EA→=λ1EC→，EB→=λ2EC→，求乘积λ1•λ2的值；
（2）若E（4，0），过A，B分别作抛物线D的切线，两切线交于点M，证明：点M在定直线上，求出此定直线方程．
21．已知曲线C上的点到点F（1，0）的距离比到直线l：x+2＝0的距离小1，O为坐标原点．
（1）过点F且倾斜角为45°的直线与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积；
（2）设P为曲线C上任意一点，点N（2，0），是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以PN为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程和定值；若不存在，说明理由．
22．如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣2，0），过右焦点F的直线l与椭圆C相交于M，N两点，当直线l⊥x轴时，|MN|＝3．
（Ⅰ）求椭圆l的方程；
（Ⅱ）记△AMF，△ANF的面积分别为S1，S2，求S1S2的取值范围；
（Ⅲ）若△AMN的重心在圆x2+y2=849上，求直线l的斜率．
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a－b≤y≤b
－b≤x≤b－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
F1F2＝2c
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
标准方程
eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≤－a或y≥a，x∈R
对称性
对称轴：坐标轴，对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq \f(b,a)x y＝±eq \f(a,b)x
离心率
e＝eq \f(c,a) ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(A1A2))＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(B1B2))＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
标准
方程
y2＝2p x(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下