2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期中典型试卷1(含答案）

这是一份2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期中典型试卷1(含答案），共34页。
2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期中典型试卷1
一．选择题（共10小题）
1．（2021•安溪县模拟）9的算术平方根是（　　）
A．81 B．±3 C．﹣3 D．3
2．（2010•海南）在平面直角坐标系中，点P（2，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021春•西城区校级期中）实数，1.414，，﹣，π，，1.，1.202120021200021…中无理数的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021春•西城区校级期中）利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2021春•海淀区校级期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x2+3x+2＝（x+1）（x+2） B．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1
C．m（a+b）＝ma+mb D．（a+2）2＝a2+4a+4
6．（2020秋•北京期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
7．（2021春•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点P在第二象限，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点P坐标是（　　）
A．（﹣5，4） B．（﹣4，5） C．（4，5） D．（5，﹣4）
8．（2018秋•定兴县期末）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与5﹣最接近的是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
9．（2021春•孟村县期末）在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（0，4﹣a），且A在B的下方，点C（1，2），连接AC，BC，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，那么a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a≤0 B．0＜a≤1 C．1≤a＜2 D．﹣1≤a≤1
10．（2021春•自贡期末）运算能力是一项重要的数学能力．兵老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试（每次测验满分均为100分）．小明和小军同学帮助兵老师统计了某数学小组5位同学（A，B，C，D，E）的三次测试成绩，小明在下面两个平面直角坐标系里描述5位同学的相关成绩．小军仔细核对所有数据后发现，图1中所有同学的成绩坐标数据完全正确，而图2中只有一个同学的成绩纵坐标数据有误．
以下说法中：
①A同学第一次成绩50分，第二次成绩40分，第三次成绩60分；
②B同学第二次成绩比第三次成绩高；
③D同学在图2中的纵坐标是有误的；
④E同学每次测验成绩都在95分以上．
其中合理的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二．填空题（共6小题）
11．（2021春•岑溪市期末）如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，连接BD，如果添加一个条件，使AD∥BC，那么可添加的条件为 　 　（写出一个即可）．

12．（2021•海沧区校级二模）平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1），线段AB∥x轴，且AB＝3，则点B的坐标为　 　．
13．（2010春•雨花区期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标为　 　．
14．（2021•安徽模拟）已知≈1.414，≈4.472，则≈　 　．
15．（2021秋•大兴区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，则BC＝　 　．

16．（2021春•海陵区期末）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为　 　．

三．解答题（共9小题）
17．（2021春•大兴区期中）计算：22+|﹣|﹣+（﹣1）3．
18．（2021春•大兴区期中）计算：﹣．
19．（2021春•西城区校级期中）（1）解不等式：2x﹣5＜4（x+1）﹣3；
（2）解关于x的不等式：x﹣5＞a（x+4）（a≠1）．
20．（2021春•海淀区期中）完成下面的证明：
已知：如图，∠AEC＝∠A+∠C．
求证：AB∥CD．
证明：过点E作EF∥AB．
∴∠A＝　 　（　 　）．
∵∠AEC＝∠1+∠2，∠AEC＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠2．
∴　 　∥　 　（　 　）．
∴AB∥CD （　 　）．

21．（2021春•海淀区期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点分别是A（﹣1，6），B（﹣4，3），C（1，4）．将三角形ABC先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到三角形A'B'C'．
（1）请在图中画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）三角形A'B'C'的面积是　 　．

22．（2021春•西城区校级期中）作图并回答问题
已知，如图，点P在∠AOB的边OA上．
（1）过点P作OA边的垂线l；
（2）过点P作OB边的垂线段PD；
（3）过点O作PD的平行线交l于点E，比较OP，PD，OE三条线段的大小，并用“＞”连接得　 　，得此结论的依据是　 　．

23．（2021春•西城区校级期中）完成下面的解题过程．
已知：如图，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠BME，求∠3．
解：∵∠1＝∠AME（对顶角相等），
又∵∠1＝∠2＝40°，
∴∠2＝∠AME．
∴AB∥CD（　 　）．
∴∠　 　+∠3＝180°（　 　）．
∵∠1+∠BME＝180°，
∴∠BME＝140°．
∵MN平分∠BME，
∴∠BMN＝　 　＝　 　°．
∴∠3＝　 　°．

