2022年中考数学三轮冲刺《压轴题专练》冲刺练习二（含答案）

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2022年中考数学三轮冲刺《压轴题专练》冲刺练习二1.已知关于x的二次函数y=x2﹣2mx+m2+m的图象与关于x的函数y=kx+1的图象交于两点A（x1，y1）、B（x2，y2）；（x1＜x2）（1）当k=1，m=0，1时，求AB的长；（2）当k=1，m为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想．（3）当m=0，无论k为何值时，猜想△AOB的形状．证明你的猜想．（平面内两点间的距离公式）．               2.在平面直角坐标系中抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(﹣1，0)，C(0，3).(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M(m，0)是x轴上一动点，若∠MNC=90°，直接写出实数m的取值范围.     3.在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a=﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．          4.以点P（n，n2+2n+1）（n≥1）为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左边）．（1）当n=1时，试求b和c的值；当n＞1时，求b与n，c与n之间的关系式．（2）若点P到AB的距离等于线段AB长的10倍，求此抛物线y=﹣x2+bx+c的解析式．（3）设抛物线y=﹣x2+bx+c与y轴交于点D，O为原点，矩形OEFD的顶点E、F分别在x轴和该抛物线上，当矩形OEFD的面积为42时，求点P的坐标．            5.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1，0)、B(4，0)，C(0，2)三点，直线y=kx+t经过B、C两点，点D是抛物线上一个动点，过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.(1)求直线和抛物线的解析式；(2)当点D在直线BC下方的抛物线上运动，使线段DE的长度最大时，求点D的坐标；(3)点D在运动过程中，若使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出满足条件的所有点D的坐标.    
0.2022年中考数学三轮冲刺《压轴题专练》冲刺练习二（含答案）答案解析  一         、综合题1.解：③当k为任意实数，△AOB仍为直角三角形．由y=x2,y=kx+1，得x2﹣kx﹣1=0，∴x1+x2=k，x1x2=﹣1，∴AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2=（x1﹣x2）2+（kx1﹣kx2）2=（1+k2）（x1﹣x2）2=（1+k2）[（x1+x2）2﹣4x1x2]=（1+k2）（4+k2）=k4+5k2+4，∵OA2+OB2=x12+y12+x22+y22=x12+x22+y12+y22=x12+x22+（kx1+1）2+（kx2+1）2=x12+x22+（k2x12+2kx1+1）+（k2x22+2kx2+1）=（1+k2）（x12+x22）+2k（x1+x2）+2=（1+k2）（k2+2）+2kk+2=k4+5k2+4，∴AB2=OA2+OB2，∴△AOB为直角三角形．  2.解：(1)由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；(2)令﹣x2+2x+3=0，∴x1=﹣1，x2=3，即B(3，0)，设直线BC的解析式为y=kx+b′，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，设P(a，3﹣a)，则D(a，﹣a2+2a+3)，∴PD=(﹣a2+2a+3)﹣(3﹣a)=﹣a2+3a，∴S△BDC=S△PDC+S△PDB=PD•a+PD•(3﹣a)=PD•3=(﹣a2+3a)=﹣(a﹣)2+，∴当a=时，△BDC的面积最大，此时P(，)；(3)由(1)，y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4，∴E(1，4)，设N(1，n)，则0≤n≤4，取CM的中点Q(，)，∵∠MNC=90°，∴NQ=CM，∴4NQ2=CM2，∵NQ2=(1﹣)2+(n﹣)2，∴4[=(1﹣)2+(n﹣)2]=m2+9，整理得，m=n2﹣3n+1，即m=(n﹣)2﹣1.25，∵0≤n≤4，当n=上，M最小值=﹣1.25，n=4时，M最小值=5，综上，m的取值范围为：﹣1.25≤m≤5. 3.解：（1）y=x+2，令x=0，则y=2，令y=0，则x=﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，2），则c=2，则函数表达式为：y=ax2+bx+2，将点A坐标代入上式并整理得：b=2a+1；（2）当x＜0时，若y=ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，则函数对称轴x=﹣≥0，而b=2a+1，即：﹣≥0，解得：a，故：a的取值范围为：﹣≤a＜0；（3）当a=﹣1时，二次函数表达式为：y=﹣x2﹣x+2，过点P作直线l∥AB，作PQ∥y轴交BA于点Q，作PH⊥AB于点H，∵OA=OB，∴∠BAO=∠PQH=45°，S△PAB=×AB×PH=2×PQ×=1，则yP﹣yQ=1，在直线AB下方作直线m，使直线m和l与直线AB等距离，则直线m与抛物线两个交点坐标，分别与点AB组成的三角形的面积也为1，故：|yP﹣yQ|=1，设点P（x，﹣x2﹣x+2），则点Q（x，x+2），即：﹣x2﹣x+2﹣x﹣2=±1，解得：x=﹣1或﹣1，故点P（﹣1，2）或（﹣1，1）或（﹣1﹣，﹣）．  4.解：（1）当n=1时，点P坐标为（1，4），则y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3=﹣x2+bx+c，解得：b=2，c=3．当n＞1时，则y=﹣（x﹣n）2+n2+2n+1=﹣x2+2nx+2n+1=﹣x2+bx+c，所以b=2n，c=2n+1．（2）∵y=﹣（x﹣n）2+n2+2n+1=﹣x2+2nx+2n+1，∴当y=0时，即﹣x2+2nx+2n+1=0．解得x1=﹣1，x2=2n+1．由于点A在点B的左边，∴A（﹣1，0）、B（2n+1，0），即AB=2n+1﹣（﹣1）=2n+2．又∵点P到x轴的距离为n2+2n+1，∴有n2+2n+1=10（2n+2）．解得n=19或n=﹣1（不合，舍去），即n=19．故此时抛物线的解析式为y=﹣x2+38x+39．（3）如图所示，∵c=2n+1，∴D（0，2n+1），即OD=2n+1．又DF∥x轴，且D、F关于直线x=n对称，∴F（2n，2n+1）．有DF=2n．从而OD•DF=2n（2n+1）=42，解得n=3或（不合，舍去），即n=3．故点P的坐标为（3，16）． 5.解：(1)把点B(4，0)，C(0，2)代入直线y=kx+t，得：，解得，∴y=﹣x+2；把点A(1，0)、B(4，0)，C(0，2)代入y=ax2+bx+c，得：，解得，∴y=x2﹣x+2；(2)设点D坐标为(m， m2﹣m+2)，E点的坐标为(m，﹣ m+2)，∴DE=(﹣m+2)﹣(m2﹣m+2)=﹣m2+2m=﹣(m﹣2)2+2，∴当m=2时，DE的长最大，为2，当m=2时， m2﹣m+2=﹣1，∴D(2，﹣1)；(3)①当D在E下方时，如(2)中，DE=﹣m2+2m，OC=2，OC∥DE，∴当DE=OC时，四边形OCED为平行四边形，则﹣m2+2m=2，解得m=2，此时D(2，﹣1)；②当D在E上方时，DE=(m2﹣m+2)﹣(﹣m+2)=m2﹣2m，令m2﹣2m=2，解得m=2±2，∴此时D(2+2，3﹣)或(2﹣2，3+)，综上所述，点D的坐标是(2，﹣1)或(2+2，3﹣)或(2﹣2，3+)时，都可以使O、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形.