24．（2020•周村区二模）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．
（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）在α（0°＜α＜60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；
（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．

25．（2019秋•东城区期末）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么称点M1，M2，M3，……，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PMn为△ABC关于点P的等距线段．

（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C　 　△ABC关于点P的等距点，线段PA，PB　 　△ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）

2021-2022学年下学期北京初中数学七年级期中典型试卷1
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2021•安溪县模拟）9的算术平方根是（　　）
A．81 B．±3 C．﹣3 D．3
【考点】算术平方根．
【分析】根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵32＝9，
∴9的算术平方根是3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．
2．（2010•海南）在平面直角坐标系中，点P（2，3）在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】点的坐标．
【分析】点P（2，3）的横、纵坐标均为正，可确定在第一象限．
【解答】解：点P（2，3）的横、纵坐标均为正，所以点P在第一象限，故选：A．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中第二象限的点的坐标的符号特点．四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
3．（2021春•西城区校级期中）实数，1.414，，﹣，π，，1.，1.202120021200021…中无理数的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】无理数；算术平方根；立方根．
【专题】实数；数感．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：是分数，属于有理数；
1.414是有限小数，属于有理数；
﹣＝﹣3，是整数，属于有理数；
＝﹣2，是整数，属于有理数；
1.是循环小数，属于有理数；
无理数有实数，π，1.202120021200021…，共3个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
4．（2021春•西城区校级期中）利用数轴确定不等式组的解集，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【分析】根据不等式组的解集在数轴上表示出即可判断出正确答案．
【解答】解：不等式组的解集为，
∵x可以取﹣1，故﹣1处是实心点且往左，x不可以取2，故2处是空心且往右，
∴原不等式组无解，
即在数轴上没有公共部分，故B、C、D错误，
故选：A．
【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，理解数轴上空心点，实心点的含义是解题关键．
5．（2021春•海淀区校级期中）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A．x2+3x+2＝（x+1）（x+2） B．3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1
C．m（a+b）＝ma+mb D．（a+2）2＝a2+4a+4
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【分析】多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可．
【解答】解：A、x2+3x+2＝（x+1）（x+2），符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
B、3x2﹣3x+1＝3x（x﹣1）+1，右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意；
C、m（a+b）＝ma+mb，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意；
D、（a+2）2＝a2+4a+4，是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义．
6．（2020秋•北京期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（　　）

A．40° B．50° C．80° D．100°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EBA＝∠A＝40°，根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴∠EBA＝∠A＝40°，
∴∠BEC＝∠EBA+∠A＝80°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（2021春•大兴区期中）在平面直角坐标系xOy中，点P在第二象限，且点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点P坐标是（　　）
A．（﹣5，4） B．（﹣4，5） C．（4，5） D．（5，﹣4）
【考点】点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【分析】根据各象限内点的坐标特征，可得答案．
【解答】解：∵点P在第二象限，且第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0；
∴点P的横坐标小于0，纵坐标大于0，
∵点P到x轴的距离等于4，到y轴的距离等于5，
∴点P的坐标是（﹣5，4）．
故选：A．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
8．（2018秋•定兴县期末）如图，数轴上有A，B，C，D四点，则所表示的数与5﹣最接近的是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【考点】估算无理数的大小；实数与数轴．
【专题】计算题．
【分析】直接利用二次根式的性质进而得出答案．
【解答】解：∵＜＜
∴在3～4之间
∴5﹣在1～2之间
故选：D．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数接近的有理数是解题关键．
9．（2021春•孟村县期末）在平面直角坐标系中，点A（0，a），点B（0，4﹣a），且A在B的下方，点C（1，2），连接AC，BC，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，那么a的取值范围为（　　）
A．﹣1＜a≤0 B．0＜a≤1 C．1≤a＜2 D．﹣1≤a≤1
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【分析】根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．
【解答】解：∵点A（0，a），点B（0，4﹣a），且A在B的下方，
∴a＜4﹣a，
解得：a＜2，
若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为4个，
∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（0，4﹣a），（1，2），
∴区域内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，
∴已知的4个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，
∵点C（1，2）的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，
∴其他的3个都在线段AB上，
∴3≤4﹣a＜4．
解得：0＜a≤1，
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，分析题目找出横纵坐标为整数的三个点存在于线段AB上为解决本题的关键．
10．（2021春•自贡期末）运算能力是一项重要的数学能力．兵老师为帮助学生诊断和改进运算中的问题，对全班学生进行了三次运算测试（每次测验满分均为100分）．小明和小军同学帮助兵老师统计了某数学小组5位同学（A，B，C，D，E）的三次测试成绩，小明在下面两个平面直角坐标系里描述5位同学的相关成绩．小军仔细核对所有数据后发现，图1中所有同学的成绩坐标数据完全正确，而图2中只有一个同学的成绩纵坐标数据有误．
以下说法中：
①A同学第一次成绩50分，第二次成绩40分，第三次成绩60分；
②B同学第二次成绩比第三次成绩高；
③D同学在图2中的纵坐标是有误的；
④E同学每次测验成绩都在95分以上．
其中合理的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【考点】点的坐标．
【专题】图表型；数形结合；实数；平面直角坐标系；几何直观；运算能力；推理能力．
【分析】分别观察图1和图2，根据横纵坐标所表示的数据的含义，对各个选项的说法进行分析或计算即可．
【解答】解：观察图1，A的横坐标对应50，说明A同学第一次成绩50分；观察图1的纵坐标，A的值为45，说明A同学第二次成绩40分；观察图2，可知A的前三次的平均成绩为50，则50×3﹣50﹣40＝60，即A的第三次成绩60分，故①合理；
观察图1，B第一次成绩为70分，前两次平均成绩76分左右，则B同学第二次成绩大于80分；观察图2，B同学前三次的平均成绩和前两次的平均成绩基本相同，说明B同学第三次成绩和前两次的平均成绩基本相同，故B同学第二次成绩比第三次成绩高，②合理；
由图1可知，D同学第一次和第二次的成绩均大于90分，且小于95分；观察图2，则右上角格内下方的点为D点，反映出前三次平均成绩大于90分，且小于95分，则D同学在图2中的纵坐标是合理的，故③说法不合理；
从选择题角度选项A，C，D已经排除；结合图形分析，由图1可知，E同学每次测验成绩都在95分以上，且前两次平均成绩接近满分；由图2可知，前三次平均成绩接近满分，则E同学每次测验成绩都在95分以上合理；
综上，合理的有：①②④．
故选：B．
【点评】本题考查了点的坐标所表示的数据信息，读懂图中横纵坐标所表示的含义、数形结合是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2021春•岑溪市期末）如图，在四边形ABCD中，点E在AD的延长线上，连接BD，如果添加一个条件，使AD∥BC，那么可添加的条件为 　∠ADB＝∠CBD（答案不唯一）　（写出一个即可）．

【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】内错角相等，两直线平行；据此即可求解．
【解答】解：∵∠CBD＝∠ADB，
∴AD∥BC．
故答案为：∠CBD＝∠ADB（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
12．（2021•海沧区校级二模）平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣1），线段AB∥x轴，且AB＝3，则点B的坐标为　（5，﹣1）或（﹣1，﹣1）　．
【考点】坐标与图形性质．
【分析】在平面直角坐标系中与x轴平行，则它上面的点纵坐标相同，可求B点纵坐标；与x轴平行，相当于点A左右平移，可求B点横坐标．
【解答】解：∵AB∥x轴，
∴点B纵坐标与点A纵坐标相同，为﹣1，
又∵AB＝3，可能右移，横坐标为2+3＝5；可能左移横坐标为2﹣3＝﹣1，
∴B点坐标为（5，﹣1）或（﹣1，﹣1），
故答案为：（5，﹣1）或（﹣1，﹣1）．
【点评】此题考查平面直角坐标系中平行特点和平移时坐标变化规律，还渗透了分类讨论思想．
13．（2010春•雨花区期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）关于y轴的对称点的坐标为　（3，﹣1）　．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【分析】让纵坐标不变，横坐标互为相反数可得所求点的坐标．
【解答】解：∵﹣3的相反数为3，
∴所求点的横坐标为3，纵坐标为﹣1，
故答案为（3，﹣1），
故答案为（3，﹣1）．
【点评】考查关于y轴对称的点特点；用到的知识点为：两点关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
14．（2021•安徽模拟）已知≈1.414，≈4.472，则≈　0.4472　．
【考点】算术平方根．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】由20变为0.2，小数点向左边移动了2位，得到结果向左移动1位，即可得到近似结果．
【解答】解：∵≈4.472，
∴≈0.4472．
故答案为：0.4472．
【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
15．（2021秋•大兴区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝3，则BC＝　9　．

【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【分析】根据三角形内角和定理，等腰三角形的性质得到∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质求出CD，根据等腰三角形的性质求出BD，计算即可．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥AC，
∴∠DAC＝90°，又∠C＝30°，
∴CD＝2AD＝6，
∵∠BAC＝120°，∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠DAB＝∠B，
∴BD＝AD＝3，
∴BC＝BD+CD＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
16．（2021春•海陵区期末）育英学校四初二数学兴趣小组的小桃桃同学提出这样一个问题：如图，从边长为a+4的正方形纸片中剪去一个边长为a的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，拼成一个长方形（不重叠无缝隙），你认为长方形的面积为　8a+16　．

【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解答】解：拼成的长方形的面积为（a+4）2﹣a2＝8a+16，
故答案为：8a+16．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
三．解答题（共9小题）
17．（2021春•大兴区期中）计算：22+|﹣|﹣+（﹣1）3．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝4+3﹣2﹣1
＝4．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18．（2021春•大兴区期中）计算：﹣．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝0.5﹣2﹣
＝﹣2．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
19．（2021春•西城区校级期中）（1）解不等式：2x﹣5＜4（x+1）﹣3；
（2）解关于x的不等式：x﹣5＞a（x+4）（a≠1）．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
（2）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得，其中系数化为1时需要对x的次数进行分类讨论．
【解答】解：（1）2x﹣5＜4x+4﹣3，
2x﹣4x＜4﹣3+5，
﹣2x＜6，
x＞﹣3；
（2）x﹣5＞ax+4a，
x﹣ax＞4a+5，
（1﹣a）x＞4a+5，
①当a＞1时，1﹣a＜0，则不等式的解集为x＜；
②当a＜1时，1﹣a＞0，则不等式的解集为x＞．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
20．（2021春•海淀区期中）完成下面的证明：
已知：如图，∠AEC＝∠A+∠C．
求证：AB∥CD．
证明：过点E作EF∥AB．
∴∠A＝　∠1　（　两直线平行，内错角相等　）．
∵∠AEC＝∠1+∠2，∠AEC＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠2．
∴　EF　∥　CD　（　内错角相等，两直线平行　）．
∴AB∥CD （　如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　）．

【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】过点E作EF∥AB，然后利用平行线的性质和等量代换等证明AB∥CD．
【解答】证明：过点E作EF∥AB．

∵EF∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠1+∠2，∠AEC＝∠A+∠C，
∴∠C＝∠2．
∴EF∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴AB∥CD （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
故答案为：∠1；两直线平行，内错角相等；EF；CD；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
【点评】本题考查平行线的判定和性质，结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．
21．（2021春•海淀区期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点分别是A（﹣1，6），B（﹣4，3），C（1，4）．将三角形ABC先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到三角形A'B'C'．
（1）请在图中画出平移后的三角形A'B'C'；
（2）三角形A'B'C'的面积是　6　．

【考点】作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用三角形A'B'C'所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【解答】解：（1）如图，
三角形A′B′C′为所求．

（2）三角形A'B'C'的面积是：3×5﹣×3×3﹣×2×2﹣×1×5＝6．
故答案为：6．

【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
22．（2021春•西城区校级期中）作图并回答问题
已知，如图，点P在∠AOB的边OA上．
（1）过点P作OA边的垂线l；
（2）过点P作OB边的垂线段PD；
（3）过点O作PD的平行线交l于点E，比较OP，PD，OE三条线段的大小，并用“＞”连接得　OE＞OP＞PD　，得此结论的依据是　垂线段最短　．

【考点】作图—基本作图；垂线；平行线的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【分析】（1）（2）狗急跳墙作出图形即可．
（3）利用垂线段最短，判断即可．
【解答】解：（1）如图，直线l即为所求作．
（2）如图，线段PD即为所求作．
（3）OE＞OP＞PD，理由：垂线段最短．

故答案为：OE＞OP＞PD，垂线段最短．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，垂线，平行线的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（2021春•西城区校级期中）完成下面的解题过程．
已知：如图，∠1＝∠2＝40°，MN平分∠BME，求∠3．
解：∵∠1＝∠AME（对顶角相等），
又∵∠1＝∠2＝40°，
∴∠2＝∠AME．
∴AB∥CD（　同位角相等，两直线平行　）．
∴∠　BMN　+∠3＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　）．
∵∠1+∠BME＝180°，
∴∠BME＝140°．
∵MN平分∠BME，
∴∠BMN＝　∠BME　＝　70　°．
∴∠3＝　110　°．

【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【分析】根据平行线的性质与判定，先由同位角相等，两直线平行证AB∥CD，再由两直线平行，同旁内角互补得∠BMN+∠3＝180°，再根据角平分线的定义进行推理即可求出∠3．
【解答】解：∵∠1＝∠AME（对顶角相等），
又∵∠1＝∠2＝40°，
∴∠2＝∠AME．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠BMN+∠3＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠1+∠BME＝180°，
∴∠BME＝140°．
∵MN平分∠BME，
∴∠BMN＝＝70°，
∴∠3＝110°．
故答案依次为：同位角相等，两直线平行；BMN；两直线平行，同旁内角互补；；70°；110°．
【点评】本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定定理，认真推敲，逐步推理是解题关键．
24．（2020•周村区二模）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．
（1）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（2）在α（0°＜α＜60°）的变化过程中，∠AEB的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的范围；如果不发生变化，请直接写出∠AEB的大小；
（3）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．

【考点】几何变换综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【分析】（1）如图，在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设CP与AD交于点H，证△CBF≌△CAE，再证△CFE是等边三角形，可推出∠CEF＝60°，进一步得出∴∠HED＝∠HEA＝∠CEF＝60°，由外角的性质可求出∠DBC的度数；
（2）由（1）知，∠CEF＝60°，则∠HED＝∠HEA＝∠CEF＝60°，再由平角的定义即可求出∠AEB的大小不发生变化，始终为60°；
（3）证明∴BF＝AE＝ED，由（1）知，△CFE是等边三角形，所以CE＝EF，即可推出结论2AE+CE＝BD．
【解答】解：（1）如图，在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设CP与AD交于点H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB﹣∠ACF＝∠FCE﹣∠ACF，
即∠BCF＝∠ACE，
∵点A与点D关于PC对称，
∴PC垂直平分AD，
则EA＝ED，CA＝CD，
∴∠EAD＝∠EDA，∠CAD＝∠CDA，
∴∠CAD﹣∠EAD＝∠CDA﹣∠EDA，
即∠CAE＝∠CDE，
∵BC＝AC＝CD，
∴∠CBF＝∠CDE，
∴∠CBF＝∠CAE，
∴△CBF≌△CAE（ASA），
∴CF＝CE，
又∵∠FCE＝60°，
∴△CFE是等边三角形，
∴∠CEF＝60°，
∴∠HED＝∠HEA＝∠CEF＝60°，
∵∠CAE+∠ECA＝∠HEA，
∴∠CAE＝60°﹣∠ECA＝60°﹣α，
即∠DBC＝60°﹣α；

（2）在α（0°＜α＜60°）的变化过程中，∠AEB的大小不发生变化，∠AEB＝60°，理由如下：
由（1）知，∠CEF＝60°，
∴∠HED＝∠HEA＝∠CEF＝60°，
∴∠AEB＝180°﹣∠HEA﹣∠HED＝60°，
∴∠AEB的大小不发生变化，∠AEB＝60°；

（3）2AE+CE＝BD，理由如下：
由（1）知，△CBF≌△CAE，
∴BF＝AE，
又由（1）知，AE＝ED，
∴BF＝AE＝ED，
由（1）知，△CFE是等边三角形，
∴CE＝EF，
∵BF+EF+ED＝BD，
∴2AE+CE＝BD．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，轴对称变换，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是能够结合图形的变换作出合适的辅助线，构造全等三角形等．
25．（2019秋•东城区期末）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，Mn都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PMn，那么称点M1，M2，M3，……，Mn为△ABC关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PMn为△ABC关于点P的等距线段．

（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．
①点B，C　是　△ABC关于点P的等距点，线段PA，PB　不是　△ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）
②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；
（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；
（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；新定义；等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；推理能力．
【分析】（1）①由新定义“△ABC关于点P的等距线段”即可得出答案；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，由垂线段最短即可得出答案：
（2）以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，则PD'＝PC＝PD＝1，得出CD'＝PC+PD'＝2；证出△PCD是等边三角形，得出CD＝PC＝1即可；
（3）分别求出当PC＝BC＝a时、当PC＝BC＝a时，△ABC关于点P的等距点，即可得出答案．
【解答】解：（1）①∵点P是BC的中点，
∴PB＝PC，
∴点B，C是△ABC关于点P的等距点；
∵AB＝AC，
∴PA⊥BC，PA≠PB，
∴线段PA，PB不是△ABC关于点P的等距线段；
故答案为：是，不是；
②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，连接PA，如图1﹣1所示：
∵AB＝AC，点P是BC的中点，
∴PA平分∠BAC，
∴PM1＝PM2；
由垂线段最短可知：PM1，PM2是△ABC关于点P等距线段最短的线段；
（2）如图1﹣2，以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，
则PD'＝PC＝PD＝1，
∴CD'＝PC+PD'＝2；
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC＝4，∠C＝60°，
∴△PCD是等边三角形，
∴CD＝PC＝1；
即线段DC的长为2或1；
（3）当PC＝BC＝a时，
当P为BC的中点，则PB＝PC，
∴B、C是，△ABC关于点P的等距点，
作PE⊥AB于E，截取EF＝EB，连接PF，如图2所示：
则PF＝PB＝a，
∵∠B＝30°，
∴PE＝BP＝a，
∴AB边上存在2个△ABC关于点P的等距点，
∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．
∴PC＜BC，即PC＜；
当PC＝BC＝a时，PB＝a，PE＝BP＝a，
则△ABC关于点P的等距点有2个在BC上，有1个在AB上，
∵△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．
∴PC＞BC，
∴PC长的取值范围是＜PC＜．




【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“△ABC关于点P的等距线段”，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、圆的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和直角三角形的性质，理解新定义“△ABC关于点P的等距线段”是解题的关键．

考点卡片
1．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找．
2．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号a3中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
3．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数． 如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
　①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
　　比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．
　②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
4．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
5．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
6．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
7．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．

（2）运用几何直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．
8．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：

3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
9．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）

②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
10．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
11．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
12．点的坐标
（1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）．
（2）平面直角坐标系的相关概念
①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．
②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴．
（3）坐标平面的划分
建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
（4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系．
13．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
14．垂线
（1）垂线的定义
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
（2）垂线的性质
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”
“过一点”的点在直线上或直线外都可以．
15．平行线的判定
（1）定理1：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行．
（2）定理2：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单说成：内错角相等，两直线平行．
（3 ）定理3：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
（4）定理4：两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．
（5）定理5：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．
16．平行线的判定与性质
（1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
（2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
（3）平行线的判定与性质的联系与区别
区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行．
联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．
（4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角．
17．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
18．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
19．含30度角的直角三角形
（1）含30度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
20．三角形综合题
三角形综合题．
21．作图—基本作图
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．
22．关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）．
23．作图-平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
24．几何变换综合题
几何变换综合题．